(共61张PPT)
第一篇
核心素养谋局 思想方法引领
第1讲 把脉考向 精准定位
数学学科通过高考命题落实高考内容改革总体要求，贯彻德智体美劳全面发展的教育方针，聚焦核心素养，突出关键能力考查，体现了高考数学的科学选拔功能和育人导向作用．试题突出数学本质，重视理性思维，坚持素养导向、能力为重的命题原则；倡导理论联系实际、学以致用，关注我国社会主义建设和科学技术发展的重要成果，设计真实问题情境，体现数学的应用价值．试卷稳步推进改革，科学把握必备知识与关键能力的关系，科学把握数学题型的开放性与数学思维的开放性，稳中求新，全面体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求．
一、发挥学科特色，彰显教育功能
近几年高考试卷，坚持思想性与科学性的高度统一，发挥数学应用广泛、联系实际的学科特点，命制具有教育意义的试题，以增强考生社会责任感，引导考生形成正确的人生观、价值观、世界观．试题运用我国社会主义建设和科技发展的重大成就作为情境，深入挖掘我国社会经济建设和科技发展等方面的学科素材，引导考生关注我国社会现实与经济、科技进步与发展，增强民族自豪感与自信心，增强国家认同，增强理想信念与爱国情怀．
(2021·新高考全国Ⅱ卷)北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36 000 km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离).将地球看作是一个球心为O，半径r为6 400 km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S＝2πr2(1－cos α)(单位：km2)，则S占地球表面积的百分比约为 ( )
A．26% B．34%
C．42% D．50%
C
典例1
关注点1 科技发展与进步
【思路分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果．
【点评】以我国航天事业的重要成果北斗三号全球卫星导航系统为试题情境设计立体几何问题，考查考生的空间想象能力和阅读理解、数学建模的素养．
(1)(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有 ( )
A．60种 B．120种
C．240种 D．480种
【思路分析】5名志愿者先选2人一组，然后4组全排列即可．
C
典例2
关注点2 社会与经济发展
(2)(2022·金山区二模)某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内高三年级在校学生中抽取100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如图频率直方图．根据此频率直方图，下列结论中不正确的是 ( )
A．所抽取的学生中有25人在2小时至2.5小时之间完成作业
B．该地高三年级学生完成作业的时间超过3小时的概率估计为35%
C．估计该地高三年级学生的平均做作业的时间超过2.7小时
D．估计该地高三年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间
【答案】 D
【解析】 A选项，在2小时至2.5小时之间完成作业的人数为100×0.5×0.5＝25，A正确；B选项，完成作业的时间超过3小时的频率为(0.3＋0.2＋0.1＋0.1)×0.5＝0.35，B正确；C选项，直方图可计算学生做作业的时间的平均数为1.25×0.05＋1.75×0.15＋2.25×0.25＋2.75×0.2＋3.25×0.15＋3.75×0.1＋4.25×0.05＋4.75×0.05≈2.75，所以平均数大于2.7，所以C正确；做作业的时间在2小时至3小时之间的频率为(0.5＋0.4)×0.5＝0.45＜0.5，所以D错误．故选D.
(3)(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
①若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
②为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
【思路分析】①由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，分别求出对应的概率即可求解分布列；
②由①可得E(X)，若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，Y的所有可能取值为0，80，100，分别求出对应的概率，从而可得E(Y)，比较E(X)与E(Y)的大小，即可得出结论．
【解析】 ①由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，
则P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列为：
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
②由①可知小明先回答A类问题累计得分的期望为E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4，
若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100，
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，
P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
则Y的期望为E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6，
因为E(Y)>E(X)，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．
【点评】(1)以北京冬奥会志愿者的培训为试题背景，考查逻辑推理能力和运算求解能力．
(2)以“双减”政策的落实情况为背景，考查由频率分布直方图求频数，频率平均数等问题考查学生分析问题解决问题以及数据处理的能力．
(3)以“一带一路”知识竞赛为背景，考查考生对概率统计基本知识的理解与应用．
(2021·全国乙卷)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝ ( )
典例3
关注点3 优秀传统文化
【思路分析】根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可得出．
【答案】 A
【点评】以魏晋时期我国数学家刘徽的著作《海岛算经》中的测量方法为背景，考查考生综合运用知识解决问题的能力，让考生充分感悟到我国古代数学家的聪明才智．
二、坚持开放创新，考查关键能力
《深化新时代教育评价改革总体方案》提出，构建引导考生德智体美劳全面发展的考试内容体系，改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和“机械刷题”现象．高考数学全国卷命题积极贯彻《总体方案》要求，加大开放题的创新力度，利用开放题考查考生数学学科核心素养和关键能力，发挥数学学科的选拔功能．
(1)(2021·全国新高考Ⅱ卷)写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______________________________________________．
①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；
②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；
③f′(x)是奇函数．
【思路分析】根据幂函数的性质可得所求的f(x).
f(x)＝x4(答案不唯一，f(x)＝x2n(n∈N*)均满足)
典例4
关注点1 “举例问题”灵活开放
(2)(2021·全国乙卷)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_____________(写出符合要求的一组答案即可).
②⑤或③④
【思路分析】通过观察已知条件正视图，确定该三棱锥的长和高，结合长、高以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形．
【解析】 观察正视图，推出三棱锥的长为2和高1，②③图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，④⑤图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为④.故答案为②⑤或③④.
【点评】(1)答案是开放的，给不同水平的考生提供充分发挥数学能力的空间，在考查思维的灵活性方面起到了很好的作用．
(2)考查考生的空间想象能力，有多组正确答案，有多种解题方案可供选择．
(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【思路分析】首先确定条件和结论，然后结合等差数列的通项公式和前n项和公式证明结论即可．
典例5
关注点2 “结构不良问题”适度开放
当n＝1时上式也成立，故数列的通项公式为：an＝(2n－1)a1，
由an＋1－an＝[2(n＋1)－1]a1－(2n－1)a1＝2a1，
可知数列{an}是等差数列．
【点评】试题给出部分已知条件，要求考生根据试题要求构建一个命题，充分考查考生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象．
典例6
【点评】此题是一道“结构不良问题”，对考生的逻辑推理能力、数学抽象能力、直观想象能力等有很深入的考查，体现了素养导向、能力为重的命题原则．
(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b＝a＋1，c＝a＋2.
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
典例7
关注点3 “存在问题”有序开放
【思路分析】(1)由正弦定理可得出2c＝3a，结合已知条件求出a的值，进一步可求得b、c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin B，再利用三角形的面积公式可求得结果；
(2)分析可知，角C为钝角，由cos C<0结合三角形三边关系可求得整数a的值．
【点评】重点考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力，在体现开放性的同时，也考查了考生思维的准确性与有序性．
三、倡导理论联系实际，学以致用
高考数学全国卷命题注重理论联系实际，体现数学的应用价值，并让考生感悟到数学的应用之美．理论联系实际的试题，体现现代科技发展和现代社会生产等方面的特点，有机渗透数学建模、数据分析、逻辑推理等数学核心素养与数学思想方法的应用，对选拔与育人具有积极的意义．
(2021·新高考Ⅱ卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3).
(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)；
典例8
关注点1 取材真实情境，解决实践问题
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)>1时，p<1；
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．
【思路分析】(1)利用公式计算可得E(X).
(2)利用导数讨论函数的单调性，结合f(1)＝0及极值点的范围可得f(x)的最小正零点．
(3)利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明．
【解析】 (1)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.
(2)设f(x)＝p3x3＋p2x2＋(p1－1)x＋p0，
因为p3＋p2＋p1＋p0＝1，
故f(x)＝p3x3＋p2x2－(p2＋p0＋p3)x＋p0，
若E(X)≤1，则p1＋2p2＋3p3≤1，
故p2＋2p3≤p0.
f′(x)＝3p3x2＋2p2x－(p2＋p0＋p3)，
因为f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)<0，
f′(1)＝p2＋2p3－p0≤0，
故f′(x)有两个不同零点x1，x2，且x1<0<1≤x2，
且当x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)>0；
x∈(x1，x2)时，f′(x)<0；
故f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上为增函数，在(x1，x2)上为减函数，
若x2＝1，因为f(x)在(x2，＋∞)为增函数且f(1)＝0，
而当x∈(0，x2)时，因为f(x)在(x1，x2)上为减函数，
故f(x)>f(x2)＝f(1)＝0，
故1为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，
若x2>1，因为f(1)＝0且在(0，x2)上为减函数，
故1为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，
综上，若E(X)≤1，则p＝1.
若E(X)>1，则p1＋2p2＋3p3>1，
故p2＋2p3>p0.
此时f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)<0，
f′(1)＝p2＋2p3－p0>0，
故f′(x)有两个不同零点x3，x4，且x3<0
且x∈(－∞，x3)∪(x4，＋∞)时，f′(x)>0；
x∈(x3，x4)时，f′(x)<0；
故f(x)在(－∞，x3)，(x4，＋∞)上为增函数，在(x3，x4)上为减函数，
而f(1)＝0，故f(x4)<0，
又f(0)＝p0>0，故f(x)在(0，x4)存在一个零点p，且p<1.
所以p为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，此时p<1，
故当E(X)>1时，p<1.
(3)意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
【点评】取材于生命科学中的真实问题，考查数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养，体现了基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求．
典例9
关注点2 青少年身心健康
C
【思路分析】把L＝4.9代入L＝5＋lg V中，直接求解即可．
【点评】身心健康是素质教育的核心内容，在高考评价体系的核心价值指标体系中，包含有健康情感的指标，要求考生具有健康意识，注重增强体质，健全人格，锻炼意志．以社会普遍关注的青少年视力问题为背景，重点考查考生的数学理解能力和运算求解能力．
(1)(2021·全国新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是 ( )
A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大
B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等
【思路分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解．
典例10
关注点3 现实生产生活
D
【解析】 对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9，10.0)的概率与落在(10.2，10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9，10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不同，故D错误．故选D.
(2)(2021·全国甲卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
【点评】(1)以某物理量的测量为背景，考查正态分布基本知识的理解与应用，引导考生重视数学实验，重视数学的应用．
(2)以芯片生产中的刻蚀速率为原型，设计了概率统计的应用问题，考查考生对平均数、方差等知识的理解和应用，引导考生树立正确的人生观、价值观．(共37张PPT)
第一篇
核心素养谋局 思想方法引领
第2讲 新高考 新题型
随着新教材的广泛使用，“破定势，考真功”的命题理念越来越受到重视，《中国高考评价体系》指出命制结论开放、解题方法多样、答案不唯一的试题，增强试题的开放性和探究性，引导学生打破常规进行独立思考和判断，提出解决问题的方案，如多选题、一题双空题、开放型、结构不良型解答题在新高考中的呈现．
关键能力解读
题型聚焦分类研析
新题型一 多选题
多选题常对多个对象(知识点)进行考查，也可对同一对象从不同角度进行考查，解法灵活，如直推法、验证法、反例法、数形结合法等均可使用，但必须对每个选项作出正确判断，才能得出正确答案．
(1)(2021·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c为非零常数，则 ( )
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
CD
典例1
(2)(2021·新高考Ⅱ卷)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是 ( )
BC
【解析】设正方体的棱长为2.对于A，如图(1)所示，连接AC，则MN∥AC，故∠POC(或其补角)为异面直线OP，MN所成的角．在直角三角形OPC中，∠POC为锐角，故MN⊥OP不成立，故A错误；
对于B，如图(2)所示，取MT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥MT，PQ⊥MN.由正方体SBCN－MADT可得SM⊥平面MADT，而OQ 平面MADT，故SM⊥OQ，又SM∩MT＝M，SM，MT 平面SNTM，故OQ⊥平面SNTM，又MN 平面SNTM，所以OQ⊥MN，又OQ∩PQ＝Q，OQ，PQ 平面OPQ，所以MN⊥平面OPQ，又OP 平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确；
对于C，如图(3)，连接BD，则BD∥MN，由B的判断可得OP⊥BD，故OP⊥MN，故C正确；
(3)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则 ( )
AC
新题型二 多空题与开放型填空题
1．多空题分为三类：
(1)并列式(两空相连).根据题设条件，利用同一解题思路和过程，可以一次性得出两个空的答案，两空并答，题目比较简单．会便全会，这类题目在高考中一般涉及较少，常考查一些基本量的求解；
(2)分列式(一空一答).两空的设问相当于一个题目背景下的两道小填空题，两问之间没什么具体联系，各自成题，是对于多个知识点或某知识点的多个角度的考查；两问之间互不干扰，不会其中一问，照样可以答出另一问；
(3)递进式(逐空解答).两空之间有着一定联系，一般是第二空需要借助第一空的结果再进行作答，第一空是解题的关键，也是解答第二空的基础；
2．开放型填空题的特点是正确的答案不唯一，一般可分为：
(1)探索型(一是条件探索型，二是结论探索型)；
(2)信息迁移型；
(3)组合型等类型．
典例2
1
(2)(2022·浙江高考)已知多项式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝____，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝______．
【解析】∵(x－1)4＝x4－4x3＋6x2－4x＋1，
∴a2＝－4＋12＝8；
令x＝0，则a0＝2，
令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2.
故答案为8，－2.
8
－2
5
典例3
(2)写出一个同时满足下列三个性质的函数：f(x)＝_________．
①定义域为R；
②f(－x)·f(x)＝f 2(0)≠1；
③f(x)的导函数f′(x)＝2f(x)≠0.
e2x+1
【解析】取f(x)＝e2x+1的定义域为R满足①，
由f(－x)·f(x)＝e-2x+1·e2x+1＝e2，
f 2(0)＝e1·e1＝e2，
∴f(－x)·f(x)＝f 2(0)≠1满足②，
又f′(x)＝2e2x+1＝2f(x)≠0满足③，
(取f(x)＝e2x＋k，(k≠0)都符合题意).
新题型三 结构不良型解答题
(1)结构不良型解答题多出现在三角函数和解三角形、数列两部分内容，但有时也出现在其他章节，有三选一和三选二两种类型．
(2)解答此类题型，要注意仔细审视条件，切忌浅尝辄止，反复变更条件解答．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2－2bc cos A＝a2－2ac cos B，c＝2，
(1)证明：△ABC为等腰三角形；
(2)设△ABC的面积为S，若________，求S的值．
典例4
【解析】(1)证明：因为b2－2bc cos A＝a2－2ac cos B，
所以b2＋c2－2bc cos A＝a2＋c2－2ac cos B，
由余弦定理可得，a2＝b2，即△ABC为等腰三角形．
(2)选条件①：由(1)得A＝B，C＝π－2B，
所以7cos B＝2cos C＝2cos (π－2B)
＝－2cos 2B＝2－4cos2B，
典例5(共61张PPT)
第一篇
核心素养谋局 思想方法引领
第3讲 思想方法
高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等．
函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．
方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决．
一、函数与方程思想
思想方法解读
函数与方程思想的应用主要体现在：
1．在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题．常见问题有：求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质．
2．函数与方程相互联系，借助函数的性质可以解决方程解的个数及参数取值范围的问题．
3．在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简，化难为易的效果．
思想方法应用
典例1
D
【解析】当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝－f(x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x，
可得x＞0时，f(x)＝－x2＋2x，
又x＞0时，f(x)＝－x2＋bx，
所以b＝2.故选D.
A
C
(－∞，－32]∪(0，＋∞)
[－4，－2)
所以g(x)的图象与直线y＝t交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，
作出g(x)的图象如图所示，
由图可知1≤t＜4，且x1，x2是方程－x2－4x－t＝0的两个实根，
所以x1＋x2＝－4，
因为x3满足2x3－t＝0，即x3＝log2 t，
因为1≤t＜4，所以log2 1≤log2 t＜log2 4，
所以0≤x3＜2，
所以－4≤x1＋x2＋x3＜－2，
即x1＋x2＋x3的取值范围是[－4，－2).
故答案为[－4，－2).
如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，AP＝AB＝2，∠AEF＝θ，当θ变化时，求三棱锥P－AEF体积的最大值．
典例2
【解析】因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以PA⊥BC，
又BC⊥AC，PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC，
而AF 平面PAC，所以BC⊥AF.
又因为AF⊥PC，PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，
所以AF⊥平面PBC，
而EF 平面PBC，所以AF⊥EF.
数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．
二、数形结合思想
思想方法解读
数形结合思想的应用主要体现在：
1．利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题．
2．向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等．
3．对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解．
思想方法应用
典例3
A
(2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2【解析】设y＝(x－1)2，y＝loga x，在同一坐标系中作出它们的图象，如图所示．
若0{a|1已知抛物线的方程为x2＝8y，点F是其焦点，点A(－2，4)，在抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，求此时点P的坐标．
【解析】因为(－2)2<8×4，所以点A(－2，4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，
典例4
设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ.
则△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，
当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.
分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．
三、分类讨论思想
思想方法解读
分类讨论思想的应用体现：
1．概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{an}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决．
2．图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究．
思想方法应用
3．某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全．
典例5
C
【解析】若q＝1，则有S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，
但a1≠0，即得S3＋S6≠2S9，
与题设矛盾，故q≠1.
又S3＋S6＝2S9，①
根据数列性质S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，②
由①②可得S3＝2S6，
(1)若函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点，则实数a的取值范围是 ( )
D
典例6
【解析】函数f(x)＝aex－x－2a的导函数f′(x)＝aex－1，
当a≤0时，f′(x)<0恒成立，函数f(x)在R内单调递减，不可能有两个零点；
(2)函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]·ex在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．
所以f(x)在x＝1处取得极小值．
若a≤1，则当x∈(0，1)时，ax－1≤x－1<0，
所以f′(x)>0.
所以1不是f(x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是(1，＋∞).
转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式．
四、转化与化归思想
思想方法解读
转化与化归思想的应用体现：
1．一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案．
思想方法应用
2．将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决．一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化．
3．函数与方程、不等式紧密联系，通过研究函数y＝f(x)的图象性质可以确定方程f(x)＝0，不等式f(x)>0和f(x)<0的解集．
典例7
B
C
【解析】 ∵△ABC为等边三角形，其外接圆的半径为2，
∴以三角形的外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图：
(1)由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的取值是 ( )
A．(－∞，1) B．(－∞，2)
C．1 D．2
【解析】由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，e|x-1|－m>0”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.
典例8
C
【解析】g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区间(t，3)上为单调函数，
则①g′(x)≥0在(t，3)上恒成立，
或②g′(x)≤0在(t，3)上恒成立．
由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，
(2022·湖北模拟)已知函数f(x)＝ex－x＋a cos x.
(1)若函数f(x)在[0，π]上单调递增，求a的取值范围；
(2)证明：当a≥1时，f(x)＞x ln x＋1－ax.
【解析】 (1)函数f(x)在[0，π]上单调递增，
f′(x)＝ex－1－a sin x≥0在[0，π]恒成立，
当a≤0时，即－a≥0，因为x∈[0，π]，sin x≥0，
则－a sin x≥0，又ex－1≥0，
所以ex－1－a sin x≥0，即f′(x)≥0恒成立，符合题意；
典例9
当a＞0时，令g(x)＝ex－1－a sin x，则g′(x)＝ex－a cos x，
设n(x)＝ex－a cos x，则n′(x)＝ex＋a sin x＞0，
则g′(x)在[0，π]上递增，
当0＜a≤1时，g′(0)＝1－a≥0，g′(x)≥g′(0)≥0，
所以g(x)在[0，π]上递增，即g(x)≥g(0)＝0，符合题意；
(2)证明：要证f(x)＞x ln x＋1－ax，
即证ex－x＋a cos x＞x ln x＋1－ax，x∈(0，＋∞)，
即证ex＋a(x＋cos x)－x－1－x ln x＞0，x∈(0，＋∞)，
设h(x)＝x＋cos x，h′(x)＝1－sin x≥0，
故h(x)在(0，＋∞)上单调递增，又h(0)＝1＞0，
所以h(x)＞0，又因为a≥1，
所以a(x＋cos x)≥x＋cos x，
所以ex＋a(x＋cos x)－x－1－x ln x≥ex＋cos x－1－x ln x，
h′(x)＞h′(1)＝e－1－cos 1＞0，
所以h(x)在(1，＋∞)上单调递增，
h(x)＞h(1)＝e－sin 1－1＞0，即g′(x)＞0，
所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
g(x)＞g(1)＝e＋cos 1－1＞0，
即ex＋cos x－1－x ln x＞0.
综上可知，当a≥1时，ex＋a(x＋cos x)－x－1－x ln x≥ex＋cos x－1－x ln x＞0，
即f(x)＞x ln x＋1－ax.(共86张PPT)
第一篇
核心素养谋局 思想方法引领
第4讲 创新情境与数学文化
数学文化题是近几年全国卷中出现的新题型．预计在高考中，数学文化题仍会以选择题或填空题的形式考查，也不排除以解答题的形式考查，难度适中或容易．
考情分析
自主先热身 真题定乾坤
核心拔头筹 考点巧突破
专题勇过关 能力巧提升
自主先热身 真题定乾坤
1．(2020·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ( )
真题热身
C
2．(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石) ( )
A．3 699块
B．3 474块
C．3 402块
D．3 339块
C
【解析】 设第n环扇面形石板块数为an，第一层共有n环，
则{an}是以9为首项，9为公差的等差数列，an＝9＋(n－1)×9＝9n，
设Sn为{an}的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，
因为下层比中层多729块，
3．(2020·全国Ⅱ卷)如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤iA．5
B．8
C．10
D．15
C
【解析】 根据题意可知，原位大三和弦满足：k－j＝3，j－i＝4.
∴i＝1，j＝5，k＝8；i＝2，j＝6，k＝9；i＝3，j＝7，k＝10；i＝4，j＝8，k＝11；i＝5，j＝9，k＝12.
原位小三和弦满足：k－j＝4，j－i＝3.
∴i＝1，j＝4，k＝8；i＝2，j＝5，k＝9；i＝3，j＝6，k＝10；i＝4，j＝7，k＝11；i＝5，j＝8，k＝12.
故个数之和为10.故选C.
A
5．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
D
B
7．(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，
它的所有顶点都在同一个正方体
的表面上，且此正方体的棱长为
1.则该半正多面体共有_____个面，
其棱长为________．
26
【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18＋8＝26个面．
如图，设该半正多面体的棱长为x，则AB＝BE＝x，延长CB与FE交于点G，延长BC交正方体棱于H，由半正多面体对称性可知，△BGE为等腰直角三角形，
1．创新型数学问题从形式上看很“新”，其提供的观察材料和需要思考的问题异于常规试题，需要考生具有灵活、创新的思维能力，善于进行发散性、求异性思考，寻找对材料内涵的解释和解决问题的办法．此类问题考查的内容都在考纲要求的范围之内，即使再新，也是在考生“力所能及”的范围内．只要拥有扎实的数学基础知识，以良好的心态坦然面对新情境，便可轻松破解！
感悟高考
2．数学文化题一般是从中华优秀传统文化中挖掘素材，将数学文化与高中数学知识有机结合，要求考生对试题所提供的数学文化信息材料进行整理和分析，在试题营造的数学文化氛围中，感受数学的思维方式，体验数学的理性精神．
核心拔头筹 考点巧突破
1．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P Q＝{z|z＝a÷b，a∈P，b∈Q}，若P＝{－1，0，1}，Q＝{－2，2}，则集合P Q中元素的个数是 ( )
A．2 B．3
C．4 D．5
考点一 创新型问题
B
2．定义一种运算“※”，对于任意n∈N*均满足以下运算性质：(1)2※2 019＝1；(2)(2n＋2)※2 019＝(2n)※2 019＋3.则2 020※2 019＝________．
【解析】设an＝(2n)※2 019，则由运算性质(1)知a1＝1，由运算性质(2)知an＋1＝an＋3，即an＋1－an＝3.
于是，数列{an}是等差数列，且首项为1，公差为3.
故2 020※2 019＝(2×1 010)※2 019＝a1 010＝1＋1 009×3＝3 028.
3 028
3．如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为_____．
“新定义”试题是指给出一个未接触过的新规定、新概念，要求现学现用，其目的是考查阅读理解能力、应变能力和创新能力，培养学生自主学习、主动探究的品质．此类型问题可能以文字的形式出现，也可能以数学符号或数学表达式的形式出现，要求先准确理解“新定义”的特点，再加以灵活运用．特别提醒：“给什么，用什么”是应用“新定义”解题的基本思路．
1．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”(一步＝1.5米)意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为 ( )
A．135平方米 B．270平方米
C．540平方米 D．1 080平方米
考点二 三角与传统文化
B
2．(2021·重庆市长寿中学校高三其他模拟)黄金分割比值是指将一条线段一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值．我们把满足上述分割的点称为该线段的黄金分割点，满足黄金分割比值的分割称为黄金分割．女生穿高跟鞋、空调温度的设置、埃菲尔铁塔的设计、很多国家国旗上的五角星都和黄金分割息息相关，也正是因为这个比值才让人类的设计产生了一种自然和谐美．已知连接正五边形的所有对角线能够形成国旗上的五角星，如图点D是线段
AB的黄金分割点，由此推断cos 144°＝ ( )
B
3．(2022·三明质检)我国古代数学家刘徽于公元263年在《九章算术注》中提出“割圆术”：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率．如果用圆的内接正n边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为πn，那么用圆的内接正2n边形逼近圆，算得圆周率的近似值π2n可表示成 ( )
A
4．(2020·沙坪坝区校级模拟)2020年新型冠状病毒性肺炎蔓延全国，作为主要战场的武汉，仅用了十余天就建成了“小汤山”模式的火神山医院和雷神山医院，再次体现了中国速度．随着疫情发展，某地也需要参照“小汤山”模式建设临时医院，其占地是由一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400 m的等腰三角形组成的图形(如图所示)，为使占地面积最大，则等腰三角形的底角为 ( )
D
三角与传统文化主要包括“欧拉公式”“九章算术”“赵爽弦图”“割圆术”“三斜公式”“海伦公式”及以数学名人为背景数学知识的应用问题．
1．(2021·重庆巴蜀中学高三月考)在《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，蕴含了无限分割、等比数列的思想，体现了古人的智慧．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH的各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形IJKL，依此方法一直继续下去，记第一个正方形ABCD的面积为S1，第二个正方形
EFGH的面积为S2，…，第k个正方形的面积为Sk，则前
6个正方形的面积之和为 ( )
考点三 数列与传统文化
B
D
D
1 250
数列与传统文化主要把传统文化与等差数列、等比数列和数列通项等数列知识相结合分类研讨．
考点四 不等式与传统文化
A
2．(2020·中卫二模)《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a＋b，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，则下列推理正确的是 ( )
【答案】 A
3．一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当a∈[2，2 019]时，符合条件的a共有 ( )
A．133个 B．134个
C．135个 D．136个
C
【解析】 由题设a＝3m＋2＝5n＋3，m，n∈N*，
则3m＝5n＋1.
当m＝5k，n不存在；
当m＝5k＋1，n不存在；
当m＝5k＋2，n＝3k＋1，满足题意；
当m＝5k＋3，n不存在；
当m＝5k＋4，n不存在；
不等式与传统文化主要包括在勾股弦图、勾股容方、均值不等式、伯努利不等式(Bernoulli inequality)与导数等几个方面的应用．
考点五 立体几何与传统文化
B
C
3．(2021·湖南衡阳市八中高三其他模拟)阿基米德(公元前287年—公元前212年)，伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家，享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家．公元前212年，古罗马军队入侵叙拉古，阿基米德被罗马士兵杀死，终年七十五岁．阿基米德的遗体葬在西西里岛，墓碑上刻着一个圆柱内切球(一个球与圆柱上下底面相切且与侧面相切)的图形，以纪念他在
几何学上的卓越贡献，这个图形中的内切球的体积与圆柱
体积之比为_____，内切球的表面积与圆柱的表面积之比为
_____．
立体几何与传统文化主要包括立体几何中几何体体积公式、古代传统建筑中的阳马、鳖臑、堑堵、祖暅原理、牟合方盖等．
1．(2022·河南模拟)齐国的大将田忌很喜欢赛马，他与齐威王进行赛马比赛，他们都各有上、中、下等马各一匹，每次各出一匹马比一场，比赛完三场(每个人的三匹马都出场一次)后至少赢两场的获胜．已知同等次的马，齐威王的要强于田忌的，但是不同等次的马，都是上等强于中等，中等强于下等，如果两人随机出马，比赛结束田忌获胜的概率为 ( )
考点六 概率统计、算法与传统文化
D
【解析】 将齐威王的上、中、下等马分别记为A，B，C，田忌的上、中、下等马分别记为a，b，c则他们赛马的情况如下：
齐威王的马 A B C 胜者
田忌的马 a b c 齐威王
田忌的马 a c b 齐威王
田忌的马 b a c 齐威王
田忌的马 b c a 齐威王
田忌的马 c a b 田忌
田忌的马 c b a 齐威王
D
3．(2022·镜湖区校级模拟)由于发现新冠阳性感染者，2022年4月17日—23日芜湖市主城区实施静态管理，最终控制了疫情．初三、高三学生于27日返校复课，返校前需提供48小时核酸检测阴性证明．为配合核酸检测，我市从3名护士和2名医生中随机选取两位派往某社区检测点工作，则恰好选取一名医生和一名护士的概率为 ( )
D
4．(2021·湖南衡阳市八中高三模拟)俗话说：“一心不能二用”，意思是我们做事情要专心，那么，“一心”到底能否“二用”，某高二几个学生在学完《统计》后，
做了一个研究，他们在本年
级随机抽取男生和女生各100
名，要求他们同时做一道数学
题和英语听力题，然后将这些
同学完成问题所用时间制成分
布图如图，则下列说法正确的
是 ( )
①男生“一心二用”所需平均时间平均值大于女生；②所有女生“一心二用”能力都强于男生；③女生用时众数小于男生；④男生“一心二用”能力分布近似于正态分布．
A．①④ B．②③
C．①③ D．①③④
【答案】 D
【解析】 根据图形可看出，男生“一心二用”所需平均时间平均值大于女生；并不是所有女生“一心二用”能力都强于男生；女生用时众数小于男生；男生“一心二用”能力分布近似于正态分布；故①③④正确．故选D.
概率统计、算法与传统文化主要是把数学文化与概率、统计、“黄金分割”“太极图”“回文数”等几个方面相结合分类研究．