第4讲 双距离单交线公式
知识与方法
两个三角形平面存在夹角为,其外接球半径为,则,其中
:平面外接圆圆心到交线距离
:平面外接圆圆心到交线距离
与夹角(当且仅当其中一个三角形为钝角的时候,取二面角的补角)
两平面的交线长度
证明：
为球心,为三角形的外接圆圆心,为三角形的外接圆圆心为中点,面面，,设
余弦定理
是斜边,为直径的圆经过
正弦定理得:
在三角形中使用勾股定理求外接球半径
,所以
典型例题
【例1】在三棱锥中,底面是边长为3的等边三角形,,若此三棱锥外接球的表面积为,则二面角的余弦值为 。
【例2】在三棱锥中,,二面角的大小为,则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【例3】在三棱锥中,是边长为3的等边三角形,,二面角的大小为,则此三棱锥的外接球的表面积为 。
【例4】在三棱锥中,是边长为的等边三角形,,二面角的大小为,则此三棱锥的外接球的表面积为 。
【例5】在菱形中,,将沿折起到的位置,若二面角的大小为,三棱锥的外接球心为点,则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【例6】在三棱锥中,,当二面角的余弦值为时,三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
强化训练
1.在四棱锥中,底面为正方形,为等边三角形,线段中点为,若,则四棱锥的外接球的表面积为 。
2.已知在三棱锥中,,则三棱锥外接球的表面积为 。
3.在三棱锥中,则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
4.在三棱锥中,,二面角的余弦值为一,当三棱锥的体积的最大值为时,其外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
5.在三棱锥中,是边长为2的等边三角形,是以为斜边的直角三角形,二面角的大小为,则该三棱锥外接球的表面积为 。
6.在四面体中,,二面角的大小为,则四面体外接球的半径为 。
7.已知三棱锥中,是以角为直角的直角三角形,,为的外接圆的圆心,,那么三棱锥外接球的体积为( )
A. B. C. D.
8.在三棱锥中,是的中点,与均是正三角形,,则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.第4讲 双距离单交线公式
知识与方法
两个三角形平面存在夹角为,其外接球半径为,则,其中
:平面外接圆圆心到交线距离
:平面外接圆圆心到交线距离
与夹角(当且仅当其中一个三角形为钝角的时候,取二面角的补角)
两平面的交线长度
证明：
为球心,为三角形的外接圆圆心,为三角形的外接圆圆心为中点,面面，,设
余弦定理
是斜边,为直径的圆经过
正弦定理得:
在三角形中使用勾股定理求外接球半径
,所以
典型例题
【例1】在三棱锥中,底面是边长为3的等边三角形,,若此三棱锥外接球的表面积为,则二面角的余弦值为 。
【解析】
【解法1】由题意得,得到,取中点为中点为,得到为的二面角的平面角,设三角形的外心为,则,球心为过的平面的垂线与过的平面的垂线的交点,三棱锥外接球的表面积为,,所以,由,所以,,
同理,得到,由,
【解法2】,交线
直接使用公式
【答案】
【例2】在三棱锥中,,二面角的大小为,则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【解析】
【解法1】取的中点为,由三棱锥中,,二面角的大小为,得到和都是等腰三角形,
是二面角的平面角,
,二面角的大小为,故设球心为和外心分别为,则平面平面,则外接球半径,
外接球的表面积为.
【解法2】,交线
直接使用公式
,
【答案】D.
【例3】在三棱锥中,是边长为3的等边三角形,,二面角的大小为,则此三棱锥的外接球的表面积为 。
【解析】
【解法1】由题意得,得到,取中点为中点为,得到为的二面角的平面角,得到,设三角形的外心为,则,球心为过的的垂线与过的的垂线的交点,在四边形中,,所以,所以球的表面积为.
【解法2】,交线
直接使用公式
【答案】.
【例4】在三棱锥中,是边长为的等边三角形,,二面角的大小为,则此三棱锥的外接球的表面积为 。
【解析】注意此时为钠角三角形,因此圆心在平面外所以的夹角为二面角的补角
,交线
直接使用公式
【例5】在菱形中,,将沿折起到的位置,若二面角的大小为,三棱锥的外接球心为点,则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【解析】
【解法1】四边形是菱形,是等边三角形,过球心作平面,则为等边的中心,取的中点为,则且,由二面角的大小为,得,即,在Rt中,由,可得.在中,,即,设三棱锥的外接球的半径为,即三棱锥的外接球的表面积为
【解法2】,交线,直拉使用公式
【答案】.
【例6】在三棱锥中,,当二面角的余弦值为时,三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【解析】
【解法1】如图所示,取的中点,连接,由,可得,又平面,是二面角的平面角,由已知可得,在中,由余弦定理可得,则三角形为等腰三角形,取点为的中点,则,
又平面,又平面,由勾股定理可知,
为外接圆的圆心.过点作,取为三棱锥的外接球的球心,过点作交于一点,连接,设,在中,.
设三棱锥外接球的半径为,
由勾股定理可得:,【解析】得.
三棱锥外接球的表面积为.
【解法2】是底面外接圆圆心,交线,直接使用公式,.
【答案】C.
强化训练
1.在四棱锥中,底面为正方形,为等边三角形,线段中点为,若,则四棱锥的外接球的表面积为 。
【解析】
【解法1】取的中点,连接,因为底面为正方形,为等边三角形,所以,又,所以,设正方形的对角线的交点,过做底面的投影,则由题意可得在上,
由射影定理可得,而,所以,过做底面的垂线,则四棱锥的外接球的球心在直线上,设为外接球的球心,设球的半径为,则,过做于,则四边形为矩形,所以,
(i)若球心在四棱锥的内部则可得：
在中,,即,(1)
在中,,即,(2)
由(1)(2)可得,不符合,故舍去.
(ii)若球心在四棱锥的外部则可得：
在中,,即,(3)
在中,,即,(4)
由(3)(4)可得,所以四棱锥的外接球的表面积.综上所述四棱锥的外接球的表面积.
【解法2】首先确定角度,,
,交线
直接使用公式,
【答案】.
2.已知在三棱锥中,,则三棱锥外接球的表面积为 。
【解析】
【解法1】由题意可知是等边三角形,是直角三角形,.设的中点为的中心为,过作平面的垂线,过等边的中心作平面的垂线,则两平面垂线的交点为三棱锥的外接球的球心.
连接,,且,为二面角的平面角,
在中由余弦定理可得,
,
,即三棱锥外接球的半径为.外接球的表面积.
【解法2】二面角,三角形为为外接圆圆心,,交线,,直接使用公式.
【答案】.
3.在三棱锥中,则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【解析】
【解法1】,
平面,在中,由余弦定理得,
,以为轴,以为轴建立如图所示的坐标系:
则,设棱锥的外接球球心为,
则,
解得外接球的半径为.
外接球的表面积.
【解法2】线面垂直模型为底面外接圆半径,为高,外接圆半径,
【解法3】为二面角,找与的外接圆圆心到交线的距离,交线直接使用公式.
【答案】D.
4.在三棱锥中,,二面角的余弦值为一,当三棱锥的体积的最大值为时,其外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【解析】
【解法1】如图,设球心在平面内的射影为,在平面内的射影为,则二面角的平面角为,点在截面圆上运动,点在截面圆上运动,由图知当时,三棱锥的体积最大,此时与是等边三角形,设,则,,【解析】得,所以,,设,则,【解析】得,所以,又,所以,则球的半径,所求外接球的表面积为,
【解法2】由题意得:与是正三角形,由体积最大得到和是外接圆圆心,,交线,
直接使用公式.
【答案】B.
5.在三棱锥中,是边长为2的等边三角形,是以为斜边的直角三角形,二面角的大小为,则该三棱锥外接球的表面积为 。
【解析】
【解法1】如图所示,过等边中心作直线平面是以为斜边的直角三角形,外接球的球心在过的斜边的中点并且垂直于的直线上,即与直线的交点的位置.过作垂直于的直线交于点,由于二面角的大小为,即,所以,由于为等边三角形,所以,则,则,所以-
【解法2】和是外接圆圆心,,交线,直接使用公式.
【答案】.
6.在四面体中,,二面角的大小为,则四面体外接球的半径为 。
【解析】
【解法1】在四面体中,,二面角的大小为,四面体外接球,如图:则在球的一个小圆上,的中点为圆心是正三角形,也在球的一个小圆上,圆心为,作平面,平面为球心,二面角的大小为,作,则,可得,则,外接球的半径为:.
【解法2】由题意得:,交线,直接使用公式.
【答案】.
7.已知三棱锥中,是以角为直角的直角三角形,,为的外接圆的圆心,,那么三棱锥外接球的体积为( )
A. B. C. D.
【解析】
【解法1】如图,设三棱锥外接球的球心为,半径为,连结,,由已知可得,为圆的直径,,则,
因为,在中,由余弦定理可得,
,则,又,
所以为钝角,由正弦定理可得,,即,解得,所以,因为三线共面,,则,在Rt中,,在中,,所以,解得,故三棱锥的外接球的体积为.
【解法2】先求出二面角,再使用公式.在中,由余弦定理可得,,则,又,所以为钝角,由正弦定理可得,,即,解得,所以,由题意得:为等腰三角形,设为的外接圆圆心,,解得,又,交线,直接使用公式
【答案】B.
8.在三棱锥中,是的中点,与均是正三角形,,则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【解析】
【解法1】如图所示,由题意可得:为等边三角形,设与的中心分别为.设三棱锥的外接球的球心为,半径为,连接.则.则三棱锥的外接球的表面积.
【解法2】由题意可得与均为正三角形,边长为3,二面角,交线,直接使用公式.
【答案】C.
