高考二轮复习-热点攻关 “解三角形”大题的常考题型 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
大题攻略01 求三角形的边、角、面积问题
例1 (2022年新高考全国Ⅱ卷)记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，分别以 ， ， 为边长的三个正三角形的面积依次为 ， ， .已知 ， .
（1）求 的面积；
（2）若 ，求 .
[解析] （1）∵边长为 的正三角形的面积为 ， ，即 ，由 得 ， ，故 .
（2）由正弦定理得 ，故 .
提分秘籍
应用正、余弦定理解题的技巧：
（1）求边：利用公式 , , 或其他相应变形公式求解.（2）求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式 , , 或其他相应变形公式求解.（3）已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.（4）灵活利用式子的特点转化：如出现 形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.
大题攻略02 解三角形中的最值与范围问题
例2 (2022年新高考全国Ⅰ卷)记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（1）若 ，求 ；
（2）求 的最小值.
审题微“点”
切入点 （1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将已知等式化简，再结合 的值，即可求出 ；
（2）由（1）用 表示 , ，再利用正弦定理以及二倍角公式将待求式化成 的代数式，然后利用基本不等式求解
障碍点 （1）统一角，减少变元；（2）边化角的正弦后失去方向
隐蔽点 （1） ；（2） ，
[解析] （1） , .由 ,得 ，
， .
（2）由（1）得 ， 且 ，
， .
由 得 ， ，
，
当且仅当 时取“=”， 的最小值为 .
提分秘籍
利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角．利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，且该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性．
三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围．
大题攻略03 解三角形中的“结构不良问题”
例3 (2022·福建质检)记 的内角 , , 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ．
（1）求 .
（2）在下列三个条件中选择一个作为补充条件，判断该三角形是否存在？若存在，求出三角形的面积；若不存在，说明理由．
① 边上的中线长为 ，② 边上的中线长为 ，③三角形的周长为6．
审题微“点”
切入点 利用三角形内角和与三角恒等变换化简求值
障碍点 选①，法一由 ，利用余弦定理建立方程组求解；法二由中线利用向量，结合向量数量积公式解方程；法三建系，结合中点公式及两点间距离公式得方程求解.选②，作中线利用余弦定理求 ，进而可得面积.选③，利用余弦定理，结合周长求各边长，进而求得面积
隐蔽点 选①： .选②： 边上的中线为 .选③：
[解析] （1）结合正弦定理，由 ，得
，
又因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 .
（2）选①，
（法一）设 边上的中线为 ，则 ，
结合余弦定理， 得， ，
即 ，即 ，
又由余弦定理 得 ，
则 ，该方程无实数解，故符合条件①的三角形不存在.
（法二）设 边上的中线为 ，则 ，
两边平方得 ，
即 ，即 ，
易知该方程无实数解，故符合条件①的三角形不存在．
（法三）如图，以 为原点， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系．
故C点坐标为 ，
即 ， 点坐标为 ，
所以 边的中点坐标为 ，
由 边上的中线长为 ，得 ，整理得 ，该方程无实数解，
故符合条件①的三角形不存在．
选②，设 边上的中线为 ，则 ．
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
整理得 ，
解得 或 （舍去），
故 的面积 ．
选③，则 ，由（1）知 ，
所以 .
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
即 ,
所以 ，
解得 ，
所以 的面积 ．
提分秘籍
“结构不良问题”的解题策略：（1）题目所给的三个可选择的条件是平行的，无论选择哪个条件，都可解答题目；（2）在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程过于复杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分，但计算要细心、准确，避免出现低级错误导致失分.
规范答题01 “解三角形”大题的思维构建和答题规范
典例 (2022年全国乙卷)记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（1）证明： .
（2）若 ， ，求 的周长.
命题意图 本题考查正、余弦定理的应用，推理论证和运算求解的能力，化归转化和方程的思想.解题过程渗透了逻辑推理、数学运算的核心素养，体现了基础性与综合性.
思维导图
（1）&3&
（2）&4&
[解析] （1）因为 ，
所以 ，
所以 ，…………2分
即 ，
所以 .…………4分
（2）因为 ， ，
所以 .…………6分
由余弦定理可得 ，
则 ，
所以 ，…………8分
故 ，
所以 ，
所以 的周长为 .…………12分
解题感悟
求解三角形中的边、角或证明与边、角有关的等式时，首先要根据题意选用适当的正、余弦定理进行边、角之间的转换，然后通过化简求解.
◎同源变式
在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 的面积为 ，已知 .
（1）证明： .
（2）若 ， ，求 的周长.
[解析] （1）因为 ，
所以 ，又 ，
所以 ，则 ，即 ，
所以 .
（2）由余弦定理得 ，
由（1）得 ，所以 ，即 ，由正弦定理可得 ，
在锐角 中， ， ，所以 或 ，
因为 , ,所以 ,
所以 ，故 ，即 .
由（1）可知 ,所以 ，解得 （ ,舍去），则 ，
所以 的周长为 .
◎模拟训练
(2022·广东二模)如图，已知 内有一点 ，满足 .
（1）证明： .
（2）若 ， ，求 .
[解析] （1）在 中，由正弦定理得 ，
即 .
在 中， ，
在 中， ，所以 ，
所以 ，
所以 .
（2）由（1）知 ，又因为 ， ，所以 .
由已知得 为等腰直角三角形，所以 ，则 ，
所以在 中， ，
由正弦定理得 ，
即 ，即 .
则由余弦定理得 ，解得 （ ,舍去），
所以 .