专题一 三角函数及解三角形
第2讲 三角恒等变换与解三角形
【基础知识梳理】：
要点 三角恒等变换及求值
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）sin（α±β）＝sin αcos β±cos αsin β；
（2）cos（α±β）＝cos αcos β sin αsin β；
（3）tan（α±β）＝.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）sin 2α＝2sin αcos α；
（2）cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
（3）tan 2α＝.
要点 正弦定理、余弦定理
1.正弦定理及其变形
在△ABC中，＝＝＝2R（R为△ABC的外接圆半径）.变形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
2.余弦定理及其变形
在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝a2＋c2－2accos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C.
变形：b2 ＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝；
a2＋c2－b2＝2accos B，cos B＝；
a2＋b2－c2＝2abcos C，cos C＝.
另：A为锐角 b2＋c2－a2＞0；
A为直角 b2＋c2－a2＝0；
A为钝角 b2＋c2－a2＜0.
3.三角形的面积公式
S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B.
要点 正、余弦定理的应用
1.三角形的面积公式的选择
（1）已知三角形一边及该边上的高，利用S＝ah（h表示边a上的高）；
（2）已知三角形的两边及其夹角，利用S＝absin C；
（3）已知三角形的三边，利用S＝；
（4）已知三角形的三边及内切圆半径，利用S＝（a＋b＋c）r（r为三角形的内切圆半径）.
2.三角形中常用的结论
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，常见的结论有：
（1）A＋B＋C＝π；
（2）在△ABC中，大角对大边，大边对大角，如：a＞b A＞B sin A＞sin B；
（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；
（4）在锐角三角形ABC中，sin A＞cos B A＋B＞；
（5）在斜△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C；
（6）有关三角形内角的常用三角恒等式：
sin（A＋B）＝sin C，
cos（A＋B）＝－cos C，
tan（A＋B）＝－tan C，
sin＝cos，
cos＝sin.
调研 三角恒等变换及求值
a.应用倍角公式求值
1.（2020·全国Ⅰ）已知α∈（0，π），且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝ （ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：由3cos 2α－8cos α＝5，得3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－或cos α＝2（舍去），因为α∈（0，π），所以sin α＝.故选A.
[解题技法]
已知的角为倍角和单角，所求的角为单角，化倍角为单角，应用倍角公式求解.应用倍角公式可转化为单角三角函数的二次方程.
b.和差角公式的运用
2.（2022·河南杞县模拟）已知0＜θ＜，若sin＝－，则sin θ＋cos θ＝（ ）
A. B.
C.或 D.或
答案：B
解析：因为0＜θ＜，所以－＜2θ－＜，
又sin＝－，所以－＜2θ－＜0，
所以cos＝，
所以sin 2θ＝sin＝sincos＋cossin＝，
所以（sin θ＋cos θ）2＝1＋sin 2θ＝，
又sin θ＋cos θ＞0，所以sin θ＋cos θ＝.故选B.
[对点提升]
1.（2021·新高考Ⅰ）若tan θ＝－2，则＝ （ ）
A.－ B.－ C. D.
答案：C
解析：将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母（1＝sin2θ＋cos2θ），进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan θ＝－2即可得到结果.
＝
＝sin θ（sin θ＋cos θ）＝
＝＝＝.故选C.
2.（2021·全国甲卷）若α∈，tan 2α＝，则tan α＝ （ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：由二倍角公式可得tan 2α＝＝，再结合已知可求得sin α＝，利用同角三角函数的基本关系式即可求解.
∵tan 2α＝，
∴tan 2α＝＝＝.
∵α∈，∴cos α＞0，
∴＝，解得sin α＝，
∴cos α＝＝，∴tan α＝＝.
故选A.
调研 正弦定理、余弦定理
a.运用正、余弦定理求角
1.（2022·全国乙卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin（A－B）＝sin Bsin（C－A）.
（1）若A＝2B，求C；
（2）证明：2a2＝b2＋c2.
（1）解：由A＝2B，sin Csin（A－B）＝sin Bsin（C－A）可得，sin Csin B＝sin Bsin（C－A），而0＜B＜，所以sin B∈（0，1），即有sin C＝sin（C－A）＞0，而0＜C＜π，0＜C－A＜π，显然C≠C－A，所以C＋C－A＝π，而A＝2B，A＋B＋C＝π，所以C＝.
（2）证明：由sin Csin（A－B）＝sin Bsin（C－A）可得，
sin C（sin Acos B－cos Asin B）＝sin B（sin Ccos A－cos C·sin A），再由正弦定理可得，
accos B－bccos A＝bccos A－abcos C，然后根据余弦定理可知，
（a2＋c2－b2）－（b2＋c2－a2）＝（b2＋c2－a2）－（a2＋b2－c2），
化简得2a2＝b2＋c2，故原等式成立.
[解题技法]
应用正、余弦定理求角，常有两个思路：把条件转化为三边的关系或把角化为已知角的和（或差）.
b.运用正、余弦定理求边
2.（2021·全国甲卷）在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝ （ ）
A.1 B. C. D.3
答案：D
解析：利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
设AB＝c，AC＝b，BC＝a，
结合余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
可得19＝a2＋4－2×a×2×cos 120°，
即a2＋2a－15＝0，解得a＝3（a＝－5舍去），
故BC＝3.故选D.
[解题技法]
解三角形的常见题型及求解方法
（1）已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c.
（2）已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C.
（3）已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.
（4）已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理＝可求出另一边b的对角B.由C＝π－（A＋B），可求出角C.再由＝可求出c.注意通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况.
[对点提升]
（2021·北京卷）已知在△ABC中，c＝2bcos B，C＝.
（1）求B的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度.
①c＝b；②周长为4＋2；③面积为S△ABC＝.
解：（1）∵c＝2bcos B，
则由正弦定理可得sin C＝2sin Bcos B，
∴sin 2B＝sin＝.
又∵C＝，∴B∈，2B∈，
∴2B＝，解得B＝.
（2）若选择①.由正弦定理结合（1）可得＝＝＝，与c＝b矛盾，故这样的△ABC不存在.
若选择②.由（1）可得A＝.
设△ABC的外接圆半径为R，
则由正弦定理可得a＝b＝2Rsin＝R，
c＝2Rsin＝R，
则周长a＋b＋c＝2R＋R＝4＋2，
解得R＝2，则a＝b＝2，c＝2.
由余弦定理可得BC边上的中线的长度为
＝.
若选择③.由（1）可得A＝，即a＝b，
则S△ABC＝absin C＝a2×＝，解得a＝，
则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为
＝
＝.
调研 正、余弦定理的应用
a.应用正弦定理解决周长问题
1.（2020·全国Ⅱ）△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
（1）求A；
（2）若BC＝3，求△ABC周长的最大值.
解：（1）由正弦定理和已知条件得
BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A.②
由①②得cos A＝－.又因为0＜A＜π，所以A＝.
（2）由正弦定理及（1）得＝＝＝2，从而AC＝2sin B，AB＝2sin（π－A－B）＝3cos B－sin B，故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B＝3＋2sin.
因为A＝π，所以0＜B＜，＜B＋＜，
则当B＋＝，即B＝时，△ABC的周长取得最大值3＋2.
[解题技法]
正弦定理应用于齐次式的边角关系转化，本例中将周长表达式转化为关于角B的函数.
b.应用正、余弦定理求最值
2.（2022·新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
（1）若C＝，求B；
（2）求的最小值.
解：（1）因为＝＝＝，所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B，即sin B＝cos Acos B－sin Asin B＝cos（A＋B）＝－cos C＝，
而0＜B＜，所以B＝.
（2）由（1）知，sin B＝－cos C＞0，所以＜C＜π，0＜B＜，
而sin B＝－cos C＝sin，
所以C＝＋B，即有A＝－2B.
所以＝＝
＝＝4cos2B＋－5≥2－5＝4－5，当且仅当cos2B＝时取等号，所以的最小值为4－5.
c.与面积有关的求值
3.（2020·北京卷）在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）a的值；
（2）sin C和△ABC的面积.
条件①：c＝7，cos A＝－；
条件②：cos A＝，cos B＝.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
解：若选条件①，
（1）∵a＋b＝11，∴b＝11－a.已知c＝7，cos A＝－，
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a2＝（11－a）2＋72－2×（11－a）×7×，解得a＝8.
（2）∵cos A＝－，A∈（0，π），
∴sin A＝＝.
∵＝，
∴sin C＝＝.
又∵b＝11－a＝11－8＝3，
∴S△ABC＝bcsin A＝×3×7×＝6.
若选条件②，
（1）∵cos A＝，A∈（0，π），
∴sin A＝＝.
∵cos B＝，B∈（0，π），
∴sin B＝＝.
由正弦定理＝，得＝，
∴5a＝6b.
又∵a＋b＝11，∴a＝6.
（2）由（1）可得b＝11－a＝5.
sin C＝sin[π－（A＋B）]＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝，
∴S△ABC＝absin C＝×6×5×＝.
[对点提升]
若△ABC的面积为（a2＋c2－b2），且C为钝角，则B＝ ；的取值范围是 .
答案： （2，＋∞）
解析：由余弦定理得cos B＝，∴a2＋c2－b2＝2accos B.又∵S＝（a2＋c2－b2），∴acsin B＝×2accos B，∴tan B＝，又∵B∈（0，π），∴B＝.又∵C为钝角，∴C＝－A＞，∴0＜A＜.由正弦定理得＝＝＝＝＋·.∵0＜tan A＜，∴＞，∴＞＋×＝2，即＞2.∴的取值范围是（2，＋∞）.专题一 三角函数及解三角形
第2讲 三角恒等变换与解三角形
【基础知识梳理】：
要点 三角恒等变换及求值
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
要点 正弦定理、余弦定理
1.正弦定理及其变形
要点 正、余弦定理的应用
1.三角形的面积公式的选择
2.三角形中常用的结论
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，常见的结论有：
【典型问题分析】
调研 三角恒等变换及求值
a.应用倍角公式求值
1.（2020·全国Ⅰ）已知α∈（0，π），且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝ （ ）
A. B. C. D.
[解题技法]
b.和差角公式的运用
2.（2022·河南杞县模拟）已知0＜θ＜，若sin＝－，则sin θ＋cos θ＝（ ）
A. B.
C.或 D.或
[对点提升]
1.（2021·新高考Ⅰ）若tan θ＝－2，则＝ （ ）
A.－ B.－ C. D.
2.（2021·全国甲卷）若α∈，tan 2α＝，则tan α＝ （ ）
A. B. C. D.
调研 正弦定理、余弦定理
a.运用正、余弦定理求角
1.（2022·全国乙卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin（A－B）＝sin Bsin（C－A）.
（1）若A＝2B，求C；
（2）证明：2a2＝b2＋c2.
[解题技法]
b.运用正、余弦定理求边
2.（2021·全国甲卷）在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝ （ ）
A.1 B. C. D.3
[解题技法]
[对点提升]
（2021·北京卷）已知在△ABC中，c＝2bcos B，C＝.
（1）求B的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度.
①c＝b；②周长为4＋2；③面积为S△ABC＝.
调研 正、余弦定理的应用
a.应用正弦定理解决周长问题
1.（2020·全国Ⅱ）△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
（1）求A；
（2）若BC＝3，求△ABC周长的最大值.
[解题技法]
b.应用正、余弦定理求最值
2.（2022·新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
（1）若C＝，求B；
（2）求的最小值.
c.与面积有关的求值
3.（2020·北京卷）在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）a的值；
（2）sin C和△ABC的面积.
条件①：c＝7，cos A＝－；
条件②：cos A＝，cos B＝.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
[对点提升]
若△ABC的面积为（a2＋c2－b2），且C为钝角，则B＝ ；的取值范围是 .
