中国科学技术大学2022年强基计划测试数学试题（含解析）

2022年中国科学技术大学强基计划测试数学试题
考试时间2022年7月2日
数学满分100分，共5道解答题.
1.在中，，，求的面积.
2.已知，求素因子个数的最小值.
3.已知
（1）求满足什么条件恒成立；
（2）若存在，使得，则满足什么条件.
4.90位学生参加面试，学生来自三校，其中校20人，校30人，校40人，面试时每次都从尚未面试的学生中随机抽取一位，面试完毕以后再选择下一位面试，求校学生先于其他两校学生完成面试的概率.
5. 是五个矩形区域（边平行于坐标轴），存在两个集合，证明：
2022年中国科学技术大学强基计划数学试题参考答案
1.解：
于是有：
即：
又
因此得（舍去）
又
又由，得
所以
2.解：
首先，当时，原式，只有2个素因子2,3，其次证明不可能只有1个素因子
因为，与奇偶性不同，故一奇一偶
故原式必有素因子2与另一个奇素因子
故最小值为2
3．解：先求导原式得
于是，在上递减，在上递增；
故，即.
（2）因的增减区间只有2段
当，即，则有4重根，即
比较系数知
当即.则有2个不同根，于是只能一个根是3重，另一个根为1重根，所以
，
综上，
4.解：首先，最后一位面试的学生只能来自校或校.
（1）当最后面试的学生来自校时，
其概率为
（2）接着只需两校的所有学生中，最后面的那位学生来自校即可
其概率为
（3）当最后面试的学生来自校时，
其概率为
（4）接着只需要两校的所有学生中，最后面试的那位学生来自校即可，
其概率为
综上，概率为
5.解：首先任意三个交集非空，否则取这个集合即可，
故由凯莱定理知非空
注意5个矩形的交集仍是矩形，其左横坐标是5个矩形，左去除左横坐标最大，右横坐标最小的2个矩形（可能是同一个）①
再考虑剩下3个矩形，考虑纵坐标，删去上上纵坐标最大，求下纵坐标最小的，取剩下的1或2个矩形②；与前面横坐标选出的1或2个矩形构成，其他作，
则的横坐标方位包含于中，且的纵坐标范围覆盖了②的纵坐标范围.
故