2023届高考二轮总复习课件（适用于新高考新教材） 数学 9.函数与导数(共17张PPT)

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9.函数与导数
下篇
1.函数的定义域和值域
(1)求函数定义域的类型和相应方法
①若已知函数的解析式,则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围;
②若已知f(x)的定义域为[a,b],则f(g(x))的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集;反之,已知f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为函数y=g(x)(x∈[a,b])的值域.
(2)常见函数的值域
①一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R;
2.函数的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质,对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称),都有f(-x)=-f(x)成立,则f(x)为奇函数;都有f(-x)=f(x)成立,则f(x)为偶函数).
(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质,一般地,对于函数f(x),如果对于定义域内的任意一个x的值,若f(x+T)=f(x)(T≠0),则f(x)是周期函数,T是它的一个周期.
3.关于函数周期性、对称性的结论
(1)函数的周期性
①若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a),则f(x)为周期函数,2a是它的一个周期;
②设f(x)是R上的偶函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,2a是它的一个周期;
③设f(x)是R上的奇函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,4a是它的一个周期.
(2)函数图象的对称性
①若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称;
②若函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(a-x),即f(x)=-f(2a-x),则f(x)的图象关于点(a,0)中心对称;
③若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x= 对称.
4.函数的单调性
函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质.
(1)单调性的定义的等价形式:设任意x1,x2∈[a,b],x1≠x2,那么
(2)若函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,f(x)+g(x)是减函数;若函数f(x)和g(x)都是增函数,则在公共定义域内,f(x)+g(x)是增函数;根据同增异减原则判断复合函数y=f(g(x))的单调性.
5.函数图象的基本变换
(1)平移变换
(3)对称变换
6.准确记忆指数函数与对数函数的基本性质
(1)定点:y=ax(a>0,且a≠1)恒过(0,1)点;y=logax(a>0,且a≠1)恒过(1,0)点.
(2)单调性:当a>1时,y=ax在R上单调递增,y=logax在(0,+∞)上单调递增;
当07.函数与方程
(1)零点定义:x0为函数f(x)的零点 f(x0)=0 (x0,0)为f(x)的图象与x轴的交点.
(2)确定函数零点的三种常用方法
①解方程判定法:解方程f(x)=0;
②零点定理法:根据连续函数y=f(x)满足f(a)f(b)<0,则函数在区间(a,b)内存在零点;
③数形结合法:尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解.
8.导数的几何意义
(1)f'(x0)的几何意义:曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,该切线的方程为y-f(x0)=f'(x0)·(x-x0).
(2)切点的两大特征:①在曲线y=f(x)上;②在切线上.
9.利用导数研究函数的单调性
(1)求可导函数单调区间的一般步骤
①求函数f(x)的定义域;
②求导函数f'(x);
③由f'(x)>0的解集确定函数f(x)的单调递增区间,由f'(x)<0的解集确定函数f(x)的单调递减区间.
(2)由函数的单调性求参数的取值范围
①若可导函数f(x)在区间M上单调递增,则f'(x)≥0(x∈M)恒成立;若可导函数f(x)在区间M上单调递减,则f'(x)≤0(x∈M)恒成立;
②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间,则f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集;
③若已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,则I是其单调区间的子集.
10.利用导数研究函数的极值与最值
(1)求函数的极值的一般步骤
①确定函数的定义域;
②解方程f'(x)=0;
③判断f'(x)在方程f'(x)=0的根x0两侧的符号变化:
若左正右负,则x0为极大值点;若左负右正,则x0为极小值点;若不变号,则x0不是极值点.
(2)求函数f(x)在区间[a,b]上的最值的一般步骤
①求函数y=f(x)在[a,b]内的极值;
②比较函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)的大小,最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
易错提醒
1.解决函数问题时要注意函数的定义域,要树立定义域优先原则.
2.解决分段函数问题时,要注意与解析式对应的自变量的取值范围.
3.求函数单调区间时,多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接,可用“,”隔开.单调区间必须是“区间”,而不能用集合或不等式代替.
4.判断函数的奇偶性,要注意定义域必须关于原点对称,有时还要对函数式化简整理,但必须注意使定义域不受影响.
5.准确理解基本初等函数的定义和性质.如函数y=ax(a>0,且a≠1)的单调性容易忽视对字母a的取值讨论,忽视ax>0;对数函数y=logax(a>0,且a≠1)容易忽视真数与底数的限制条件.
6.易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点,不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值等进行准确互化.
7.已知可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减),则f'(x)≥0(≤0)对 x∈(a,b)恒成立,不能漏掉“=”,且需验证“=”不恒成立;已知可导函数f(x)的单调递增(减)区间为(a,b),则f'(x)>0(<0)的解集为(a,b).
8.f'(x)=0的解不一定是函数f(x)的极值点.一定要检验在x=x0的两侧f'(x)的符号是否发生变化.若变化,则为极值点;若不变化,则不是极值点.