(共49张PPT)
第二篇
经典专题突破 核心素养提升
专题二 数列
第1讲 等差数列与等比数列
1．等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现．
2．数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点．
考情分析
自主先热身 真题定乾坤
核心拔头筹 考点巧突破
专题勇过关 能力巧提升
自主先热身 真题定乾坤
1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝ ( )
A．14 B．12
C．6 D．3
真题热身
D
B
3．(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则 ( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
B
4．(2022·北京卷)设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的 ( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
C
①③④
高考主要考查两种基本数列(等差数列、等比数列)，该部分以选择题、填空题为主，在4～7题的位置或17～19题的位置，难度不大，以两类数列的基本运算和基本性质为主．
感悟高考
核心拔头筹 考点巧突破
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)
(1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d；
(2)等比数列的通项公式：an＝a1·qn-1；
考点一 等差数列、等比数列的基本运算考点
(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且m∈N*)，则a2 022的值为 ( )
A．2 028 B．4 038
C．5 044 D．3 020
B
典例1
－30
【素养提升】等差数列、等比数列问题的求解策略
(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q.
(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn-1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列．
(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．
D
(2)(2022·威海模拟)等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10＝S20，则下列结论错误的是 ( )
A．d<0 B．a16<0
C．Sn≤S15 D．当且仅当n≥32时，Sn<0
D
2．前n项和的性质：
(1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外).
(2)对于等差数列，有S2n－1＝(2n－1)an.
考点二 等差数列、等比数列的性质
典例2
D
(2)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于 ( )
A．12 B．13
C．14 D．15
C
【素养提升】等差、等比数列的性质问题的求解策略
(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解．
(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S19＞0，S20＜0，若数列{an}满足am·am＋1＜0，则m＝ ( )
A．9 B．10
C．19 D．20
C
B
由于a1＋a21＝a10＋a11，
所以a11＜0，
故a10·a11＜0，
故m＝10.
故选B.
考点三 等差数列、等比数列的探索与证明
(2019·全国Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式．
典例3
因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1.
若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1.而a1＝3，
所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数矛盾，所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1，
因此数列{an}为等差数列．
(2)由(1)知a1＝3，数列{an}的公差d＝1，
所以数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)×1＝n＋2.(共54张PPT)
第二篇
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专题二 数列
第2讲 数列求和及其综合应用
数列求和常与数列的综合应用一起考查，常以解答题的形式出现，有时与函数、不等式综合在一起考查，难度中等偏上．
考情分析
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核心拔头筹 考点巧突破
专题勇过关 能力巧提升
自主先热身 真题定乾坤
1．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝____．
【解析】 由2S3＝3S2＋6可得
2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，
化简得2a3＝a1＋a2＋6，
即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.
故答案为2.
真题热身
2
2．(2020·全国Ⅰ卷)数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和为540，则a1＝____．
【解析】 an＋2＋(－1)nan＝3n－1，
当n为奇数时，an＋2＝an＋3n－1；
当n为偶数时，an＋2＋an＝3n－1.
设数列{an}的前n项和为Sn，
7
S16＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a16
＝a1＋a3＋a5＋…＋a15＋(a2＋a4)＋…＋(a14＋a16)
＝a1＋(a1＋2)＋(a1＋10)＋(a1＋24)＋(a1＋44)＋(a1＋70)＋(a1＋102)＋(a1＋140)＋(5＋17＋29＋41)
＝8a1＋392＋92
＝8a1＋484＝540.
∴a1＝7.故答案为7.
3．(2022·全国新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.
(1)证明：a1＝b1；
(2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素个数．
1．高考主要考查两种基本数列(等差数列、等比数列)、两种数列求和方法(裂项求和法、错位相减法)、两类综合(与函数综合、与不等式综合)，主要突出数学思想的应用．
2．若以解答题形式考查，数列往往与解三角形在17题的位置上交替考查，试题难度中等；若以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时也出现在第12题或16题位置上，难度偏大，复习时应引起关注．
感悟高考
核心拔头筹 考点巧突破
1．裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消．常见的裂项方式有：
考点一 数列求和
2．如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时，可采用错位相减法．用错位相减法求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式．
考向1 分组转化法求和
已知在等比数列{an}中，a1＝2，且a1，a2，a3－2成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
典例1
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，由a1，a2，a3－2成等差数列，得2a2＝a1＋a3－2，
即4q＝2＋2q2－2，解得q＝2(q＝0舍去)，
则an＝a1qn-1＝2n，n∈N*.
典例2
典例3
(2)∵cn＝b2n－1·b2n＝2n×22n＝2n·4n，
∴Sn＝2×41＋4×42＋6×43＋…＋2n·4n，
4Sn＝2×42＋4×43＋6×44＋…＋2(n－1)·4n＋2n·4n+1，
两式相减得，－3Sn＝2×41＋2×42＋2×43＋…＋2×4n－2n×4n+1
【素养提升】(1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和差．
(2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项．
(3)错位相减法求和，主要用于求{anbn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别为等差数列和等比数列．
C
C
【解析】(1)当n为奇数时，n＋1为偶数，则an＝n2－(n＋1)2＝－2n－1，
所以a1＋a3＋a5＋a7＝－(3＋7＋11＋15)＝－36.
当n为偶数时，n＋1为奇数，则an＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，
则a2＋a4＋a6＋a8＝5＋9＋13＋17＝44.
所以a1＋a2＋a3＋…＋a8＝－36＋44＝8，故选C.
数列与函数、不等式的综合问题是高考命题的一个方向，此类问题突破的关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，通过放缩进行等式的证明．
考点二 数列的综合问题
(1)(2022·日照模拟)如图，在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1，a2)出发沿图中路线依次经过B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，…，按此规律一直运动下去，则a2 017＋a2 018＋a2 019＋a2 020等于
( )
A．2 017
B．2 018
C．2 019
D．2 020
C
典例4
【解析】由直角坐标系可知，A(1，1)，B(－1，2)，C(2，3)，D(－2，4)，E(3，5)，F(－3，6)，即a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4，…，
由此可知，数列中偶数项是从1开始逐渐递增的，且都等于其项数除以2；每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第一个数为其组数，每组的第一个数和第三个数是互为相反数，
因为2 020÷4＝505，所以a2 017＝505，a2 018＝1 009，a2 019＝－505，a2 020＝1 010，
a2 017＋a2 018＋a2 019＋a2 020＝2 019.
D
【易错提醒】(1)公式an＝Sn－Sn－1适用于所有数列，但易忽略n≥2这个前提．
(2)数列和不等式的综合问题，要注意条件n∈N*，求最值要注意等号成立的条件，放缩不等式要适度．
2．(1)设曲线y＝2 020xn+1(n∈N*)在点(1，2 020)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝log2 020xn，则a1＋a2＋…＋a2 019的值为 ( )
A．2 020 B．2 019
C．1 D．－1
D
(2)(2021·安徽黄山模拟)在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“扩展”．将数列1，2进行“扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；…；第n次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，…，xt，2.记an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2n－1，n∈N*，则数列{an}的通项an＝
____________．
