(共61张PPT)
第二篇
经典专题突破 核心素养提升
专题五 解析几何
第1讲 直线与圆
1．和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，多以选择题、填空题形式出现，中低难度．
2．和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．
考情分析
自主先热身 真题定乾坤
核心拔头筹 考点巧突破
专题勇过关 能力巧提升
自主先热身 真题定乾坤
1．(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝ ( )
真题热身
A
2．(多选)(2021·全国新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则 ( )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
ACD
如图，当过B的直线与圆相切时，满足∠PBA最小或最大(P点位于P1时∠PBA最小，位于P2时∠PBA最大)，
3．(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为____________________________________________ ________________________________．
4．(2022·全国新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程___________________________________.
【解析】 圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，
半径为1，
圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3，4)，
半径为4，
5．(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为______________________.
【解析】 ∵点M在直线2x＋y－1＝0上，
∴设点M为(a，1－2a)，又因为点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
(x－1)2＋(y＋1)2＝5
6．(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2，0)，且⊙M与l相切．
(1)求C，⊙M的方程；
(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．
1．近两年圆的方程成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查．
2．直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．
感悟高考
核心拔头筹 考点巧突破
1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为零)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为零)，则l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
考点一 直线的方程
(1)(2021·辽宁高三二模)若两直线l1：(a－1)x－3y－2＝0与l2：x－(a＋1)y＋2＝0平行，则a的值为 ( )
A．±2 B．2
C．－2 D．0
【解析】 由题意可知：－(a＋1)(a－1)－(－3)×1＝0，整理得4－a2＝0，∴a＝±2，经验证a＝±2都满足．故选A.
典例1
A
(2)直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点N，则直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为 ( )
A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0
C．2x－3y＋12＝0 D．2x－3y－12＝0
B
【易错提醒】解决直线方程问题的三个注意点
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程既不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．
C
B
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.
2．圆的一般方程
考点二 圆的方程
(1)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________．
典例2
x2＋y2－2x＝0
方法二：画出示意图如图所示，
则△OAB为等腰直角三角形，
故所求圆的圆心为(1，0)，半径为1，
∴所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，
即x2＋y2－2x＝0.
(2)(2021·黑龙江佳木斯模拟)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(2，7)，则圆C的标准方程为_________________．
x2＋(y－8)2＝5
【素养提升】解决圆的方程问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
B
(2)圆C的半径为5，圆心在x轴的负半轴上，且被直线3x＋4y＋4＝0截得的弦长为6，则圆C的方程为 ( )
A．x2＋y2－2x－3＝0
B．x2＋16x＋y2＋39＝0
C．x2－16x＋y2－39＝0
D．x2＋y2－4x＝0
B
【解析】(1)由题意可知圆心在第一象限，设为(a，b).
∵圆与两坐标轴都相切，
∴a＝b，且半径r＝a，
∴圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2.
∵点(2，1)在圆上，∴(2－a)2＋(1－a)2＝a2，
∴a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5.
当a＝1时，圆心坐标为(1，1)，
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法
(1)点线距离法．
考点三 直线、圆的位置关系
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离 Δ<0，直线与圆相切 Δ＝0，直线与圆相交 Δ>0.
2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．
(1)(2022·安徽模拟)点M为直线y＝－x＋4上一点，过点M作圆O：x2＋y2＝4的切线MP，MQ，切点分别为P，Q，当四边形MPOQ的面积最小时，直线PQ的方程为 ( )
A
典例3
所以该圆的方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝2，
又因为P、Q在圆O：x2＋y2＝4上，所以PQ为两圆的公共弦，
所以PQ的方程为(x－1)2＋(y－1)2－x2－y2＝2－4，即为x＋y－2＝0.故选A.
(2)(2020·全国Ⅰ)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为 ( )
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
D
又直线AB与l平行，
设直线AB的方程为2x＋y＋m＝0(m≠2)，
将A(－1，1)的坐标代入2x＋y＋m＝0，得m＝1.
∴直线AB的方程为2x＋y＋1＝0.
【素养提升】直线与圆相切问题的解题策略
直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．
C
D
【解析】(1)由题意，得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
知圆C的圆心为C(2，1)，半径为2.
方法一：因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，
则2＋a－1＝0，解得a＝－1，
所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝[(－4－2)2＋(－1－1)2]－4＝36，
所以|AB|＝6.
方法二：由题意知，圆心在直线l上，
即2＋a－1＝0，解得a＝－1，
再由图知，|AB|＝6.(共59张PPT)
第二篇
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专题五 解析几何
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线
高考对这部分知识考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率、渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．
考情分析
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真题热身
B
2．(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝ ( )
B
A
13
∴|AF1|＝|F1F2|，
∴直线DE为线段AF2的垂直平分线，连接EF2，DF2，则四边形ADF2E为轴对称图形，
∴△ADE的周长＝|DE|＋|AE|＋|AD|＝|DE|＋|EF2|＋|DF2|＝4a＝8c＝13.
圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择、填空题的形式考查，常出现在第4～11或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．
感悟高考
核心拔头筹 考点巧突破
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|).
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|).
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.
2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
考点一 椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程
典例1
D
(2)不论α取何实数，方程x2＋2y2sin α＝1所表示的曲线必不是 ( )
A．抛物线 B．圆
C．直线 D．双曲线
A
【易错提醒】求圆锥曲线的标准方程时的常见错误
双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．
C
2
考点二 圆锥曲线的几何性质
典例2
D
B
【解析】由题意可知直线y＝x－1过抛物线y2＝4x的焦点(1，0)，如图，AA′，BB′，MM′都和准线垂直，并且垂足分别是A′，B′，M′，
得x2－6x＋1＝0，
设A，B两点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝8，∴|MM′|＝4.
D
A
解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题要点如下：
(1)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)联立直线的方程与椭圆的方程；
(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；
(4)利用根与系数的关系设而不求；
(5)把题干中的条件转化为含有x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的式子，进而求解即可．
考点三 直线与圆锥曲线的位置关系
典例3
【素养提升】解决直线与圆锥曲线位置关系的注意点
(1)注意使用圆锥曲线的定义．
(2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组．
(3)注意用好圆锥曲线的几何性质．
(4)注意几何关系和代数关系之间的转化．
C
其中所有正确结论的编号为 ( )
A．①③④ B．①④
C．①②③ D．②③
A
因此|FN|＝|PH|且FN∥PH，所以四边形PFNH为平行四边形，
又根据抛物线定义|PH|＝|PF|，故四边形PFNH为菱形，故④正确．
故正确结论编号为①③④.
故选A.(共80张PPT)
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专题五 解析几何
第3讲 圆锥曲线的综合问题
1．圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一．
2．以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题．对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查．
考情分析
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自主先热身 真题定乾坤
真题热身
即(k＋1)(2k－1＋m)＝0，
所以k＝－1或m＝1－2k，
当m＝1－2k时，直线l：y＝kx＋m＝k(x－2)＋1过点A(2，1)，与题意不符，舍去，
故k＝－1.
3．(2022·全国甲卷)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3.
(1)求C的方程；
(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程．
将(0，－2)，代入整理得2(x1＋x2)－6(y1＋y2)＋x1y2＋x2y1－3y1y2－12＝0，
将(*)代入，得24k＋12k2＋96＋48k－24k－48－48k＋24k2－36k2－48＝0，显然成立，
综上，可得直线HN过定点(0，－2).
圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第20～22题的位置，一般难度较大．直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程、定点、定值、最值、范围以及存在性问题都是考查的重点，常与向量、函数、不等式等知识结合．解题时，常以直线与圆锥曲线的位置关系为突破口，利用设而不求、整体代换的技巧求解，要注重数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想以及转化与化归思想在解题中的指导作用．
感悟高考
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考点一 圆锥曲线中的最值、范围问题
典例1
【素养提升】求解范围、最值问题的五种方法
(1)利用判别式构造不等式，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；
(3)利用隐含的不等关系，求出参数的取值范围；
(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数值域的方法，确定参数的取值范围．
考点二 圆锥曲线中的定点、定值问题
典例2
(1)若AB是Γ短轴，求点C的坐标；
(2)是否存在定点T，使得直线CD恒过点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由．
【素养提升】直线过定点问题的两大类型及解法
(1)动直线l过定点问题的解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0).
(2)动曲线C过定点问题的解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
典例3
【素养提升】求解定值问题的两大途径
(1)首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)，然后证明其是定值，即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关．
(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的条件得出参数之间满足的关系式，使正负项抵消或分子、分母约分得定值．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设椭圆E的右焦点为F，过点G(2，0)作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为k1，k2，试判断k1＋k2是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
考点三 圆锥曲线中的存在性问题
典例4
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆的左、右顶点分别为A、B，点P为直线x＝3上任意一点(点P不在x轴上)，连接AP交椭圆于C点，连接PB并延长交椭圆于D点，试问：是否存在λ，使得S△ACD＝λS△BCD成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
【素养提升】探索性问题的解题策略
探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在，若结论不正确，则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．
3．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于M(x1，y1)，N(x2，y2)(x2＞x1)两点．
(1)若x1＋x2＝2p，求|MF|＋|NF|的值；
(2)若M是线段AN的中点，求直线MN的方
程；
(3)若P，Q是准线l上关于x轴对称的两点，
问直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？
请说明理由．
