(共59张PPT)
第二篇
经典专题突破 核心素养提升
专题六 函数与导数
第1讲 函数的图象与性质
1．高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等，主要考查求函数的定义域、分段函数的函数值的求解或分段函数中参数的求解及函数图象的识别．难度属中等及以上．
2．此部分内容多以选择题、填空题形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题．
考情分析
自主先热身 真题定乾坤
核心拔头筹 考点巧突破
专题勇过关 能力巧提升
自主先热身 真题定乾坤
真题热身
B
D
【解析】 ∵f(x＋1)为奇函数，
∴f(1)＝0，且f(x＋1)＝－f(－x＋1)，
∵f(x＋2)为偶函数，∴f(x＋2)＝f(－x＋2)，
∴f[(x＋1)＋1]＝－f[－(x＋1)＋1]＝－f(－x)，
即f(x＋2)＝－f(－x)，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)＝－f(－x).
令t＝－x，则f(t＋2)＝－f(t)，
∴f(t＋4)＝－f(t＋2)＝f(t)，∴f(x＋4)＝f(x).
当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.
f(0)＝f(－1＋1)＝－f(2)＝－4a－b，
f(3)＝f(1＋2)＝f(－1＋2)＝f(1)＝a＋b，
又f(0)＋f(3)＝6，∴－3a＝6，解得a＝－2，
f(1)＝a＋b＝0，∴b＝－a＝2，
∴当x∈[1，2]时，f(x)＝－2x2＋2，
A
【解析】 因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，
令x＝1，y＝0可得，2f(1)＝f(1)f(0)，
所以f(0)＝2，
令x＝0可得，f(y)＋f(－y)＝2f(y)，
即f(y)＝f(－y)，
所以函数f(x)为偶函数，令y＝1得，
f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，
即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，
从而可知f(x＋2)＝－f(x－1)，
f(x－1)＝－f(x－4)，
故f(x＋2)＝f(x－4)，即f(x)＝f(x＋6)，
所以函数f(x)的一个周期为6.
因为f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，
f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，
所以一个周期内的f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.
由于22除以6余4，
A
C
ln 2
1．高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．
2．此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大．
感悟高考
核心拔头筹 考点巧突破
1．复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域．
2．分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．
考点一 函数的概念与表示
典例1
C
D
【素养提升】(1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．
(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．
B
16
【解析】(1)当a<0时，1－a>1且1＋a<1，即f(1－a)＝－(1－a)＝a－1；
f(1＋a)＝(1＋a)2＋2a＝a2＋4a＋1，
由f(1－a)≥f(1＋a)，得a2＋3a＋2≤0，
解得－2≤a≤－1，所以a∈[－2，－1].
(2)∵e-2>0，
∴f(e-2)＝2ln e-2＝－4<0，
1．函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：
f(x)是偶函数 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函数 f(－x)＝－f(x).
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).
考点二 函数的性质
2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法．
3．函数图象的对称中心或对称轴
(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
考向1 单调性与奇偶性
(1)(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是
( )
A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3]
典例2
D
【解析】因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，
得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，
得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].
A
典例3
D
A
【二级结论】(1)若函数f(x)为偶函数，且f(a＋x)＝f(a－x)，则2a是函数f(x)的一个周期．
(2)若函数f(x)为奇函数，且f(a＋x)＝f(a－x)，则4a是函数f(x)的一个周期．
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，且f(b＋x)＝f(b－x)，则2(b－a)是函数f(x)的一个周期．
2．(1)已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，f(－2)＝1，且当x＞0时，f(x)＝a－|x－1|，则f(5)＝ ( )
A．－6 B．－4
C．－3 D．0
(2)关于函数f(x)＝x＋sin x，下列说法错误的是 ( )
A．f(x)是奇函数 B．f(x)是周期函数
B
B
【解析】(1)依题意，得f(2)＝－f(－2)＝－1，
故a－|2－1|＝－1，解得a＝0，
∴f(5)＝－|5－1|＝－4，
故选B.
(2)由题可知函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝－x－sin x＝－f(x)，则f(x)为奇函数，故A正确；根据周期函数的定义，可知f(x)一定不是周期函数，故B错误；因为f(0)＝0＋sin 0＝0，所以f(x)有零点，故C正确；对f(x)求导得f′(x)＝1＋cos x≥0在R上恒成立，故f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，故D正确．故选B.
1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．
考点三 函数的图象
典例4
B
(2)(2021·崇明区校级模拟)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为__________________．
{x|－1＜x≤1}
考向2 函数图象的变换及应用
(1)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为 ( )
典例5
C
【解析】要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．
D
等价于函数y＝|f(x)|的图象在函数y＝mx－2图象的上方恒成立．
作出函数y＝|f(x)|的图象，如图所示，函数y＝mx－2的图象是过定点(0，－2)的直线，
由图可知，当m<0时，不满足题意；
当m＝0时，满足题意；
【素养提升】(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特征点排除不符合要求的图象．
(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．求解两个函数图象在给定区间上的交点个数问题时，可以先画出已知函数完整的图象，再观察．
A
D
直线y＝ax－1恒过定点(0，－1)，
若存在x0∈R使得f(x0)≤ax0－1，
则函数f(x)的图象在直线y＝ax－1下方有图象或与直线有交点，
当a＝0时，f(x)的图象恒在y＝ax－1图象的上方，不符合题意；(共43张PPT)
第二篇
经典专题突破 核心素养提升
专题六 函数与导数
第2讲 基本初等函数、函数与方程
1．基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型．
2．函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现．
考情分析
自主先热身 真题定乾坤
核心拔头筹 考点巧突破
专题勇过关 能力巧提升
自主先热身 真题定乾坤
真题热身
C
D
C
4．(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y<3－x－3－y，则 ( )
A．ln (y－x＋1)>0 B．ln (y－x＋1)<0
C．ln |x－y|>0 D．ln |x－y|<0
【解析】 由2x－2y<3－x－3－y得：
2x－3－x<2y－3－y，
令f(t)＝2t－3－t，
A
C
6．(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则
( )
A．a>0>b B．a>b>0
C．b>a>0 D．b>0>a
A
1．基本初等函数作为高考的命题热点，多考查利用函数的性质比较大小，一般出现在第5～11题的位置，有时难度较大．
2．函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，近几年全国课标卷考查较少，但也要引起重视，题目可能较难．
感悟高考
核心拔头筹 考点巧突破
1．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0
1两种情况，着重关注两函数图象的异同．
考点一 基本初等函数的图象与性质
(1)“a>3”是“函数f(x)＝(a－1)x在R上为增函数”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 若f(x)在R上为增函数，则a－1>1，即a>2，
因为a>3是a>2的充分不必要条件，
所以“a>3”是“函数f(x)＝(a－1)x在R上为增函数”的充分不必要条件．故选A.
A
典例1
B
【解析】由题意知，方程f(－x)－g(x)＝0在(0，＋∞)上有解，
即e－x＋2－ln (x＋a)－2＝0在(0，＋∞)上有解，
即函数y＝e－x与y＝ln (x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点．
函数y＝ln (x＋a)可以看作由y＝ln x左右平移得到，
当a＝0时，两函数有交点，
当a<0时，向右平移，两函数总有交点，
当a>0时，向左平移，由图可知，将函数y＝ln x的图象向左平移到过点(0，1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点，
把(0，1)代入y＝ln (x＋a)，得1＝ln a，即a＝e，
∴a【素养提升】(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和01时，两函数在定义域内都为增函数；当0(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．
1．(1)函数f(x)＝ln (x2＋2)－ex-1的大致图象可能是 ( )
A
A
判断函数零点个数的方法：
(1)利用零点存在性定理判断法．
(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．
考点二 函数的零点
典例2
B
(2)(2022·福州调研)已知函数f(x)＝－ex＋ax－e2有两个零点，则实数a的取值范围为 ( )
A．(0，e2) B．(0，e)
C．(e，＋∞) D．(e2，＋∞)
【解析】f′(x)＝－ex＋a，
当a≤0时，f′(x)＜0，则f(x)单调递减，此时f(x)至多一个零点，不符合题意；
D
当a＞0时，令f′(x)＝0，则x＝ln a，
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
因为f(x)有两个零点，所以f(ln a)＝a ln a－a－e2＞0，
令g(a)＝a ln a－a－e2，a＞0，则g′(a)＝ln a，
令g′(a)＜0，解得0＜a＜1，令g′(a)＞0，解得a＞1，
所以g(a)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
且当0＜a＜1时，g(a)＜0，g(1)＝－1－e2＜0，g(e2)＝0，
所以a＞e2，
故选D.
考向2 求参数的值或取值范围
(1)已知关于x的方程9－|x-2|－4·3－|x-2|－a＝0有实数根，则实数a的取值范围是____________.
【解析】设t＝3－|x-2|(0由题意知a＝t2－4t在(0，1]上有解，
又t2－4t＝(t－2)2－4(0∴－3≤t2－4t<0，
∴实数a的取值范围是[－3，0).
典例3
[－3，0)
B
【解析】作出函数f(x)的图象如图：
则当x≤0时，f(x)＝x2＋2x－1与y＝ax－1有两个交点，设直线y＝ax－1与f(x)＝x2＋2x－1切于点(0，－1)，此时f′(x)＝2x＋2，则f′(0)＝2，即a＝2，
所以0＜a＜2.
故选B.
【素养提升】利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
B
D
【解析】(1)作出函数f(x)与g(x)的图象如图，由图象可知两个函数有3个不同的交点，所以函数y＝f(x)－g(x)有3个零点．
(2)作出函数y＝2x－4与y＝(x－1)(x－3)的图象，
当a<1时，只有B一个零点；
当1≤a<2时，有A，B两个零点；
当2≤a<3时，有A一个零点；
当a≥3时，有A，C两个零点；
综上，实数a的取值范围是1≤a<2或a≥3，
故选D.(共60张PPT)
第二篇
经典专题突破 核心素养提升
专题六 函数与导数
第3讲 导数的简单应用
1．高考对导数几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题的第一问．
2．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择题、填空题的后几题中出现，难度中等偏下，有时综合在解答题中．
考情分析
自主先热身 真题定乾坤
核心拔头筹 考点巧突破
专题勇过关 能力巧提升
自主先热身 真题定乾坤
1．(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为 ( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
【解析】 ∵f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，
∴f(1)＝－1，f′(1)＝－2，
因此，所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.
真题热身
B
B
3．(2022·全国乙卷)已知x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2(a>0
且a≠1)的极小值点和极大值点．若x1【解析】 f′(x)＝2ln a·ax－2ex，
因为x1，x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2的极小值点和极大值点，
所以函数f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)上递减，在(x1，x2)上递增，
所以当x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)<0，
当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0，
若a>1时，当x<0时，2ln a·ax>0，2ex<0，
则此时f′(x)>0，与前面矛盾，
故a>1不符合题意，
若0即方程ln a·ax＝ex的两个根为x1，x2，
即函数y＝ln a·ax与函数y＝ex的图象有两个不同的交点，
∵0又∵ln a<0，∴y＝ln a·ax的图象由指数函数y＝ax向下关于x轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的|ln a|倍得到，如图所示：
设过原点且与函数y＝g(x)的图象相切的直线的切点为(x0，ln a·ax0)，
则切线的斜率为g′(x0)＝ln2a·ax0，
5x－y＋2＝0
5．(2021·全国新高考Ⅰ卷)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为____．
1
1．高考对导数的几何意义的考查，多在选择、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题第一问．
2．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择、填空的后几题中出现，难度较大．有时出现在解答题第一问．
感悟高考
核心拔头筹 考点巧突破
1．导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
考点一 导数的计算、几何意义
2．基本初等函数的导数公式
(1)已知函数f(x)＝a sin x＋bx3＋4(a∈R，b∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，则f(2 016)＋f(－2 016)＋f′(2 016)－f′(－2 016)＝ ( )
A．0 B．2 015
C．8 D．2 016
【解析】∵f(x)＝a sin x＋bx3＋4，
∴f′(x)＝a cos x＋3bx2，
∴f(x)＋f(－x)＝8，f′(x)－f′(－x)＝0，
∴f(2 016)＋f(－2 016)＋f′(2 016)－f′(－2 016)＝8.
故选C.
典例1
C
(2)(2021·河南洛阳模拟)已知曲线y＝x ln x－3x2的一条切线在y轴上的截距为2，则这条切线的方程为 ( )
A．4x－y－2＝0 B．5x－y－2＝0
C．4x＋y－2＝0 D．5x＋y－2＝0
D
3
【素养提升】求曲线y＝f(x)切线方程的三种类型及方法
(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程．
(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：
设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程．
(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：
设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．
C
－1
导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.
(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，f(x)为常数函数，函数不具有单调性．
考点二 利用导数研究函数的单调性
考向1 讨论函数的单调性
已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若过点P(1，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且仅有两条，求实数a的取值范围．
典例2
作出g(x)的大致图象如下图所示，
由图可知，－a＋1＞1，解得a＜0，
故实数a的取值范围为(－∞，0).
【素养提升】求解或讨论函数单调性问题的解题策略
讨论函数的单调性，其实就是讨论不等式解集的情况，大多数情况下，这类问题可以归纳为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：
(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论．
(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．
[注意]讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．
考向2 利用函数的单调性求参数取值(范围)
(1)(2021·贵州贵阳高三模拟)已知函数f(x)＝2x2＋2x＋4ln x－ax，若当m＞n＞0时，f(m)－f(n)＞m－n，则实数a的取值范围是
( )
A．(0，9) B．(－∞，9]
C．(－∞，8] D．[8，＋∞)
典例3
B
【素养提升】已知y＝f(x)在(a，b)上的单调性求参数范围的方法
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)转化为不等式的恒成立问题求解：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”．
(3)若函数y＝f(x)在(a，b)上不单调，通常转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解．
D
[e－1，＋∞)
可导函数的极值与最值
(1)若在x0附近左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)为函数f(x)的极小值．
(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．
考点三 利用导数研究函数的极值与最值
(2022·山东潍坊高三模拟)已知函数f(x)＝2x3－(a＋3)x2＋2ax，a∈R.
(1)当a＝0时，求f(x)的极值；
(2)当|a|≥1时，求f(x)在[0，|a|]上的最小值．
典例4
【解析】(1)当a＝0时，f(x)＝2x3－3x2，
f′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，
故当x∈(－∞，0)，(1，＋∞)时，f′(x)＞0，
故当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，
则f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减．
所以f(x)的极大值为f(0)＝0，极小值为f(1)＝－1.
【素养提升】(1)讨论函数的极值，首先要讨论函数的单调性，一般地，若讨论函数的导数符号可以转化为二次函数符号，且该二次函数能够因式分解，则因式分解后，根据导数对应方程根的大小以及与定义域的相对位置关系分类讨论，若该二次函数不能因式分解，应先根据其对应二次方程根的存在性分类讨论，当Δ>0时，应通过求根公式求出其根．
(2)涉及含参数函数的最值时，也要通过函数的极值点与所给区间的关系分类讨论后确定最值．
3．已知函数f(x)＝ln x＋ax－a2x2(a≥0).
(1)若x＝1是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；
(2)若f(x)<0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．(共76张PPT)
第二篇
经典专题突破 核心素养提升
专题六 函数与导数
第4讲 导数的综合应用
导数日益成为解决数学问题强有力的工具，利用导数研究函数的单调性与极(最)值是常见题型，而导数与函数、不等式的交汇命题，则是高考的热点和难点．在高考压轴题中，常以二次函数、指数函数、对数函数为载体考查函数的零点、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立等热点问题．
考情分析
自主先热身 真题定乾坤
核心拔头筹 考点巧突破
专题勇过关 能力巧提升
自主先热身 真题定乾坤
1．(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线．
(1)若x1＝－1，求a；
(2)求a的取值范围．
真题热身
【解析】 (1)由题意知，f(－1)＝－1－(－1)＝0，
f′(x)＝3x2－1，f′(－1)＝3－1＝2，
则y＝f(x)在点(－1，0)处的切线方程为y＝2(x＋1)，
即y＝2x＋2，
设该切线与g(x)切于点(x2，g(x2))，g′(x)＝2x，
则g′(x2)＝2x2＝2，解得x2＝1，
则g(1)＝1＋a＝2＋2，解得a＝3.
【解析】 (1)当a＝1时，f(x)＝(x－1)ex，则f′(x)＝xex，
当x<0时，f′(x)<0，当x>0时，f′(x)>0，
故f(x)的减区间为(－∞，0)，增区间为(0，＋∞).
5．(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－ln x有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
(2)证明：设三个交点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，
由(1)得，函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
函数g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴x1∈(－∞，0)，x2∈(0，1)，x3∈(1，＋∞)，
b＝ex1－x1＝ex2－x2＝x2－ln x2＝x3－ln x3，
∴2x2＝ex2＋ln x2，ex1－x1＝x2－ln x2，ex2－x2＝x3－ln x3，
∴ex1－x1＝eln x2－ln x2，ex2－x2＝eln x3－ln x3，
∴f(x1)＝f(ln x2)，f(x2)＝f(ln x3)，
∵ln x2∈(－∞，0)，ln x3∈(0，＋∞)，
∴x1＝ln x2，x2＝ln x3，
∴x3＝ex2，
∴x1＋x3＝ln x2＋ex2＝2x2，
∴x1，x2，x3成等差数列，
∴存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
对于导数的综合问题每年都必须考查，主要是针对以下方面出题，而且题目难度较大，一般放在试卷的21～22位置：
(1)函数单调性和极值、最值的分类讨论．
(2)研究方程的根，可以通过构造函数g(x)的方法，把问题转化为研究构造的函数g(x)的零点问题．以及函数g(x)的单调性、结合零点存在定理判断其零点的个数．
(3)利用导数证明不等式．
(4)利用导数解决恒成立问题．
感悟高考
核心拔头筹 考点巧突破
1．常见重要不等式
(1)ln x≤x－1(x＞0)；
(2)ex≥x＋1(当且仅当x＝0时等号成立).
2．构造辅助函数的四种方法
(1)移项法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))的问题转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x).
考点一 利用导数研究不等式问题
(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．
(3)主元法：对于(或可化为)f(x1，x2)≥A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x)).
(4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数．
3．含有双变量的不等式问题的常见转化策略
(1) x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)＞g(x2) f(x)在[a，b]上的最小值＞g(x)在[c，d]上的最大值．
(2) x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)＞g(x2) f(x)在[a，b]上的最大值＞g(x)在[c，d]上的最小值．
(3) x1∈[a，b]， x2∈[c，d]，f(x1)＞g(x2) f(x)在[a，b]上的最小值＞g(x)在[c，d]上的最小值．
(4) x1∈[a，b]， x2∈[c，d]，f(x1)＞g(x2) f(x)在[a，b]上的最大值＞g(x)在[c，d]上的最大值．
典例1
【素养提升】利用导数证明不等式的两个妙招
(1)构造函数法证明不等式
①移项，使等式右边为零，左边构造为新函数．
②求导判断单调性，通常要对参数分类讨论．
③根据单调性，求出最值与“0”比较即可得证．
(2)转化函数最值法证明不等式
①条件：函数很复杂，直接求导不可行．
②拆分：把复杂函数拆分成两个易求最值函数．
③方法：分别求导，结合单调性和图象以及极值、最值，比较得出结论．
考向2 利用导数解决不等式恒(能)成立问题
已知函数f(x)＝ex－kx，g(x)＝x2＋k2－3.
(1)讨论函数y＝f(x)的单调区间；
(2)若2f(x)≥g(x)对任意x≥0恒成立，求实数k的取值范围．
【解析】(1)f′(x)＝ex－k，
①当k≤0时，f′(x)>0恒成立，
则y＝f(x)在R上单调递增；
典例2
②当k>0时，x>ln k时，f′(x)>0，
y＝f(x)的单调递增区为(ln k，＋∞)；
x综上：当k≤0时，y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，
当k>0时，y＝f(x)的递增区间为(ln k，＋∞)，递减区间为(－∞，ln k).
【素养提升】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
(1)分离参数后转化为函数最值问题：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围．一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可．
(2)转化为含参函数的最值问题：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，伴有对参数的分类讨论，然后构建不等式求解．
方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解．
考点二 利用导数研究函数的零点问题
典例3
【解析】 (1)当a＝－2时，f(x)＝xex－x2－2x，
f′(x)＝ex＋xex－2x－2＝ex(x＋1)－2(x＋1)＝(x＋1)(ex－2)，
令f′(x)>0，即(x＋1)(ex－2)>0，解得x>ln 2或x<－1，
令f′(x)<0，即(x＋1)(ex－2)<0，解得－1所以函数的单调递增区间为(－∞，－1)，(ln 2，＋∞)；
单调递减区间为(－1，ln 2).
【素养提升】利用导数研究函数零点问题的思路
(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解．
(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
典例4
【素养提升】根据函数零点个数确定参数取值范围的基本思路也是数形结合，即根据函数的单调性、极值、函数值的变化趋势大致得出函数y＝f(x)的图象，再根据零点个数确定函数y＝f(x)的图象交点的个数，得出参数满足的不等式，求得参数的取值范围，一个基本的技巧是把f(x)＝0化为g(x)＝h(x)，据f(x)零点个数确定函数y＝g(x)，y＝h(x)图象的交点个数，得出参数满足的不等式，求得参数的取值范围．