河北省衡水中学2013-2014学年高一下学期二调考试 数学理试题

衡水中学2013—2014学年度下学期第二次调研考试
高一年级数学（理科）试卷

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
选择题：（共12个小题，每题5分，共60分。下列每个小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1. 某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为(　　)
A．9 B．18 C．27 D．36
2. 一位母亲记录了儿子3—9岁的身高，数据（略），由此建立的身高与年龄的回归模型为，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )
A．身高一定是145．83cm B．身高在145．83cm以上
C．身高在145．83cm左右 D．身高在145．83cm以下
3. 阅读如图所示的语句：当输入的时，输出的结果为（ ）
A．48 B．24 C．12 D．6
4. 若,当 时，则的值为（ ）
A．50 B．52 C．104 D．106
5. 一个盒子中装有张卡片，每张卡片上写一个数字，数字分别是1?2?3?4．现从盒子中随机抽取卡片．若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于的概率（ ）
A． B． C． D．
6. 如图是求样本x1，x2，…，x10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为(　　)
A．S＝S＋xn B．S＝S＋ C．S＝S＋n D．S＝S＋
第6题 第7题
7.甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如上面的茎叶图所示，则下列结论正确的是(　　)
A.甲<乙；乙比甲稳定 B.甲>乙；甲比乙稳定
C.甲>乙；乙比甲稳定 D.甲<乙；甲比乙稳定
8. 某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为(　　)
A．k>4? B．k>5? C．k>6? D．k>7?
9. 如果上边程序运行后输出的结果是720，那么在程序WHILE后面的“条件”应为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，为正四面体，于点，点均在平面外，且在平面的同一侧，线段的中点为,则直线与平面所成角的正弦值为 （ ）
A． B． C. D.
11. 设直线x＋ky－1＝0被圆O：x2＋y2＝2所截弦的中点的轨迹为M，则曲线M与直线x－y－1＝0的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
12. 若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与点对(Q,P)为同一个“友好点对”).已知函数f(x)=则f(x)的“友好点对”有（ ）个.
A．0 B．1 C．2 D．4
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：（每题5分，共30分，把答案填在题中横线上）
13．下面是2×2列联表：
y1
y 2
合计
x1
a
21
73
x2
22
25
47
合计
b
46
120
则表中b的值分别为 ___ ．
14.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于_________．
15.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的为，则输出的的值分别为____________．
16. 设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(-x)+f(x)=0恒成立.如果实数m、n满足不等式f(m2-6m+21)+f(n2-8n)<0,那么m2+n2的取值范围是___________．

三、解答题：
17. （本题满分10分）箱子中装有6张卡片，分别写有1到6这6个整数. 从箱子中任意取出一张卡片，记下它的读数，然后放回箱子，第二次再从箱子中取出一张卡片，记下它的读数，试求：
（1）是5的倍数的概率；（2）中至少有一个5或6的概率。
18 （本题满分12分）为调查乘客的候车情况,公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人,将他们的候车时间(单位:分钟)作为样本分成5组,如下表所示:
组别
候车时间
人数
一

2
二
6
三
4
四
2
五
1
（1）求这15名乘客的平均候车时间;
（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数;
（3）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率.
19. （本题满分12分）
从某学校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高，被抽取的学生的身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)；第二组[160,165)；……第八组[190,195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
(1)根据已知条件填写下面表格：
组别
1
2
3
4
5
6
7
8
样本数
(2)估计这所学校高三年级800名学生中身高在180 cm以上(含180 cm)的人数．
20. (本小题共12分)如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且.
(Ⅰ)求证：
(Ⅱ)求二面角的大小.
21. （本题满分12分）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2＋y2＝1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于。
（1）求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线；
（2）若直线与曲线相交于AB两点，求弦AB的长。
22. （本题满分12分） 已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称 为“一阶比增函数”.
（1）若是“一阶比增函数”，求实数的取值范围；
（2）若是“一阶比增函数”，当时，试比较与的大小；
2013-2014学年度高一下学期二调考试数学试题答案（理科）
一、选择题： BCBDD AAADA CC
二、填空题： 13． 74 14. 15. 5，30 16. (9,49)
三、解答题：
17. 解 基本事件共有6×6=36个。
（1） x+y是5的倍数包含以下基本事件：
（1，4）（4，1）（2，3）（3，2）（4，6）（6，4）（5，5）共7个。
所以，x+y是5的倍数的概率是 。------------5分
（2）此事件的对立事件是x，y都不是5或6，其基本事件有个，所以，x，y中至少有一个5或6的概率是.------------10分
18 解:（1）由图表得:
,所以这15名乘客的平均候车时间为10.5分钟 ------------4分
（2）由图表得:这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8,所以,这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于 ------------8分
（3）设第三组的乘客为,第四组的乘客为,“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件.
所得基本事件共有15种,即
,
其中事件包含基本事件8种,所以,即所求概率等于 ------------12分
19.解：　(1)由频率分布直方图得第七组的频率为
1－(0.008×2＋0.016×2＋0.04×2＋0.06)×5＝0.06，
∴第七组的人数为0.06×50＝3.
同理可得各组人数如下：
组别
1
2
3
4
5
6
7
8
样本数
2
4
10
10
15
4
3
2
-----------8分
(2)由频率分布直方图得后三组的频率为0.016×5＋0.06＋0.008×5＝0.18.
估计这所学校高三年级身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为800×0.18＝144. --12分
20. 解：（1）由已知可得
于是有
所以
又所以平面CEF.
由平面CEF，故CF------------6分
（2）在△CEF中，由（1）可得
于是有所以CF⊥EF.
又由（1）知，且，所以CF⊥平面C1EF.
又平面C1EF，故CF⊥C1F.
于是∠EFC1即为二面角E-CF-C1的平面角.
由（1）知△C1EF是等腰直角三角形，所以∠EFC1=450，即所求二面角E-CF-C1的大小为450. ------------12分
21. 设直线MN切圆于N，则动点M组成的集合是：P＝{M| |MN|＝|MQ|}
因为圆的半径|ON|＝1，所以|MN|2＝|MO|2－|ON|2＝|MO|2－1
设点M的坐标为（x，y）
则
整理得
它表示圆，该圆圆心的坐标为（4，0），半径为………………8分
（2）由圆心到直线的距离所以=…………12分
22. 解：（I）由题在是增函数，
由一次函数性质知
当时，在上是增函数，
所以 ………………4分
（Ⅱ） ………………5分
证明如下：因为是“一阶比增函数”，即在上是增函数，
又，有，
所以，
所以，
所以
所以 ………………12分