2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册第四章 对数运算与对数函数单元检测（含答案）

第四章 对数运算与对数函数单元检测
一、单选题
1．已知对数式有意义，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，且，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．20
4．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
6．，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．11
7．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．仰望星空，探索宇宙一直是人类的梦想，“神舟十五号”载人飞船于北京时间11月29日23时08分发射，约10分钟后，“神舟十五号”载人飞船与火箭成功分离.早在1903年，科学家康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度满足公式：，其中分别为火箭结构质量和推进剂的质量，是发动机的喷气速度.已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为，则火箭发动机的喷气速度为（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
二、多选题
9．(多选)下列说法正确的有（ ）
A．零和负数没有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以为底的对数叫做常用对数
D．以为底的对数叫做自然对数
10．若，，则下列等式恒成立的有（ ）
A． B．
C． D．
11．函数，，，在区间上（ ）
A．递减速度越来越慢 B．递减速度越来越慢
C．递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于递减速度
12．若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．若实数，且，则______.
14．函数（，且）的图像一定经过的点是________．
15．若对任意的实数，不等恒成立，则实数的取值范围是______．
16．已知函数．若使得成立，则的范围是____________．
四、解答题
17．计算下列各式的值
(1)
(2)
18．已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)若函数的最小值为，求的值.
19．（1）用，，表示；
（2）已知正数满足，，求的值．
20．已知对数函数，
(1)求的值；
(2)解不等式．
21．已知函数（且）
(1)当时，解不等式；
(2)，，求实数的取值范围．
22．已知函数（）.
(1)求函数的定义域，并判断的奇偶性；
(2)用定义证明函数在上是严格增函数；
(3)如果当时，函数的值域是，求与的值.
答案
1．B
2．A
3．D
4．B
5．C
6．C
7．A
8．B
9．ACD
10．BD
11．ABC
12．AD
13．0
14．
15．
16．
17．（1）
（2）
18．（1）解：对于函数，有，解得，
因此，函数的定义域为.
（2）解：因为，且，则，
因为，则函数为上的减函数，
故，可得，，解得.
19．（1）
（2）由得，
，所以，
则，．
20．（1）函数是对数函数，
，解得，，
（2）在定义域上单调递增，
可得到，解得，
不等式的解集为．
21．（1）解：时，，
由，解得，即函数定义域为，
因为，即，所以，
即，解得或，
又，
所以不等式的解集为．
（2）解：因为，，即成立，
又，
函数在上为增函数，
①若，则在单调递减，
所以，即，
所以，，即，解得或，
又，所以．
②若，则在单调递增，
所以，，即，
所以，，即，解得，
又，所以．
综上，a的取值范围为．
22．（1）解：令，解得，所以.
对任意，，
所以函数是奇函数.
（2）解：设，且，则.
因为，，，
所以，得.
又，于是，即，
所以函数在上是严格增函数.
（3）解：由（2）知，函数在上是严格增函数.
因为时，的值域是，
所以且在上的值域是，
因为在上单调递减，
所以，且，
所以，由，得，解得或（舍去），
所以，.