集合的概念与运算

专题一 集合的概念与运算
一、明确要求
1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.
2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
4.在具体情境中，了解全集与空集的含义.
5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
7.能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算.
二、命题方向
1.集合部分主要以考查集合的含义、基本关系与基本运算为主，题目简单、易做，大多都是送分题；
2.近几年部分省市也力求创新，创造新情境，尽可能做到灵活多样，甚至进行一些小综合，比如新定义题目，与方程、不等式、函数、数列等内容相联系的题目出现；
3.题型以选择题为主，大多都是试卷的第1、2题.
三、知识要点
1．集合中元素的三种性质中互异性对解题的影响最大，特别是含字母参数的集合．
2．集合之间的关系与运算技巧
并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(3)补集： UA＝{x|x∈U，且x A}．
集合的运算性质：A∪B＝A B A；A∩B＝A A B；A∩ U(B)＝ A B.
3．含有n个元素的集合A的子集的个数为2n个，真子集的个数为2n－1个．
四、规律总结
1.一个性质
要注意应用A B、A∩B＝A、A∪B＝B、 UA UB、A∩( UB)＝ 这五个关系式的等价性．
2.两种方法
韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．
3.三个防范
(1)空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．
(2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)．
(3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．
双基自测
(1)(2012年高考湖北卷)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1　　　　　　　　　　B．2
C．3 D．4
[解析]　(1)用列举法表示集合A，B，根据集合关系求出集合C的个数．
由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2 ，∴A＝{1，2}．
由题意知B＝{1，2，3，4}，∴满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．
[答案]　(1)D　
(2)(2012年高考浙江卷)设集合A＝{x|1A．(1，4) B．(3，4)
C．(1，3) D．(1，2)∪(3，4)
[解析] (2)首先用区间表示出集合B，再用数轴求A∩( RB)．
解x2－2x－3≤0得－1≤x≤3，∴B＝[－1，3]，
则 RB＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，
∴A∩( RB)＝(3，4)．
[答案]　(2)B
（3）已知集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{x| }，若A∩B≠ ，则实数b的取值范围是________．
【解析】 由题意得A＝{x|－1－1.故填b>－1.
答案：(－1，＋∞)
(4) (2011·上海)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则 UA＝________.
[解析] ∵U＝R，A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}＝{x|x≤0或x≥1}∴ UA＝{x|0[答案] {x|0题型分析
考点一、集合的概念
【例题分析】
例1（2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国）设集合
则个数为( )
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
例2 （2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科）若集中只有一个元素，则=（ ）
A．4 B． 2 C．0 D．0或4
答案： A
【针对训练】
1、（2012年高考（江西））若集合,则集合
中的元素的个数为 （　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
2、【2012年高考（广东）】设集合,,则 （　　）
A． B． C． D．
【方法总结】
1.解决元素与集合的关系问题，首先要正确理解集合的有关概念，元素属不属于集合，关键就看这个元素是否符合集合中代表元素的特性.
2.子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，则其子集个数为2n个，真子集的个数为2n－1个．
考点二、集合间的关系和运算
【例题分析】
例3、（2013年全国高考新课标（I）理科）已知集合A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x|－＜x＜｝，则( )
A、A∩B= B、AB=R C、BA D、AB
例4、(2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科)已知全集为，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【针对训练】
3、（2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科）已知集合（ ）
A． B． C． D．
4、（2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷））
设集合,,则( )
A. B． C． D．
【方法总结】
1.判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．
2．在进行集合运算时要尽可能地借助韦恩(Venn)图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用韦恩(Venn)图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍．
考点三、与集合为背景探求参数取值
【例题分析】
例5、（2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理）设整数,集合.令集合
若和都在中,则下列选项正确的是( )
A．, B．,
C．, D．,
例6、（2012年高考（大纲））已知集合,则（　　）
A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3
【针对训练】
5、（2012年高考（天津理））已知集合,集合,且,则_____,_______.
答案: ,
6、（2012年高考（上海春））已知集合若则______.
【考点预测】
1、已知集合，集合，表示空集，如果，那么的值是（ ）
（A） （B）
（C） （D）或
2、设集合，集合.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
经典作业
1．(2010·广东文)若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B＝(　　)
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{1,2} D．{0}
[答案]　A
[解析]　由集合的元素的互异性及集合的关系可知A正确．
2．(2010·湖北理)设集合A＝{(x，y)|＋＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案]　A
[解析]　结合椭圆＋＝1的图像及y＝3x的图像可知，共有两个交点，故A∩B子集的个数为4.
3．(文)已知全集U＝R，且A＝{x||x－1|>2}，B＝{x|x2－6x＋8<0}，则( UA)∩B等于(　　)
A．[－1,4) B．(2,3)
C．(2,3] D．(－1,4)
[答案]　C
[解析]　解法1：A＝{x|x>3或x<－1}，B＝{x|2解法2：验证排除法，取x＝0，x B，故排除A、D.取x＝3,3 A,3∈B.∴3∈( UA)∩B.排除B.
(理)已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于
(　　)
A．{x|x>－1} B．{x|－1C．{x|x<1} D．
[答案]　B
[解析]　M＝{x|x<1}，N＝{x|x>－1}，
∴M∩N＝{x|－14．已知M＝{y|y＝x2}，N＝{y|x2＋y2＝2}，则M∩N＝(　　)
A．{(1,1)，(－1,1)} B．{1}
C．[0,1] D．[0，]
[答案]　D
[解析]　∵M＝[0，＋∞)，N＝[－，]，∴M∩N＝[0，]，故选D.
[点评]　本题特别易错的地方是将数集误认为点集．
5．(文)(2010·湖北文)设集合M＝{1,2,4,8}，N＝{x|x是2的倍数}，则M∩N＝(　　)
A．{2,4} B．{1,2,4}
C．{2,4,8} D．{1,2,4,8}
[答案]　C
[解析]　本题主要考查集合知识．
由题易知N＝{x|x＝2k，k∈Z}，又M＝{1,2,4,8}
∴M∩N＝{2,4,8}．
(理)(2010·安徽理)若集合A＝，则 RA＝(　　)
A．(－∞，0]∪ B.
C．(－∞，0]∪ D.
[答案]　A
[解析]　logx≥，∴0 RA＝(－∞，0]∪(，＋∞)，故选A.
6．P＝{α|α＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{β|β＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝(　　)
A．{1，－2} B．{(－13，－23)}
C．{(1，－2)} D．{(－23，－13)}
[答案]　B
[解析]　α＝(m－1,2m＋1)，β＝(2n＋1,3n－2)，
令α＝β得，　∴
∴P∩Q＝{(－13，－23)}．
7．若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有(　　)
A．A C B．C A
C．A≠C D．A＝
[答案]　A
[解析]　考查集合的基本概念及运算．
∵B∩C B A∪B，A∪B＝B∩C B，
∴A∪B＝B，B∩C＝B，∴A B，B C，∴A C，选A.
8．(2011·济南高三期中)设集合S＝{x||x－2|>3}，T＝{x|aA．－3C．a≤－3或a≥－1 D．a<－3或a>－1
[答案]　A
[解析]　S＝{x|x>5或x<－1}，
∵S∪T＝R，∴，∴－3二、填空题
9．A＝{(x，y)|x2＝y2}，B＝{(x，y)|x＝y2}，则A∩B＝______.
[答案]　{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．
[解析]　A∩B＝＝{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．
10．已知集合A＝{x||x－a|≤1}，B＝{x2－5x＋4≥0}，若A∩B＝ ，则实数a的取值范围是________．
[答案]　(2,3)
[解析]　B中，x2－5x＋4≥0，∴x≥4或x≤1.
又∵A中|x－a|≤1，∴a－1≤x≤1＋a.
∵A∩B＝ ，∴a＋1<4且a－1>1，∴211．已知A＝{1,2,3}，B＝{1,2}．定义集合A、B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则集合A*B中最大的元素是________；集合A*B的所有子集的个数为________．
[答案]　5,16
[解析]　本题考查考生的综合应用能力．由定义知：A*B＝{2,3,4,5}，则其中最大元素为5，所有子集个数为24＝16.
三、解答题
12．(2011·梅州模拟)设A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，已知A∩B＝{9}，求实数a的值．
[解析]　∵A∩B＝{9}，∴9∈A.
(1)若2a－1＝9，则a＝5，此时A＝{－4,9,25}，B＝{9,0，－4}，A∩B＝{9，－4}，与已知矛盾，舍去．
(2)若a2＝9，则a＝±3.当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B＝{－2,2,9}，B中有两个元素均为－2，与集合元素的互异性相矛盾，应舍去；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{9，－8,4}，符合题意．综上所述，a＝－3.
13．已知集合A＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，B＝{x|x2＋4x＝0}，若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
[分析]　由A∪B＝B或A∩B＝A，可以得出A B，
而A B中含有特例，A＝ ，应注意．
[解析]　由x2＋4x＝0得：B＝{0，－4}，由于A∪B＝B，
(1)若A＝ ，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，得a＜－1.
(2)若A≠ ，则0∈A或－4∈A
当0∈A时，得a＝±1；当－4∈A，得a＝1或a＝7；但当a＝7时A＝{－4，－12}，此时不合题意．
故由(1)(2)得实数a的取值范围是：a≤－1或a＝1.
14．(2011·广东联考)设集合A＝{x|x2<4}，B＝.
(1)求集合A∩B；
(2)若不等式2x2＋ax＋b<0的解集是B，求a，b的值．
[解析]　A＝{x|x2<4}＝{x|－2B＝＝＝{x|－3(1)A∩B＝{x|－2(2)∵2x2＋ax＋b<0的解集为B＝{x|－3∴－3和1为方程2x2＋ax＋b＝0的两根，
∴∴a＝4，b＝－6.
15．集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|qx2＋px＋1＝0}，同时满足：①A∩B≠ ；②－2∈A(p，q≠0)．求p，q的值．
[分析]　两个集合有公共元素，可联立方程求解，注意到系数关系，问题可有多种解法．
[解析]　解法1：∵A∩B≠
∴方程组有解．
两式相减得：(q－1)x2＝q－1.当q＝1时，方程有解．
∵－2∈A，∴根据韦达定理知方程另一根为－.
∴－p＝－2＋＝－，p＝.
这时A＝B＝，符合题意．
∴
当q≠1时，x2＝1，x＝±1
又∵－2∈A，∴A＝{1，－2}或{－1，－2}，
根据韦达定理：或
∴或.
综上：p，q的值为或或
解法2：设x0∈A，则有x02＋px0＋q＝0，两端同除以x02，得1＋p＋q＝0，则知∈B.
∴集合A，B中元素互为倒数．
由A∩B≠ ，一定有x0∈A，
使得∈B且x0＝，x0＝±1.
又∵－2∈A，∴A＝{1，－2}或{－1，－2}，
由此得B＝或.
根据韦达定理：或，
∴或
另－2∈A，A∩B≠ ，可能出现－2∈B，则－∈A.
此时－2，－为A的两个元素，易知
此时A＝B＝，
故或或.