2023年高考数学客观题专题八 数列 课件（共46张PPT）

(共46张PPT)
专题八 数列
【考试内容】 等差数列;等比数列;求数列的通项;求数列的前n项和Sn;已知数列{an}的前n项和Sn;求通项an
【近7年全国卷考点统计】
试卷类型 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
全国卷(甲卷) 15 5
全国卷(乙卷) 5 5
新高考全国Ⅰ卷 5
新高考全国Ⅱ卷 5 5
重要考点回顾
一、数列的概念
1.数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列;数列中的每个数都叫这个数列的项,记作an,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项),在第二个位置的叫第2项,…,序号为n的项叫第n项(也叫通项)记作an.
2.数列的一般形式:a1,a2,a3,…,an,…,简记作{an}.
3.通项公式的定义:如果数列{an}的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
说明:
①{an}表示数列,an表示数列中的第n项,an=f(n)表示数列的通项公式;
②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一.例如,
③不是每个数列都有通项公式.例如,1,1.4,1.41,1.414,…
④数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系:
二、等差数列
1.等差数列定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.用递推公式表示为an-an-1=d(n≥2)或an+1-an=d(n≥1).
2.等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d;
说明:等差数列的单调性:
d>0为递增数列,
d=0为常数列,
d<0为递减数列.
3.等差中项的概念:如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.其中 .
a,A,b成等差数列 .
4.等差数列的前n项和公式:
5.等差数列的性质:
(1)在等差数列{an}中,从第2项起,每一项是它相邻两项的等差中项;
(2)在等差数列{an}中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列,
如:a1,a3,a5,a7,…;a3,a8,a13,a18,…;
(3)在等差数列{an}中,对任意m,n∈N+,an=am+(n-m)d,
;
(4)在等差数列{an}中,若m,n,p,q∈N+且m+n=p+q,则am+an=ap+aq;
6.数列最值
(1)在等差数列{an}中,a1>0,d<0时,Sn有最大值;
a1<0,d>0时,Sn有最小值;
(2)Sn最值的求法:
①若已知Sn的表达式形如二次函数,可用二次函数最值的求法(n∈N+);
②若已知an,则Sn取最值时n的值(n∈N+)可如下确定
或
三、等比数列
1.等比数列定义:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q表示(q≠0),
即:
(注意:“从第二项起”、“常数”q、等比数列的公比和项都不为零)
2.等比数列通项公式为:an=a1·qn-1(a1·q≠0).
说明:(1)由等比数列的通项公式可以知道:当公比q=1时该数列既是等比数列也是等差数列;
(2)由等比数列的通项公式知:若{an}为等比数列,则
3.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项(两个符号相同的非零实数,都有两个等比中项).
即:a与b的等比中项G G2=ab G=±
4.等比数列前n项和公式
一般地,设等比数列a1,a2,a3,…,an,…的前n项和是Sn=a1+a2+a3+…+an,
当q≠1时, 或
当q=1时,Sn=na1.
说明:(1)a1,q,n,Sn和a1,an,q,Sn各已知三个可求第四个;
(2)注意求和公式中是qn,通项公式中是qn-1不要混淆;
(3)应用求和公式时q≠1,必要时应讨论q=1的情况.
5.等比数列的性质
(1)等比数列任意两项间的关系:an=amqn-m;
(2)对于等比数列{an},若n+m=u+v,则an·am=au·av.
考点训练
1.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,则其通项an=　　　　　;
若它的第k项满足5【答案】2n-10;8　
【解析】由Sn=n2-9n得,当n=1时,a1=S1=-8;
当n≥2时,Sn-1=(n-1)2-9(n-1),
所以an=Sn-Sn-1=2n-10.
于是ak=2k-10,所以有5<2k-10<8,k∈N+,解得k=8.
2.已知{an}为等差数列,a1+a3=22,a6=7,则a5=　　　　　.
【答案】8　
【解析】∵a1+a3=2a2,∴2a2=22,即a2=11.
因为a6-a2=4d,所以d=-1,
所以a5=a6-d=8.
3.已知数列的通项an=-5n+2,则其前n项和Sn=　　　　　.
【答案】-n2-n　
【解析】依等差数列的性质易知d=-5,
令n=1,可得a1=-3.
Sn=-3n+(-5)=-n2-n.
4.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20=(　　)
　　　A.-1 B.1 C.3 D.7
【答案】B　
【解析】a1+a3+a5=105　①,
a2+a4+a6=99　②,
由②-①得3d=-6,则d=-2.
∵2a3=a1+a5,∴3a3=105.
∴a3=35,∴a20=a3+17d=1.故选B.
5.等差数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,S4=20,则该数列的公差
d= (　　)
A.2 B.3 C.6 D.7
【答案】B　
【解析】S4-S2=16,即a3+a4=16　①,
又a1+a2=4　②,
由①-②得4d=12,d=3.故选B.
6.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=6,a1=4,则该数列的公差
d= (　　)
A.1 B. C.-2 D.3
【答案】C　
【解析】∵S3=6,即a1+a2+a3=6,
∴3a2=6,a2=2.
∴d=a2-a1=2-4=-2.故选C.
7.已知等差数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和,若a2,a4是方程x2-6x+5=0的两个根,则S6的值为　　　　　.
【答案】24　
【解析】等差数列为递增数列,则d>0,
则a2=1,a4=5.
则S6=24.
8.等差数列{an}中,已知a1=,a2+a5=4,an=33,则n为 (　　)
A.48 B.49 C.50 D.51
【答案】C　
【解析】由于{an}为等差数列,
故由条件可得+d++4d=4,解得d=.
故由等差数列的通项公式可得an=+(n-1)=n-.
令n-=33,解得n=50.故选C.
9.设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8=(　)
A.12 B.24 C.30 D.32
【答案】D　
【解析】∵{an}是等比数列,且a1+a2+a3=1,
则由a2+a3+a4=q(a1+a2+a3),得q=2,
∴a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)=25×1=32.故选D.
10.数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=　　　　　.
【答案】　
【解析】数列的递推公式,采用迭代法.
原式可化为an=1-分别代入可得.
11.设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则 (　　)
A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2
C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an
【答案】D　
【解析】由Sn=可得.
12.已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则该数列的公比q=　　　　　.
【答案】2　
【解析】由条件可得2q2-2q=4,化简得q2-q-2=0,解得q=2或q=-1.
因为{an}是递增等比数列,所以q>1,于是q=2.
13.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则= (　　)
A.2 B.4 C. D.
【答案】C　
【解析】S4==15a1,a2=a1q=2a1,
==.故选C.
14.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2-a5=0,则=　　　　　.
【答案】5　
【解析】由=q3=8可得q=2.
==1+q2=5.
15.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3·a11=16,则a5= (　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
【答案】A　
【解析】∵a7是a3与a11的等比中项,
∴=a3a11,a7=4,a5==1.故选A.
16.已知等比数列{an}的公比为正数,且a3·a9=2,a2=1,则a1=(　)
A. B. C. D.2
【答案】B　
【解析】∵a6是a3和a9的等比中项,
∴=a3a9,即=2.
故公比是正数q=,
则a1==.故选B.
17.若等差数列{an}的公差为2,且a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn= (　　)
A.n(n+1) B.n(n-1) C. D.
【答案】A　
【解析】依题得=a2·a8即(a1+3d)2=(a1+d)·(a1+7d),可得a1=2,
则Sn=2n+·2=n(n+1).故选A.
18.已知数列{an}为等比数列,Sn是它的前n项和,若a2·a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为,则S5= (　　)
A.35 B.33 C.31 D.29
【答案】C　
【解析】∵a2a3=2a1,∴=2,即a4=2.
∵a4+2a7=2×,得a7=,
∴q3=,得q=.
则a1==16,S5==31.故选C.
19.等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列.若a1=1,则S4= (　　)
A.7 B.8 C.15 D.16
【答案】C　
【解析】∵4a2=4a1+a3=4+a3,
∴4a1q=4+a1q2,即q2-4q+4=0,即(q-2)2=0,∴q=2.
∴S4==15.故选C.
20.等比数列{an}的公比q>0,已知a2=1,an+2+an+1=6an,则{an}的前4项和S4=　　　　　.
【答案】　
【解析】∵anq2+anq-6an=0(an≠0),
∴由q2+q-6=0,即(q+3)(q-2)=0,解得q=2或q=-3(舍去).
∴a1==.
∴S4===.
21.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=　　　　.
【答案】-2　
【解析】∵+=0,
∴由q2+4q+4=0,即(q+2)2=0,解得q=-2.
22.等比数列{an}的前n项和为Sn,公比不为1.若a1=1,且对任意的n∈N+,都有an+2+an+1-2an=0,则S5=　　　　　.
【答案】11　
【解析】∵anq2+anq-2an=0(an≠0),
∴由q2+q-2=0,即(q+2)(q-1)=0,解得q=-2或q=1(舍去).
∴S5===11.
23.已知等比数列{an}为递增数列.若a1>0,且2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的公比q=　　　　　.
【答案】2　
【解析】∵2anq2-5anq+2an=0(an≠0),
∴2q2-5q+2=0,即(q-2)(2q-1)=0.
∴q=2或q=.
∵{an}为递增数列,
∴q=2.
24.(多选题)公差为d的等差数列{an},其前n项和为Sn,S11>0,S12<0,下列说法正确的有 (　　)
A.d<0 B.a7>0
C.{Sn}中S5最大 D.|a4|<|a9|
【答案】AD　
【解析】∵公差为d的等差数列{an},其前n项和为Sn,S11>0,S12<0,
∴S11=(a1+a11)=·2a6=11a6>0,解得a6>0,
S12=(a1+a12)=6(a6+a7)<0,解得a7<0,故B错误;
d=a7-a6<0,故A正确;
∵a6>0,a7<0,∴{Sn}中S6最大,故C错误;
∵a6>0,a7<0,a6+a7<0,
∴|a6|<|a7|,∴|a4|<|a9|,故D正确.
故选AD.
25.(多选题)已知正项等比数列{an}满足a1=2,a4=2a2+a3,若设其公比为q,前n项和为Sn,则 (　　)
A.q=2 B.an=2n
C.S10=2047 D.an+an+1【答案】ABD　
【解析】根据题意,
对于A,正项等比数列{an}满足2q3=4q+2q2,变形可得q2-q-2=0,
解得q=2或q=-1,
又由{an}为正项等比数列,则q=2,故A正确;
对于B,an=2·2n-1=2n,故B正确;
对于C,Sn==2n+1-2,所以S10=2046,故C错误;
对于D,根据B的结论:an=2n,则an+an+1=2n+2n+1=3·2n=3an,
而an+2=2n+2=4·2n=4an>3an,故D正确.
故选ABD.
26.(多选题)设d,Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和,若S10=S20,则下列说法正确的有 (　　)
A.当n=15时,Sn取最大值
B.当n=30时,Sn=0
C.当d>0时,a10+a22>0
D.当d<0时,|a10|>|a22|
【答案】BC　
【解析】∵d,Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和,S10=S20,
∴由10a1+d=20a1+d,解得a1=-14.5d.
Sn=na1+·d=-14.5nd+n2-nd=(n-15)2-d,
当d>0时,当n=15时,Sn取最小值;当d<0时,当n=15时,Sn取最大值,故A错误;
当n=30时,Sn=(n-15)2-d=0,故B正确;
当d>0时,a10+a22=2a1+30d=d>0,故C正确;
当d<0时,|a10|=|a1+9d|=-5.5d,|a22|=|a1+21d|=-6.5d,
∴当d<0时,|a10|<|a22|,故D错误.
故选BC.
27.(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,且满足a1>0,
S11=S18,则对Sn描述正确的有 (　　)
A.S14是唯一最小值 B.S15是最小值
C.S29=0 D.S15是最大值
【答案】CD　
【解析】由S11=S18,可得11a1+d=18a1+d,
化为a1+14d=0=a15.
∵a1>0,∴d<0.
∴S14,S15是最大值.S29==29a15=0.
∴CD正确.故选CD.
28.(多选题)在公比q为整数的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,若a1+a4=18,a2+a3=12,则下列说法正确的是 (　　)
A.q=2
B.数列{Sn+2}是等比数列
C.S8=510
D.数列{log2an}是公差为2的等差数列
【答案】ABC　
【解析】∵a1+a4=18,a2+a3=12,即a1(1+q3)=18,a1(q+q2)=12,
公比q为整数.解得a1=q=2.
∴an=2n,Sn==2n+1-2.
∴Sn+2=2n+1,∴数列{Sn+2}是公比为2的等比数列.
S8=29-2=510.
log2an=n,数列{log2an}是公差为1的等差数列.
综上可得,ABC正确.
故选ABC.
29.(多选题)等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a1>0,S10=S20,则(　)
A.d<0 B.a16<0
C.Sn≤S15 D.当且仅当Sn<0时n≥32
【答案】 ABC　
【解析】设等差数列{an}的公差为d,∵a1>0,S10=S20,
∴10a1+45d=20a1+190d,化为2a1+29d=0,
∴d<0,a1+14d+a1+15d=0,
∴a15+a16=0,a15>0,a16<0,
∴Sn≤S15,S31=31a16<0,S30=15(a15+a16)=0.
综上可得,ABC正确.
故选ABC.
30.(多选题)等差数列{an}的前n项和为Sn,a1+5a3=S8,则下列结论一定正确的是 (　　)
A.a10=0
B.当n=9或10时,Sn取最大值
C.|a9|<|a11|
D.S6=S13
【答案】 AD　
【解析】∵等差数列{an}的前n项和为Sn,a1+5a3=S8,
∴由a1+5(a1+2d)=8a1+d,解得a1=-9d.
故a10=a1+9d=0,故A正确;
该数列的前n项和Sn=na1+d=·d-d·n,它的最值还跟d有关,
不能推出当n=9或10时,Sn取最大值,故B错误;
∵|a9|=|a1+8d|=|-d|=|d|,|a11|=|a1+10d|=|d|,故有|a9|=|a11|,故C错误;
由于S6=6a1+d=-39d,S13=13a1+d=-39d,故S6=S13,故D正确.
故选AD.