2023年高考数学客观题专题四 概率与统计 课件（共80张PPT）

(共80张PPT)
专题四 概率与统计
【考试内容】 变量的相关性;回归分析;独立性检验;古典概型;互斥事件的概率加法公式;几何概型;概率统计初步综合问题
【近7年全国卷考点统计】
试卷类型 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
全国卷(甲卷) 5 10 5 10 10 5 10
全国卷(乙卷) 5 10 5 5 5 10 15
新高考全国Ⅰ卷 10 5
新高考全国Ⅱ卷 10 10
重要考点回顾
一、二种抽样方法的联系与区别
类别 共同点 不同点 相互联系 适用范围
简单随 机抽样 都是等概率抽样 从总体中逐个抽取 总体中个体比较少
分层抽样 将总体分成若干层,按个体个数的比例抽取 在各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体中个体有明显差异
1.从含有N个个体的总体中抽取含n个个体的样本,每个个体被抽到的概率为.
2.分层抽样的步骤:
(1)分层;
(2)按比例确定每层抽取个体的个数;
(3)各层抽样;
(4)汇合成样本.
3.要懂得从图表中提取有用信息
如:在频率分布直方图中,①小矩形的面积=组距×=频率;②众数是最高矩形的中点的横坐标;③中位数的左边与右边的直方图的面积相等,可以由此估计中位数的值.
二、用样本的数字特征估计总体的数字特征
1.众数:在一组数据中,出现次数最多的数称为众数.
在频率分布直方图中用面积最大的矩形的横轴中点对应的数来估计众数.(最高矩形的横坐标中点)
2.中位数:在按大小顺序排列的一组数据中,当一组数据有奇数个时,居于中间的数称为中位数;当一组数据有偶数个时,居于中间两数的平均数称为中位数.
在频率分布直方图中,是用使图形左右两边面积相等的与横轴垂直的直线所对应的横坐标来估计中位数.
3.平均数:是指一组数据的算术平均数.
在频率分布直方图中,利用每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和来估计平均数.
平均数计算公式:
4.极差:在一组数据中,最大值与最小值的差.
5.标准差:标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示.标准差越大,数据的离散程度就越大;标准差越小,数据的离散程度就越小.
标准差计算公式:
6.方差:在刻画样本数据的分散程度上,方差和标准差是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差.
样本方差计算公式:
7.第p百分位数:一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
第p百分位数的求解步骤:
第1步,按从小到大排列原始数据;
第2步,计算i=n·p%;
第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;
若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
三、事件的关系和运算
事件的关系和运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A+B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B= ,A∪B=Ω
四、古典概型和几何概型的概率
1.古典概型的解题步骤
(1)求出总的基本事件数;
(2)求出事件A所包含的基本事件数,然后利用公式
2.几何概型及均匀随机数的产生
(1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型;
(2)几何概型的概率公式:
几何概型的特点:
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;
②每个基本事件出现的可能性相等.
五、两个变量的线性相关
1.两个相关变量数据的散点图,会利用散点图认识变量的相关关系.
2.求回归直线方程:
注意:线性回归直线经过定点
3.相关系数
|r|≤1,且|r|越接近于1,相关程度越大;|r|越接近于0,相关程度越小.
六、独立性检验(分类变量关系)
独立性检验
为了研究事件X与Y的关系,经调查得到一张2×2列联表,如下表所示
Y1 Y2 合计
X1 a b a+b
X2 c d c+d
合计 a+c b+d n=a+b+c+d
统计中有一个有用的(读做“卡方”)统计量,它的表达式是:
经过对统计量分布的研究,已经得到了两个临界值:3.841与6.635.
当根据具体的数据算出的k>3.841时,有95%的把握说事件A与B有关;
当k>6.635时,有99%的把握说事件A与B有关;
当k≤3.841时,认为事件A与B是无关的.
【规律总结】 独立性检验解题的步骤为:
第一步,提出假设H0:两个分类变量Ⅰ和Ⅱ没有关系;
第二步,根据2×2列联表和公式计算K2统计量;
第三步,查对临界值表,作出判断.
P(K2≥k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706
P(K2≥k) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
七、离散型随机变量的分布列
1.离散型随机变量:随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.所有取值可以一一列出的随机变量.
2.一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,
xn,
X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则称表
为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,具有如下性质:
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
3.两点分布:如果随机变量X的分布列为
其中0其中p=P(X=1)称为成功概率.
X 0 1
P 1-p p
4.超几何分布:一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有x件次品,则P(X=k)= (k=0,1,2,…,m),其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.
称分布列
为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列,则称随机变量X服从超几何分布.
X 0 1 … m
P …
八、二项分布及其应用
1.条件概率及其性质
(1)条件概率:对于两个事件A和B,称P(B|A)= ,P(A)>0为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.其中:P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率.
在古典概型中,若用n(A)表示事件A中基本事件的个数,
则P(B|A)= .
(2)条件概率的性质
①0≤P(B|A)≤1;
②如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).
2.事件的相互独立:设事件A,B,若事件A的发生与事件B的发生互不影响,则称事件A与B相互独立.即:P(AB)=P(A)P(B).
3.全概率公式:一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,
A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,
有P(B)=P(Ai)P(B|Ai).
4.贝叶斯公式:设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪
…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,P(B)>0有P(Ai|B)==,i=1,2,…,n.
5.独立重复试验与二项分布
(1)n次独立重复试验:一般地,在相同条件下重复做的n次试验.即:
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An),其中Ai(i=1,2…,n)是第i次试验的结果;
(2)二项分布:一般地在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)= pk(1-p)n-k,
k=0,1,2,…,n,此时称随机变量X服从二项分布,记为X~B(n,p),并称p为成功概率;
(3)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p);
(4)若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).
6.离散型随机变量的均值与方差
一般地,若离散型随机变量X的分布列为
(1)均值:称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平;
(2)方差:称D(X)= (xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,并称其算术平方根 为随机变量X的标准差;
(3)均值与方差的性质:
①E(aX+b)=aE(X)+b;②D(aX+b)=a2D(X);(a,b为常数)
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
7.正态分布
(1)正态曲线:若概率密度曲线就是(或近似地是)函数
φμ,σ(x)= ,x∈(-∞,+∞)的图象,其中实数μ,σ(σ>0)是参数.
称φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线;
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方,与x轴不相交;
②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
③曲线在x=μ处达到峰值 ;
④曲线与x轴之间的面积为1;
⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图甲所示;
⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图乙所示;
(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值:
①P(μ-σ②P(μ-2σ③P(μ-3σ甲 乙
考点训练
1.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率为 (　　)
A. B. C. D.
【答案】D　
【解析】设3个红球分别为A1,A2,A3,2个白球分别为B1,B2.则从袋中任取3个球的所有可能为:(A1,A2,A3),(A1,A2,B1),(A1,A3,B1),
(A2,A3,B1),(A1,A2,B2),(A1,A3,B2),(A2,A3,B2),(A1,B1,B2),
(A2,B1,B2),(A3,B1,B2)共10种,
设“所取3个球中至少有1个白球的事件”为M,则M含有基本事件(A1,A2,B1),(A1,A3,B1),(A2,A3,B1),(A1,A2,B2),(A1,A3,B2),(A2,A3,B2),(A1,B1,B2),(A2,B1,B2),(A3,B1,B2)共9种.
故P(M)=.故选D.
2.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 (　　)
A. B. C. D.
【答案】A　
【解析】记3个兴趣小组分别为1,2,3,设甲、乙两位同学各自参加各个小组为(甲,乙),
于是甲、乙两位同学各自参加其中一个小组的所有可能有:(1,1),
(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共9种,
记“两位同学参加同一个兴趣小组的事件”为M,则M含有基本事件:(1,1),(2,2),(3,3)共3种.
故P(M)==.故选A.
3.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 (　　)
A. B. C. D.
【答案】B　
【解析】设3个黑球分别为A1,A2,A3,2个白球分别为B1,B2,1个红球为C,则从袋中任取两个球的所有可能为:(A1,A2),(A1,A3),
(A1,B1),(A1,B2),(A1,C),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C),(A3,B1),
(A3,B2),(A3,C),(B1,B2),(B1,C),(B2,C)共15种,
设“从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑”为事件M,则M含有基本事件(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2)共6种.
故P(M)==.故选B.
4.四边形ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O为AB的中点,在长方形ABCD内随机取一点,取到的点到O的距离大于1的概率为(　　)
A. B.1- C. D.1-
【答案】B　
【解析】长方形ABCD的面积是2,长方形ABCD中到点O的距离小于1的点构成的图形是以O为圆心1为半径的半圆,面积为,
所以所求概率为=1-.故选B.
5.在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20 cm2的概率为 (　　)
A. B. C. D.
【答案】C　
【解析】设AC长为x cm,
则有x(12-x)>20,即x2-12x+20<0,即(x-2)(x-10)<0,∴2∴点C只能在2 cm到10 cm共8 cm的长度内.
∴该矩形面积大于20 cm2的概率为=.故选C.
6.设不等式组表示平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 (　　)
A. B. C. D.
【答案】D　
【解析】不等式组表示的区域是一个边长为2的正方形区域D,面积为22=4,这个区域内到坐标原点距离小于2的区域是一个圆心角为90°,半径为2的扇形区域,即的圆,面积为π.区域D内到坐标原点距离大于2的区域是正方形区域D减去扇形区域,面积为4-π.所以在平面区域D中任取一点到坐标原点距离大于2的概率为.故选D.
7.在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为　　　　　.
【答案】　
【解析】此题属于几何概型问题.如图,
在区间[-1,2]上随机取一个数x,相当于线段AB上任取一个点,
x∈[0,1]即相当于所取的点落在线段CD上.由于线段AB的长是3,线段CD的长是1,故所求概率为.
8.从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是　　　　　.
【答案】　
【解析】从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条,不同的取法有(2,3,4),(2,4,5),(2,3,5),(3,4,5)共四种.
其中可以构成三角形的有(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5)共三种.
故可以构成三角形的概率是.
9.从一堆苹果中任取10个,称得它们的质量如下(单位:克)
125　　120　　122　　105　　130　
114　　116　　 95　　 120　　134
则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为 (　　)
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
【答案】C　
【解析】由题意可知样本数据落在[114.5,124.5)内的有120,122,
116,120共4个,
故所求频率为=0.4.故选C.
10.容量为20的样本数据,分组后的频数分布如下表
则样本数据落在区间[10,40)的频率为 (　　)
A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65
分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70)
频数 2 3 4 5 4 2
【答案】B
【解析】由频数表易知样本数据落在区间[10,40)的频数为2+3+4=9,
故样本数据落在区间[10,40)的频率为=0.45.故选B.
11.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是 (　　)
A.46,45,56
B.46,45,53
C.47,45,56
D.45,47,53
【答案】A
【解析】由茎叶图可知,该样本的中位数、众数、极差分别是46,45,56.故选A.
1 2 3 4 5 6 2　5
0　2　3　3
1　2　4　4　8　9
5　5　5　7　7　8　8　9
0　0　1　1　4　7　9
1　7　8
12.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为 (　　)
A.101 B.808 C.1212 D.2012
【答案】B　
【解析】由于甲社区有驾驶员96人,且在甲社区抽取驾驶员的人数为12,
故所抽取的比例为=,于是有N=(12+21+25+43)÷=808.
故选B.
13.某单位200名职工的年龄分布情况,如图,现要从中抽取40名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随机按1~200编号,并按编号顺序平均分为40组(1~5号,6~10号,…,196~200号).若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是　　　　　.若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取　　　　　人.
【答案】37;20
【解析】根据系统抽样的原理,每组5个人,第5组抽出的号码是22,说明每组的第2个人被抽中,所以第8组抽出的号码应该是37.
根据分层抽样的原理,40岁以下占总职工人数50%,所以应该抽取40×50%=20(人).
14.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习,每人投10次,投中的次数如下表:
则以上两组数据的方差中较小的一个为s2=　　　　　.
学生 1号 2号 3号 4号 5号
甲班 6 7 7 8 7
乙班 6 7 6 7 9
【答案】 　
【解析】根据题中所给数据可知,甲班的方差比较小,
于是有==7,
s2=×[(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2]=.
15.由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为　　　　　.(从小到大排列)
【答案】1,1,3,3　
【解析】根据题意,平均数是2,有=2;
中位数也是2,有=2,从而有=2;
由于x1,x2,x3,x4都是正整数,所以可能的组合有2,2,2,2或者1,1,3,3,
由标准差等于1可知这组数据为1,1,3,3.
16.右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是[20.5,26.5],样本数据的分组为[20.5,21.5),[21.5,22.5),[22.5,23.5),
[23.5,24.5),[24.5,25.5),[25.5,26.5].已知样本中平
均气温低于22.5℃的城市个数为11,则样本中平
均气温不低于25.5℃的城市个数为　　　　　.
【答案】9
【解析】根据频率分布直方图,设城市总数为n,
因为样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11,
所以有(0.10+0.12)×1×n=11,得到n==50,
样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为0.18×1×50=9.
广告费用x(万元) 4 2 3 5
销售额y(万元) 49 26 39 54
17.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表

根据上表可得回归方程= x+ 中的的值为9.4,据此模型预报,当广告费用为6万元时,销售额为 (　　)
A.63.6万元 B.65.5万元
C.67.7万元 D.72.0万元
【答案】B　
【解析】==3.5,==42,
因为(,)符合回归方程,得到=- =42-3.5×9.4=9.1,
所以=9.4x+9.1=9.4×6+9.1=65.5.故选B.
18.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位:小时)与当天投篮命中率y之间的关系:
小李这5天的平均投篮命中率为　　　　;用线性回归分析的方法,预测小李某月6号打篮球6小时的投篮命中率为　　　　　.
时间x 1 2 3 4 5
命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4
【答案】0.5;0.53
【解析】小李这5天的平均投篮命中率=×(0.4+0.5+0.6+0.6+0.4)=0.5,=×(1+2+3+4+5)=3,
b===0.01,a=-b=0.47,
所以y=0.01x+0.47,
当x=6时,y=0.53.
19.某装饰品的广告费投入x(单位:万元)与销售y(单位:万元)之间有如下表所示的对应数据,则回归直线方程为 (　　)
A. =7.5x+24.5 B. =7.5x-24.5
C. =-7.5x+24.5 D. =-7.5x-24.5
x 3 4 5 6 7
y 40 60 65 75 70
【答案】A
【解析】∵=×(3+4+5+6+7)=5,=×(40+60+65+75+70)=62,
∵(,)满足回归方程,
∴只有A答案满足.故选A.
20.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
由K2=算得,K2=≈7.8
参照附表,得到的正确结论是 (　　)
A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
【答案】A
【解析】∵7.8>6.635,
∴有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选A.
21.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是 (　　)
A.若K2的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病
B.从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,那么他有99%的可能患有肺病
C.若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有5%的可能性使得推断出现错误
D.以上三种说法都不正确
【答案】C
22.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[45,55),[55,65),[65,75),
[75,85),[85,95),由此得到频率分布直方图,则这20名工人中一天生产该产品数量的中位数和平均数分别为　　　、 　.
【答案】62.5;64
【解析】产品数量在区间[45,55)的频率为0.2,
产品数量在区间[55,65)的频率为0.4,产品数量
在区间[65,75)的频率为0.25,产品数量在区间[75,85)的频率为0.1,产品数量在区间[85,95)的频率为0.05.
设这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为x,由中位数左边立方图的小矩形面积为0.5,可得0.2+(x-55)×0.04=0.5,可得x=62.5.这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为0.2×50+0.4×60+0.25×70+0.1×80+0.05×90=64.
23.冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备,为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系,调查结果如下表所示:
根据以上数据,则 (　　)
A.含杂质的高低与设备改造有关
B.含杂质的高低与设备改造无关
C.设备是否改造决定含杂质的高低
D.以上答案都不对
杂质高 杂质低
旧设备 37 121
新设备 22 202
【答案】A
【解析】由已知数据得到如下2×2列联表
由公式K2=≈13.11,
由于13.11>6.635,故有99%的把握认为含杂质的高低与设备改造是有关的.故选A.
杂质高 杂质低 合计
旧设备 37 121 158
新设备 22 202 224
合计 59 323 382
24.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3
【答案】B
【解析】由题意知,该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布,
所以DX=10p(1-p)=2.4,所以p=0.6或p=0.4.
由P(X=4)所以p>0.5,所以p=0.6.故选B.
25.设0则当p在(0,1)内增大时, (　　)
A.D(ξ)减小 B.D(ξ)增大
C.D(ξ)先减小后增大 D.D(ξ)先增大后减小
ξ 0 1 2
P
【答案】D
【解析】由题可得E(ξ)=+p,所以D(ξ)=-p2+p+=-+,
所以当p在(0,1)内增大时,D(ξ)先增大后减小.故选D.
26.已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2.若0A.E(ξ1)D(ξ2)
C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
【答案】A
【解析】由题意可得
由两点分布E(ξ1)=p1,E(ξ2)=p2;D(ξ1)=(1-p1)p1,D(ξ2)=(1-p2)p2,
∵D(ξ2)-D(ξ1)=(1-p2)p2-(1-p1)p1=(p2-p1)-(-)=(p2-p1)(1-p2-p1)
∵00,1-p2-p1>0,
∴E(ξ1)ξ1 0 1 ξ2 0 1
P 1-p1 p1 P 1-p2 p2
27.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX=　　　　　.
【答案】1.96　
【解析】由题意可得,抽到二等品的件数符合二项分布,即X~B(100,0.02),
由二项分布的期望公式可得DX=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96.
28.设X~N(μ1,),Y~N(μ2,),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是 (　　)
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
【答案】C
【解析】由正态分布密度曲线的性质可知,X~N(μ1,),
Y~N(μ2,)的密度曲线分别关于直线x=μ1,x=μ2对称,因此结合题中所给图象可得μ1<μ2,所以P(Y≥μ2)又X~N(μ1,)得密度曲线较Y~N(μ2,)的密度曲线“瘦高”,所以σ1<σ2,所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1),B错误.
对任意正数t,由图象知P(X≤t)≥P(Y≤t),C正确,D错误.故选C.
29.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 (　　)
(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,
P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%)
A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%
【答案】B　
【解析】P(3<ξ<6)=×(95.44%-68.26%)=13.59%.故选B.
30.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 (　　)
A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45
【答案】A　
【解析】根据条件概率公式P(B|A)=,
可得所求概率为=0.8.故选A.
31.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)= (　　)
A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
【答案】C　
【解析】如正态分布的密度函数示意图所示,
函数关于直线x=2对称,
所以P(ξ<2)=0.5,并且P(0<ξ<2)=P(2<ξ<4)
则P(0<ξ<2)=P(ξ<4)-P(ξ<2)=0.8-0.5=0.3.故选C.
32.某读书会有6名成员,寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下:3,2,5,4,3,1,则这组数据的75%分位数为 (　　)
A.3 B.4 C.3.5 D.4.5
【答案】B　
【解析】∵这组数从小到大排序为1,2,3,3,4,5,由6×75%=4.5,
∴由百分位数的定义可求出这组数据的75%分位数为从小到大排列的第5个数,即为4.
故选B.
33.如图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图,则由直方图得到的25%分位数为 (　　)
A.66.5 B.67
C.67.5 D.68
【答案】C
【解析】∵第一组的频率为0.010×10=0.1,前两组的频率之和为(0.010+0.020)×10=0.3,
∴25%分位数在区间[60,70]内.
∴25%分位数为60+×10=67.5.故选C.
34.已知甲袋中有6只红球,4只白球,乙袋中有8只红球,6只白球.随机取一个袋,再从袋中任取一球,发现是红球,则此球来自甲袋的概率为 (　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设事件B为取出的球是红球,事件A1为该球来自甲袋,事件A2为该球来自乙袋.
则由题意知,P(A1)=P(A2)=,P(B|A1)==,P(B|A2)==.
由全概率公式可得,
P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)=×+×=,
所以P(A1|B)====.故选D.
35.(多选题)在疫情防控阻击战之外,另一条战线也日渐清晰——恢复经济正常运行.国人万众一心,众志成城,防控疫情、复工复产,某企业对本企业1644名职工关于复工的态度进行调查,调查结果如图所示,则下列说法正确的是 (　　)
A.x=0.384
B.从该企业中任取一名职工,
该职工是倾向于在家办公的概率为0.178
C.不到80名职工倾向于继续申请休假
D.倾向于复工后在家办公或在公司办
公的职工超过986名
疫情防控期间某企业职工复工态度调查
【答案】BD
【解析】对于A,∵x%=100%-42.3%-17.8%-5.1%=34.8%,
∴x=34.8,故A错误;
对于B,从该企业中任取一名职工,该职工是倾向于在家办公的概率为17.8%=0.178,故B正确;
对于C,1644×5.1%≈84(名)职工倾向于继续申请休假,故C错误;
对于D,倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工人数为1644×(17.8%+42.3%)≈988,超过986名,故D正确.
故选BD.
36.(多选题)某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位:°C)的数据,绘制了如图的折线图.已知该城市各月的最低气温与最高气温具有较好的线性关系,则根据折线图,下列结论正确的是 (　　)
A.最低气温与最高气温为正相关
B.10月的最高气温不低于5月的
最高气温
C.月温差(最高气温减最低气温)
的最大值出现在1月
D.最低气温低于0°C的月份有4个
【答案】ABC
【解析】由该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位:℃)的数据的折线图得,
对于A,最低气温与最高气温为正相关,故A正确;
对于B,10月的最高气温不低于5月的最高气温,故B正确;
对于C,月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月,故C正确;
对于D,最低气温低于0℃的月份有3个,故D错误.
故选ABC.
37.(多选题)我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策.为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响,某地从育龄群体中随机抽取了容量为200的调查样本,其中城镇户籍与农村户籍各100人;男性120人,女性80人,绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示,其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例,则下列叙述正确的是 (　　)
A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关
B.是否倾向选择生育二胎与性别无关
C.调查样本中倾向选择生育二胎的群体中,男性人数与女性人数相同
D.倾向选择不生育二胎的群体中,农村户籍人数多于城镇户籍人数
【答案】AB
【解析】由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图知,
对于A,∵城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为40%,农村户籍倾向选择生育二胎的比例为80%,
∴是否倾向选择生育二胎与户籍有关,故A正确;
对于B,∵男性倾向选择生育二胎的比例为60%,女性倾向选择生育二胎的比例为60%,
∴是否倾向选择生育二胎与性别无关,故B正确;
对于C,∵男性倾向选择生育二胎的比例为60%,人数为120×60%=72,女性倾向选择生育二胎的比例为60%,人数为80×60%=48,
∴倾向选择生育二胎的人员中,男性人数与女性人数不相同,故C错误;
对于D,∵倾向选择不生育二胎的人员中,农村户籍人数为
100×(1-80%)=20,城镇户籍人数为100×(1-40%)=60,
∴倾向选择不生育二胎的人员中,农村户籍人数少于城镇户籍人数,故D错误.
故选AB.
38.(多选题)已知甲罐中有四个相同的小球,标号为1,2,3,4;乙罐中有五个相同的小球,标号为1,2,3,5,6.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球,记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”,事件B=“抽取的两个小球标号之积大于8”,则 (　　)
A.事件A发生的概率为
B.事件A∪B发生的概率为
C.事件A∩B发生的概率为
D.从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为
【答案】BC
【解析】甲罐中有四个相同的小球,标号1,2,3,4;乙罐中有五个相同的小球,标号为1,2,3,5,6.
现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球,记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”,事件B=“抽取的两个小球标号之积大于8”,
对于A,
从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球,基本事件总数n=4×5=20,
事件A包含的基本事件有(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),
(4,5),(4,6),共11个,∴P(A)=,故A错误;
对于B,事件A∪B包含的基本事件有(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),
(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),共11个,∴P(A∪B)=,故B正确;
对于C,事件A∩B包含的基本事件有(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,3),(4,5),
(4,6),共8个,∴P(A∩B)==.故C正确.
对于D,从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为P==,故D错误.
故选BC.
39.(多选题)从装有大小和形状完全相同的2个红球和3个黑球的口袋内任取2个球,下列各对事件中,互斥而不对立的是 (　　)
A.“至少一个红球”和“都是红球”
B.“恰有一个红球”和“都是红球”
C.“恰有一个红球”和“都是黑球”
D.“至少一个红球”和“都是黑球”
【答案】BC
【解析】从装有大小和形状完全相同的2个红球和3个黑球的口袋内任取2个球,
对于A,“至少一个红球”和“都是红球”能同时发生,不是互斥事件,故A错误;
对于B,“恰有一个红球”和“都是红球”不能同时发生,是互斥而不对立事件,故B正确;
对于C,“恰有一个红球”和“都是黑球”不能同时发生,是互斥而不对立事件,故C正确;
对于D,“至少一个红球”和“都是黑球”是对立事件,故D错误.故选BC.
40.(多选题)若X的分布列如下表所示:
则 (　　)
A.P(X>0)=0.8 B.E(X)=3
C.P(X<4)=0.4 D.D(X)=1.8
X 0 2 4
P 0.1 0.3 0.6
【答案】BCD
【解析】由X的分布列知,
对于A,P(X>0)=0.3+0.6=0.9,故A错误;
对于B,E(X)=0×0.1+2×0.3+4×0.6=3,故B正确;
对于C,P(X<4)=0.1+0.3=0.4,故C正确;
对于D,D(X)=(0-3)2×0.1+(2-3)2×0.3+(4-3)2×0.6=1.8,故D正确.故选BCD.
41.(多选题)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是 (　　)
A.P(X=1)=E(X) B.E(4X+1)=4
C.D(X)= D.D(4X+1)=4
【答案】ABC
【解析】随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,
则P(X=1)=,E(X)=0×+1×=,
对于A,P(X=1)=E(X),故A正确;
对于B,E(4X+1)=4E(X)+1=4×+1=4,故B正确;
对于C,D(X)=×+×=,故C正确;
对于D,D(4X+1)=16×=3,故D错误.故选ABC.
42.(多选题)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期.某农户利用精准扶贫政策,贷款承包了一个新型温室鲜花大棚,种植、销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ,302)和N(280,402),则下列选项正确的是 (　　)
(附:若随机变量服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σA.若红玫瑰日销售量范围在(μ-30,280)的概率是0.6826,则红玫瑰日销售量的平均数约为250
B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D.白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为0.3413
【答案】ABD
【解析】若红玫瑰日销售量范围在(μ-30,280)的概率是0.6826,
则μ+30=280,即μ=250.
∴红玫瑰日销售量的平均数约为250,故A正确;
∵红玫瑰日销售量的方差σ1=900,
白玫瑰日销售量的方差σ2=1600,
红玫瑰日销售量的方差小于白玫瑰日销售量的方差,
则红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中,故B正确,C错误;
白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率
P=(μ43.(多选题)已知在某市的一次学情检测中,学生的数学成绩X服从正态分布N(105,100),其中90分为及格线,120分为优秀线,下列说法正确的是 (　　)
(附:随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6826,
P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974.)
A.该市学生数学成绩的期望为105
B.该市学生数学成绩的标准差为100
C.该市学生数学成绩及格率超过0.99
D.该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
【答案】AD
【解析】由题意,正态分布曲线的对称轴为x=105,σ=10.
∴该市学生数学成绩的期望为105,故A正确;
该市学生数学成绩的标准差为10,故B错误;
∵P(85∴P(X≤85)=P(X≥125)=[1-P(85则P(X<90)>0.0228,P(X≥90)<0.9772<0.99,故C错误;
由正态分布曲线的对称性可知,P(X<90)=P(X>120),可知该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等,故D正确.
故选AD.
44.(多选题)有3台车床加工同一型号零件,第1台次品率为6%,第2,3台次品率均为5%,加工的零件混在一起,已知第1,2,3台车床加工的零件分别占总数的25%,30%,45%,记事件B=“任取一个零件为次品”,事件Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),则 (　　)
A.P(B|A1)=0.06 B.P(A2B)=0.015
C.P(B)=0.0525 D.P(A1|B)=
【答案】ABC　
【解析】由题意可得,P(A1)=0.25,P(A2)=0.3,P(A3)=0.45,
P(B|A1)=0.06,P(B|A2)=P(B|A3)=0.05,故A正确;
P(A2B)=P(A2)P(B|A2)=0.3×0.05=0.015,故B正确;
由全概率公式可得,
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525,故C正确;
P(A1|B)===,故D错误.
故选ABC.
45.(多选题)给出以下24个数据:
148.0　149.0　154.0　154.0　155.0　155.0　155.2　157.0
158.0　158.0　159.0　159.5　161.5　162.0　162.5　162.5
163.0　163.0　164.0　164.1　165.0　170.0　171.0　172.0
对于以上给出的数据,下列选项正确的为 (　　)
A.极差为24.0
B.第75百分位数为164.0
C.第25百分位数为155.2
D.第80百分位数为164.1
【答案】AD
【解析】对于A,由题意可得,极差为172-148=24,故A正确;
对于BCD,
∵25%×24=6,75%×24=18,80%×24=19.2,
∴样本数据的第25,75,80百分位数为第6,7位的平均数,第18,19位的平均数,第20位数据,
即分别为=155.1,=163.5,164.1,故BC错误,D正确.
故选AD.
46.(多选题)假设某市场供应的智能手机中,各品牌的市场占有率和优质率的信息如下表所示:
在该市场中任意买一部手机,用事件A1,A2,A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌,B表示买到的是优质品,则(　)
A.P(A1)=0.50 B.P(B|A2)=0.90
C.P(BA3)=0.70 D.P(B)=0.81
品牌 甲 乙 其他
市场占有率 50% 30% 20%
优质率 80% 90% 70%
【答案】ABD
【解析】由题中表格可得,P(A1)=50%,P(A2)=30%,P(A3)=20%,故A正确;
P(B|A1)=80%,P(B|A2)=90%,P(B|A3)=70%,故B正确;
P(BA3)=P(A3)P(B|A3)=20%×70%=0.14,故C错误;
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=50%×80%+30%×90%+20%×70%=0.81,故D正确.
故选ABD.