2022年清华大学自强计划数学试题（含解析）

2022年清华大学自强计划数学试题
1.已知且满足，求值。
2.用数字1，2，3组成一个六位数，且数字1不相邻的排法有多少种？
3.已知正方体的棱长为1，点分别为线段上的动点，点在屏幕内，求的最小值.
4.已知正四面体的边长为8，点和点分别在边和上，且满足，点在上，求使得为直角三角形的点的个数.
5.已知分别为椭圆：的左、右顶点，是椭圆在第一象限内一点，满足且，求的值.
2022年清华大学自强计划数学试题解析
1.己知f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d且满足f(1)=5,f(2)=10,f(3)=15,求
f(8)+f(-4)的值.
解：不妨令g(x)=f(x)-x4,则有
g(1)=a+b+c+d=4
9(2)=23a+22h+2c+d=-6
g(3)=33a+326+3c+d=-66
我们注意到
f(8)+f(-4)=g(8)+g(-4)+84+44
=448a+80b+4c+2d+4352
=36g(1)-70g(2)+36g(3)+4352
=2450.
2.用数字1,2,3组成一个六位数，且数字1不相邻的排法有多少种？
解：我们注意到1的后面只能是2或3，有两种选法，2和3的后面可以是1,2,3，有三种选
法，所以我们可得到下表（其中第一行是数码，其余为方法数）·
2
3
第1位数
1
第2位数
2
3
3
第3位数
6
8
8
第4位数
16
22
22
第5位数
44
60
60
第6位数
120
164
164
由表可得共有120+164+164=448种排法.
注此处我们考虑的是这个6位数不一定将数码1,2,3全用完.
3.己知正方体ABCD-A'BCD的棱长为1，点M,N分别为线段AB,AC上的动
点，点T在平面BCCB内，求MT+NT的最小值.
解：如图，设点A关于BC的对称点为E,点N关于BC的对称，点为F.记d为异面直线AB
与CE之间的距离，则
MT+INT|=IMTI+IFT≥IMFI≥d.
以D为原点建立坐标系，则
AB=(0,1,1),C2=(1,1,0),A2=(0,2,0)
于是由公垂线长度的向量公式有
(AB×CE)·AE
2V3
d
AB×CE
3
故当且仅当M,T,N三点共线且为异面直线AB与
CE之间公垂线时，|MT+|NT的取得最小值
23
3
4.
己知正四面体D-ABC的边长为8，点P和点Q分别在边AB和AC上，且满足
AP=1,AQ=2,点T在AD上，求使得△PQD为直角三角形的点T的个数，
解
易得PQ=3,不妨设AT=x,则在△ATP中，
D
由余弦定理可得
PT2=AT2+AP2-2AT·AP cos60°=x2-x+1.
T
同理在△ATQ中有
Q
QT2=AT2+AQ2-2AT·AQ cos60°=x2-2x+4.
①若∠TPQ=90°，则
QT2=PT2+PQ2→x=0.
②若∠TQP=90°时，则
PT2=QT2+PQ2→x=6
③若∠PTQ=90°时，则
PQ2=QT2+PT2→2x2-3x+2=0,方程无解.
于是使得△PQD为直角三角形的点T的个数为2
5.已知A,B分别为椭圆C:2十=1的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点，
满足|PA=PB且∠PBA=2∠PAB,求入的值
解：不妨设∠PAB=α，∠PBA=B,由椭圆的第三定义
1
tanatan(T-B)=pA·kpB=
1
2
→tan a tan B=