专题八 选考部分
第二讲 几何证明
一、填空题
1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）如图,在中,, ,过作的外接圆的切线,,与外接圆交于点,则的长为__________21cnjy
【答案】21cnjy
【解析】在Rt△ABC中，∠A＝60°，AB＝20，可得BC＝.
由弦切角定理，可得∠BCD＝∠A＝60°.
在Rt△BCD中，可求得CD＝，BD＝15.
又由切割线定理，可得CD2＝DE·DB，可求得DE＝5.
2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题）如图, △ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD//AC. 过点A 做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F. 若AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF的长为______.
【答案】
【解析】∵AE为圆的切线，
∴由切割线定理，得AE2＝EB·ED.又AE＝6，BD＝5，可解得EB＝4.
∵∠EAB为弦切角，且AB＝AC， ∴∠EAB＝∠ACB＝∠ABC.
∴EA∥BC.又BD∥AC， ∴四边形EBCA为平行四边形．
∴BC＝AE＝6，AC＝EB＝4. 由BD∥AC，得△ACF∽△DBF，
∴. 又CF＋BF＝BC＝6， ∴CF＝.
3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）(几何证明选讲选做题)如图,是圆的直径,点在圆上,延长到使,过作圆的切线交于.若,,则_________.
【答案】 21cnjy
【解析】连接OC．∵AB为圆O的直径，∴AC⊥BC．
又BC＝CD，∴AB＝AD＝6，∠BAC＝∠CAD．又CE为圆O的切线，则OC⊥CE.
∵∠ACE为弦切角， ∴∠ACE＝∠B． ∴∠ACE＋∠CAD＝90°. ∴CE⊥AD．
又AC⊥CD，∴CD2＝ED·AD＝2×6＝12， 即CD＝. ∴BC＝.
4 ．（2013年高考四川卷（理））设为平面内的个点,在平面内的所有点中,若点到点的距离之和最小,则称点为点的一个“中位点”.例如,线段上的任意点都是端点的中位点.则有下列命题:
①若三个点共线,在线AB上,则是的中位点;
②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点;
③若四个点共线,则它们的中位点存在且唯一;
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.
其中的真命题是____________.(写出所有真命题的序号) 21cnjy
【答案】①④
【解析】由“中位点”可知，若C在线段AB上，则线段AB上任一点都为“中位点”，C也不例外，故①正确；
对于②假设在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如图所示，点P为斜边AB中点，设腰长为2，则|PA|＋|PB|＋|PC|＝|AB|＝，而若C为“中位点”，则|CB|＋|CA|＝4＜，故②错；
对于③，若B，C三等分AD，若设|AB|＝|BC|＝|CD|＝1，则|BA|＋|BC|＋|BD|＝4＝|CA|＋|CB|＋|CD|，故③错；
21cnjy
对于④，在梯形ABCD中，对角线AC与BD的交点为O，在梯形ABCD内任取不同于点O的一点M，则在△MAC中，|MA|＋|MC|＞|AC|＝|OA|＋|OC|，
同理在△MBD中，|MB|＋|MD|＞|BD|＝|OB|＋|OD|，
则得，
|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|＞|OA|＋|OB|＋|OC|＋|OD|，
故O为梯形内唯一中位点是正确的．
5 ．（2013年高考陕西卷（理）） (几何证明选做题) 如图, 弦AB与CD相交于内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD=2DA=2, 则PE=_____.
【答案】 21cnjy
【解析】∠C与∠A在同一个O中，所对的弧都是，则∠C＝∠A．又PE∥BC，∴∠C＝∠PED．∴∠A＝∠PED．又∠P＝∠P，∴△PED∽△PAE，则，∴PE2＝PA·PD．又PD＝2DA＝2，∴PA＝PD＋DA＝3，∴PE2＝3×2＝6，∴PE＝.
6 ．（2013年高考湖南卷（理））如图2,在半径为的中,弦相交于点,,则圆心到弦的距离为____________.
【答案】 21cnjy21cnjy
【解析】如图所示，取CD中点E，连结OE，OC．
由圆内相交弦定理知PD·PC＝PA·PB， 所以PC＝4，CD＝5，则CE＝，OC＝.
所以O到CD距离为OE＝.
7 ．（2013年高考湖北卷（理））如图,圆上一点在直线上的射影为,点在半径上的射影为.若,则的值为___________.
【答案】8
【解析】设AD＝2，则AB＝6，
于是BD＝4，OD＝1.
如图，由射影定理得
CD2＝AD·BD＝8，
则CD＝. 在Rt△OCD中，DE＝.
则，EO＝OC－CE＝.
因此.
8 ．（2013年高考北京卷（理））如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆O相交于D.若PA=3,,则PD=_________;AB=___________.
【答案】;4
【解析】设PD＝9k，则DB＝16k(k＞0)．
由切割线定理可得，PA2＝PD·PB， 即32＝9k·25k，可得.
∴PD＝，PB＝5. 在Rt△APB中，AB＝＝4.
二、解答题21cnjy21cnjy
9 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））选修4—1几何证明选讲:如图,为△外接圆的切线,的延长线交直线于点,分别为弦与弦上的点,且,四点共圆.
(Ⅰ)证明:是△外接圆的直径;
(Ⅱ)若,求过四点的圆的面积与△外接圆面积的比值.
【答案】解（1）因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB=∠A,由题设知故△CDB∽△AEF,
所以∠DBC=∠EFA.因为B,E,F,C四点共圆，所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.
所以∠CBA=90°，因此CA是△ABC外接圆的直径.
（2）连接CE，因为∠CBE=90°，所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE，由DB=DE,有CE=DC,
又所以故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.
10．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）选修4-1:几何证明选讲
如图,垂直于于,垂直于,连接.证明:
(I) (II)
【答案】21cnjy
证明：（I）∵直线CD与相切于E，∴。∵AB为直径，∴，即。又，得。
∴。于是。
（II）由，，，是公共边，得。所以。类似可证：，得。
在中，，由射影定理得。所以
11．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））[选修4-1:几何证明选讲]本小题满分10分.
如图,和分别与圆相切于点,经过圆心,且
求证:
【答案】证明:连接OD,∵AB与BC分别与圆O相切于点D与C
∴,又∵
∴~ 21cnjy
∴ 又∵BC=2OC=2OD ∴AC=2AD
12．（2013年高考新课标1（理））选修4—1:几何证明选讲 如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D.
(Ⅰ)证明:DB=DC;
(Ⅱ)设圆的半径为1,BC= ,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.
【答案】(Ⅰ)连结DE,交BC与点G. 21cnjy
由弦切角定理得,∠ABF=∠BCE,∵∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠BCE,BE=CE,
又∵DB⊥BE,∴DE是直径,∠DCE=,由勾股定理可得DB=DC.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠CDE=∠BDE,BD=DC,故DG是BC的中垂线,∴BG=.
设DE中点为O,连结BO,则∠BOG=,∠ABE=∠BCE=∠CBE=,
∴CF⊥BF, ∴Rt△BCF的外接圆半径等于. 21cnjy
专题八 选考部分
第一讲 不等式选讲
一、填空题21世纪教育网版权所有
1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）若关于实数的不等式无解,则实数的取值范围是_________
【答案】
【解析】方法一：设f(x)＝|x－5|＋|x＋3|＝可求得f(x)的值域为[8，＋∞)，因为原不等式无解，只需a≤8，故a的取值范围是(－∞，8]．
方法二：由绝对值不等式，得|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8，
∴不等式|x－5|＋|x＋3|＜a无解时，a的取值范围为(－∞，8]．
2 ．（2013年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a, b, m, n均为正数, 且a+b=1, mn=2, 则(am+bn)(bm+an)的最小值为_______.
【答案】2
3 ．（2013年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式的解集为_________
【答案】
【解析】原不等式等价于－1≤|x－2|－1≤1，即0≤|x－2|≤2，解得0≤x≤4.
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4 ．（2013年高考湖北卷（理））设,且满足:,,则_______.
【答案】
【解析】由柯西不等式得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2当且仅当时等号成立，此时y＝2x，z＝3x.
∵x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，
∴，，.
∴x＋y＋z＝.
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5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））选修4—5;不等式选讲
设均为正数,且,证明:
(Ⅰ); (Ⅱ).
【答案】解：
（1）由得
，
（2）故
即，
6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）选修4-5:不等式选讲
已知函数,其中.
(I)当时,求不等式的解集; 21世纪教育网版权所有
(II)已知关于的不等式的解集为,求的值.
【答案】
（Ⅰ）解：当时，。，即。
。
当时，，即，解得；
当时，，即，不成立；
当时，，即，解得。
所以不等式的解集为。
（Ⅱ）解：记，则。
因为，。，所以。解得。不等式的解集为，所以
，解得。21世纪教育网版权所有
7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）不等式选讲:设不等式的解集为,且,.
(1)求的值;
(2)求函数的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)因为,且,所以,且
解得,又因为,所以
(Ⅱ)因为
,即时取得等号,所以的最小值为
8 ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.
已知>0,求证:
【答案】D 证明:
∵
又∵>0,∴>0,,
∴
∴
∴
9 ．（2013年高考新课标1（理））选修4—5:不等式选讲
已知函数=,=.
(Ⅰ)当=2时,求不等式<的解集;
(Ⅱ)设>-1,且当∈[,)时,≤,求的取值范围.
【答案】当=-2时,不等式<化为,
设函数=,=,
其图像如图所示
从图像可知,当且仅当时,<0,∴原不等式解集是.
(Ⅱ)当∈[,)时,=,不等式≤化为,
∴对∈[,)都成立,故,即≤,
∴的取值范围为(-1,].
10．（2013年高考湖南卷（理））在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”.如图6所示的路径都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.
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(I)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);
(II)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小.
【答案】解:
(Ⅰ) ,
,其中
(Ⅱ)本问考查分析解决应用问题的能力,以及绝对值的基本知识.
点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v.且h和v互不影响.显然当y=1时,v = 20+1=21;,水平距离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| ,且当x=3时, h=24.因此,当P(3,1)时,d=21+24=45.
所以,当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和d的最小值为45.
21cnjy
专题八 选考部分
第三讲 坐标系与参数方程
一、选择题21cnjy
1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）在极坐标系中,圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1.
所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2，故选B.
二、填空题
2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题）已知圆的极坐标方程为, 圆心为C, 点P的极坐标为, 则|CP| = ______.
【答案】 21cnjy
【解析】由圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，得圆心C的直角坐标为(2,0)，点P的直角坐标为(2,)，所以|CP|＝.
3 ．（2013年高考上海卷（理））在极坐标系中,曲线与的公共点到极点的距离为__________
【答案】
【解析】联立方程组得，又，故所求为．
4 ．（2013年高考北京卷（理））在极坐标系中,点(2,)到直线ρsinθ=2的距离等于_________.
【答案】1
【解析】在极坐标系中，点对应直角坐标系中坐标为(，1)，直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中的方程为y＝2，所以点到直线的距离为1.
5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为的直线与曲线(为参数)相交于两点,则
【答案】 21cnjy
【解析】由极坐标方程ρcos θ＝4，化为直角坐标方程可得x＝4，而由曲线参数方程消参得x3＝y2，
∴y2＝43＝64，即y＝±8，
∴|AB|＝|8－(－8)|＝16.
6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线的参数方程为(为参数),在点处的切线为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_____________.
【答案】
【解析】∵曲线C的参数方程为(t为参数)，
∴其普通方程为x2＋y2＝2.
又点(1,1)在曲线C上，∴切线l的斜率k＝－1.
故l的方程为x＋y－2＝0，化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝2，即.
7 ．（2013年高考陕西卷（理）） (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角为参数, 则圆的参数方程为______ . 21cnjy
【答案】
【解析】由三角函数定义知＝tan θ(x≠0)，y＝xtan θ，由x2＋y2－x＝0得，x2＋x2tan2θ－x＝0，x＝＝cos2θ，则y＝xtan θ＝cos2θtan θ＝sin θcos θ，又 时，x＝0，y＝0也适合题意，故参数方程为(θ为参数)．
8 ．（2013年高考江西卷（理））(坐标系与参数方程选做题)设曲线的参数方程为(为参数),若以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线的极坐标方程为__________
【答案】
【解析】由参数方程得曲线在直角坐标系下的方程为y＝x2.由公式 得曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ.
9 ．（2013年高考湖南卷（理））在平面直角坐标系中,若
右顶点,则常数________.
【答案】3 21cnjy
【解析】由题意知在直角坐标系下，直线l的方程为y＝x－a，椭圆的方程为，所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a，解得a＝3.
10．（2013年高考湖北卷（理））在直角坐标系中,椭圆的参数方程为.在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,直线与圆的极坐标方程分别为与.若直线经过椭圆的焦点,且与圆相切,则椭圆的离心率为___________.
【答案】
【解析】将椭圆C的参数方程(φ为参数，a＞b＞0)化为标准方程为(a＞b＞0)．又直线l的极坐标方程为(m为非零常数)，即，则该直线的一般式为y＋x－m＝0.圆的极坐标方程为ρ＝b，其标准方程为x2＋y2＝b2.∵直线与圆O相切，∴，.又∵直线l经过椭圆C的焦点，∴|m|＝c.∴，c2＝2b2.∵a2＝b2＋c2＝3b2，∴.∴.
三、解答题21cnjy
11．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）选修4——4；坐标系与参数方程
已知动点p，Q都在曲线C：上，对应参数分别为与，M为PQ的中点。
（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.
【答案】解：
（1）依题意有P（2cosα,2sinα）,Q（2cos2α,2sin2α）,因此M（cosα+ cos2α,sinα+sin2α）
所以Ｍ的轨迹的参数方程为（为参数，）．
（２）Ｍ点到坐标原点的距离，
当时，，故M的轨迹过坐标原点.
12．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中以为极点,轴正半轴为极轴建立坐标系.圆,直线的极坐标方程分别为.
(I)求与交点的极坐标;
(II)设为的圆心,为与交点连线的中点.已知直线的参数方程为
,求的值.
【答案】21cnjy
解：（I）圆，直线的极坐标方程分别为
∴圆的直角坐标方程为：；直线的直角坐标方程为：
解，得或。所以与交点的直角坐标为，
，转化为极坐标为，。
（II）由（I）得，点与点的直角坐标为。故直线的直角坐标方程为。由直线的参数方程可得直角坐标方程为
。于是，解得。
13．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点的极坐标为,直线的极坐标方程为,且点在直线上.
(1)求的值及直线的直角坐标方程;
(2)圆c的参数方程为,(为参数),试判断直线与圆的位置关系.
【答案】解:(Ⅰ)由点在直线上,可得
所以直线的方程可化为
从而直线的直角坐标方程为
(Ⅱ)由已知得圆的直角坐标方程为
所以圆心为,半径
以为圆心到直线的距离,所以直线与圆相交
14．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））[选修4-4:坐标系与参数方程]本小题满分10分. 21cnjy
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为 (为参数),曲线C的参数方程为 (为参数),试求直线与曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.
【答案】C解:∵直线的参数方程为 ∴消去参数后得直线的普通方程为 ①
同理得曲线C的普通方程为 ②
①②联立方程组解得它们公共点的坐标为,
15．（2013年高考新课标1（理））选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.
(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
【答案】将消去参数,化为普通方程,
即:,将代入得,
,
∴的极坐标方程为;
(Ⅱ)的普通方程为, 由解得或,∴与的交点的极坐标分别为 ,. 21cnjy
专题八 选考部分
第四讲 变换与矩阵极限
一、选择题21cnjy
1 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(理）展开式为的行列式是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
二、填空题
2 ．（2013年高考上海卷（理））若,则
【答案】.
三、解答题
3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）矩阵与变换
已知直线在矩阵对应的变换作用下变为直线.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)若点在直线上,且,求点的坐标.
【答案】解:(Ⅰ)设直线上任意一点在矩阵对应的变换作用下的像是
由,得 21cnjy
又点在上,所以,即
依题意,解得
(Ⅱ)由,得解得
又点在直线上,所以
故点的坐标为 21cnjy
4 ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）） [选修4-2:矩阵与变换]本小题满分10分.
已知矩阵,求矩阵.
【答案】B 解:设矩阵A的逆矩阵为,则=,即=,
故a=-1,b=0,c=0,d=∴矩阵A的逆矩阵为,
∴== 21cnjy
5 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(理）已知数列的前项和为,数列满足,求.
【答案】[解]当时,.
且,所以.
因为,所以数列是首项为1、公比为的无穷等比数列.
故.
