直接讨论法
知识与方法
1.直接讨论法处理恒成立问题,是指对题中给出的函数(含有参数)直接求导,通过对参数的分类讨论,确定函数的单调性,得出函数的最值(或值域),进而求得参数的取值范围.核心思想是:
若函数存在最大(小)值,则:
(1)恒成立等价于;
(2)恒成立等价于.
2.直接讨论法研究恒成立问题,求解的关键在于确定函数的单调区间.
一般地,可根据导数的正负得到函数的单调区间.常用的手段是对导数进行因式分解或利用求根公式求根;当极值点不可求时,常利用零点存在性定理,确定导数零点的范围之后再进行讨论.
3.用导数研究含参函数的单调性,一般要进行分类讨论,其一般步骤为:
(1)先求函数的定义域;
(2)求导函数(通分、因式分解,便于讨论导函数的正负);
(3)先讨论只有一种单调区间的(导函数同号的)情况;
(4)再讨论有增有减的情况(导函数有正有负,以其零点分界);
(5)点睛意函数的断点,不连续的同类单调区间不要合并.
典型例题
可求最值型
【例1】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若,求的取值范围.
【解析】(1)函数的定义域为,
①若,则在上单调递增.
②若,则由得.
当时,;当时,,
故在单调递减,在单调递增.
③若,则由得.
当时,;
当时,,
故在单调递减,在单调递增.
(2) ①若,则,满足题意;
②若,则由(1)得,当时,取得最小值,最小值为.
从而当且仅当,解得,即时,.
③若,则由(1)得,当时,取得最小值,
最小值为.
从而,当且仅当,即时,.
综上,的取值范围为.
【点睛】求导之后,要有因式分解的意识.这个式子十分关键.令得或,即或.点睛意到0,显然接下来需要分类讨论,讨论的临界点就是.
对数靠边走
【例2】已知函数.
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)若当时,,求的取值范围.
【解析】(1)的定义域为.
当时,.
曲线在处的切线方程为.
(2)当时,等价于.
今,则,
①当时,,
故在上单调递增,因此;
②当时,令得,
由和得,
故当时,在单调递减,
因此,故此时不成立.
综上,的取值范围是.
【点睛】第二问将不等式进行变形,让对数变成单独一项,再对新函数求导,对数便消失了.利用“对数靠边走”,只需一次求导就可以往下做,可以避免多次求导的麻烦.对于第二问,分类讨论的标准其实不止受判别式影响,还需要根据定义域及二次结构的正负,进行进一步的整合.
本题亦可考虑分离参数来处理,由,分离参数,可得,令,则,再令,由对任意恒成立,可知在上单调递增,于是,即有,所以在上单调递增,点睛意到不存在,由洛必达法则,可得,则,所以的取值范围是.
指数找朋友
【例3】已知函数,证明:当时,.
【解析】(1).
令.
(1)当时,;
当时,;当时,.又,
结合图像可知:当时,,故恒成立.
(2)当时,,
而,所以,则有.
综上,得证.
【点睛】对于含指数型函数的不等式,通常要让一个多项式函数乘以或除以指数型函数.“指数找朋友”,往往很容易求出极值点,从而避免多次求导的麻烦.
三角带参型
【例4】已知点为坐标原点,设函数.
(1)当时,判断函数在上的单调性;
(2)若时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【解析】由已知,.
(1)当时,,
当时,,又,从而,
所以函数在上单调递减.
(2)解法1:
①当时,,对于恒成立;
②当时,,设,
则,因为,又,
所以在上单调递增,又,
所以,即在上单调递增,且.
(i)当时,在上单调递增,因为,
所以恒成立;
(ii)当时,,因为在上单调递增,
又当时,,
则存在,对任意,有恒成立,
故在上单调递减,所以,当时,,不合题意.
综上,所求实数的取值范围是.
解法2:端点效应
令,因为,所以恒成立.
,所以,即.这是必要条件.
下证:当时,恒成立.
因为,所以.
令,则,
所以单调递增,所以,
所以单调递增,所以.
所以,从而符合题意.
综上,的取值范围是.
强化训练
1.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求的取值范围.
【解析】(1),
(i)若,则,所以在单调递减;
(ii)若,则由得.
当时,;
当时,,
所以在单调递减,在单调递增.
(2)(i)若,由(1)知,至多有一个零点
(ii)若,由(1)知,当时,取得最小值.
(1)当时,由于,故只有一个零点;
(2)当时,由于,即,故没有零点;
(3)当时,,即.
又,故在有一个零点.
设正整数满足,
则.
由于,因此在有一个零点.
综上,若有两个零点,则的取值范围为.
2.已知函数.
(1)若,求函数的图象在点处的切线方程;
(2)若,求的取值范围.
【解析】(1)当时,,所以,所以
又因为切点为,故所求的切线方程为
(2)
(1)若,即,则,在上单调递增,所以.
(2)若,即,则由得,
当时,;当时,,
所以在单调递减,在单调递增.
所以最小值为,
即时,.
(3)若,即,则由得,
当时,;当时,,
故在单调递减,在单调递增,
所以当时,取得最小值,
最小值为;
所以,即时,.
综上所述:的取值范围为.
【点睛】第二问通过求导判断其单调性,发现的变化影响其单调性,分别讨论其大于、等于、小于0的情况即可.
3.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,若无最小值,求实数的取值范围.
【解析】(1)因为,
所以.
令,得,或.
当时,由,得;由,得,
则在上单调递减,在上单调递增.
当时,由,得或;
由,得,
则在上单调递减,在和上单调递增.
当时,恒成立,则在上单调递增.
当时,由,得,或;
由,得,
则在上单调递减,在和上单调递增.
综上,
当时,在上单调递减,在上单调递增;
当时,在上单调递减,在上单调递增;
当时,在上单调递增;
当时,在上单调递减,在上单调递增.
(2)当时,由(1)可知在上单调递减,在上单调递增,
则有最小值,故不符合题意;
当时,由(1)可知,
在上单调递减,在和上单调递增,
因为无最小值,所以,即,解得;
当时,由可知,在上单调递增,所以无最小值,所以符
合题意;
当时,由可知在上单调递减,在上单调递增.
因为无最小值,所以,
即,即.
设.
设,则在上恒成立.
故在上单调递增,即在上单调递增.
因为,
所以存在唯一的,使得.
故在上单调递减,在上单调递增.
因为,所以在恒成立,即在上恒成立,即符合题意.
综上,实数的取值范围为.直接讨论法
知识与方法
1.直接讨论法处理恒成立问题,是指对题中给出的函数(含有参数)直接求导,通过对参数的分类讨论,确定函数的单调性,得出函数的最值(或值域),进而求得参数的取值范围.核心思想是:
若函数存在最大(小)值,则:
(1)恒成立等价于;
(2)恒成立等价于.
2.直接讨论法研究恒成立问题,求解的关键在于确定函数的单调区间.
一般地,可根据导数的正负得到函数的单调区间.常用的手段是对导数进行因式分解或利用求根公式求根;当极值点不可求时,常利用零点存在性定理,确定导数零点的范围之后再进行讨论.
3.用导数研究含参函数的单调性,一般要进行分类讨论,其一般步骤为:
(1)先求函数的定义域;
(2)求导函数(通分、因式分解,便于讨论导函数的正负);
(3)先讨论只有一种单调区间的(导函数同号的)情况;
(4)再讨论有增有减的情况(导函数有正有负,以其零点分界);
(5)点睛意函数的断点,不连续的同类单调区间不要合并.
典型例题
可求最值型
【例1】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若,求的取值范围.
对数靠边走
【例2】已知函数.
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)若当时,,求的取值范围.
指数找朋友
【例3】已知函数,证明:当时,.
三角带参型
【例4】已知点为坐标原点,设函数.
(1)当时,判断函数在上的单调性;
(2)若时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
强化训练
1.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求的取值范围.
2.已知函数.
(1)若,求函数的图象在点处的切线方程;
(2)若,求的取值范围.
3.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,若无最小值,求实数的取值范围.
