命题及其关系、充分条件与必要条件

专题二 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、明确要求
1.了解命题的概念，会分析原命题及其逆命题、否命题与逆否命题这四种命题的相互关系．
2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
二、命题方向
1.本部分主要考查四种命题的概念及其相互关系，考查充分条件、必要条件、充要条件的概念及应用；
2.题型主要以选择题、填空题的形式出现．常与集合、不等式、几何等知识相结合命题.
三、知识要点
1．四种命题及其关系
(1)四种命题
命　题
表述形式
原命题
若p，则q
逆命题
若q，则p
否命题
若，则
逆否命题
若，则
(2)四种命题间的逆否关系
(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系。
2．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)如果p?q，q?p，则p是q的充要条件．
四、规律总结
一个区别
否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．
两条规律
(1)逆命题与否命题互为逆否命题；
(2)互为逆否命题的两个命题同真假．
三种方法
充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如为真，则p是q的充分条件．
(2)等价法：的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
(3)集合法：若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
双基自测
1、(2012年长沙模拟)“a<－2”是“函数f(x)＝ax＋3在区间[－1，2]上存在零点”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当a<－2时，f(－1)f(2)＝(－a＋3)(2a＋3)<0，所以函数f(x)＝ax＋3在区间[－1，2]上存在零点；反过来，当函数f(x)＝ax＋3在区间[－1，2]上存在零点时，不能得知a<－2，如当a＝4时，函数f(x)＝ax＋3＝4x＋3在区间[－1，2]上存在零点．
因此，“a<－2”是“函数f(x)＝ax＋3在区间[－1，2]上存在零点”的充分不必要条件，选A.
答案：A
2、(2012年高考湖南卷)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　)
A．若α≠，则tan α≠1
B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠
D．若tan α≠1，则α＝
解析：　(1)根据原命题与其逆否命题的关系求解．
由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠1，则α≠.
答案; C
3、原命题：若a＝1，则函数f(x)＝x3＋ax2＋ax＋1没有极值，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 (　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：先考虑原命题，当a＝1时，f(x)＝x3＋x2＋x＋1，f′(x)＝x2＋x＋＝(x＋)2＋>0，所以f(x)没有极值，故原命题为真，因而逆否命题也为真；其逆命题是“若函数f(x)＝x3＋ax2＋ax＋1没有极值，则a＝1”．由f(x)没有极值，故f′(x)≥0，即x2＋ax＋a≥0恒成立，这等价于Δ＝a2－4×1×a≤0?0≤a≤2，所以其逆命题是假命题，因而否命题也为假命题．
答案: C
4、命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　　)．
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
解析：原命题是全称命题，则其否定是特称命题，故选D.
答案： D
5、设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是(　　)．
设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是(　　)．
A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b
解析：“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”．
答案： D
题型分析
考点一、命题及其关系
例题分析
例1、例1.【2013年湖北卷】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设
命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）
A．∨ B．∨ C．∧ D．∨
例2、【2013年天津卷】已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的, 则其体积缩小到原来的;
②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;
③直线x + y + 1 = 0与圆相切. 其中真命题的序号是 （ ）
(A) ①②③ (B) ①② (C) ①③ (D) ②③
针对训练
1、【2012年（重庆）】命题“若p则q”的逆命题是（　　）
A．若q则p B．若p则 q C．若则 D．若p则
解析：根据原命题与逆命题的关系可得：“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，故选A。
答案：A
2、【2013年新课标（I）】已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【方法总结】
1.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．
2. 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．
考点二 充分条件与必要条件
【例题分析】
例3、【2013年安徽卷】“”是“”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
例4、【2013年上海卷理】钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）
(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件
针对训练
3、【2013年（湖南卷）】“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：“1答案： A
4、【2013年福建卷】已知集合，，则是的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【方法总结】
判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．
【考点预测】
1、命题“”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
2、已知函数，其中为常数．那么“”是“为奇函数”的（ ）
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
经典作业
1、(2012·山东)设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的(　　)．21世纪教育网
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　若函数f(x)＝ax在R上为减函数，则有0＜a＜1；若函数g(x)＝(2－a)x3在R上为增函数，则有0＜a＜1或1＜a＜2，所以“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件，选A.
答案　A
2、已知α，β的终边在第一象限，则“α＞β ”是“sin α＞sin β ”的(　　)．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[来源:21世纪教育网]
解析： [当α＞β时，令α＝390°，β＝60°，则sin 390°＝sin 30°＝＜sin 60°＝，故sin α＞sin β不成立；当sin α＞sin β时，令α＝60°，β＝390°满足上式，此时α＜β，故“α＞β”是“sin α＞sin β ”的既不充分也不必要条件，故选D.]
答案：D　
3、(2011·湖北)若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补，记φ(a，b)＝－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的(　　)
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：φ(a，b)＝－a－b＝0
即＝a＋b，则a2＋b2＝a2＋b2＋2ab，
∴ab＝0，∴a≥0，b≥0，且a与b互补．
答案：C
4、已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是(　　)
A．p：m≤－2或m≥6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点
B．p：＝1；q：y＝f(x)是偶函数
C．p：cosα＝cosβ；q：tanα＝tanβ
D．p：A∩B＝A；q：A?U，B?U，?UB??UA
解析：对于A，由y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m2－4(m＋3)>0，从而可得m<－2或m>6.所以p是q的必要不充分条件；
对于B，由＝1?f(－x)＝f(x)?y＝f(x)是偶函数，但由y＝f(x)是偶函数不能推出＝1，例如函数f(x)＝0，所以p是q的充分不必要条件；
对于C，当cosα＝cosβ＝0时，不存在tanα＝tanβ，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件；
对于D，由A∩B＝A，知A?B，所以?UB??UA；反之，由?UB??UA，知A?B，即A∩B＝A.所以p?q.
综上所述，p是q的充分必要条件的是D，故选D.
答案：D
5、命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的否命题是(　　)
A.若x，y都是偶数，则x＋y不是偶数 B.若x，y都不是偶数，则x＋y不是偶数
C.若x，y都不是偶数，则x＋y是偶数 D.若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数
解析: “都是”的否定是“不都是”，故其否命题是： “若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数”.
答案：选D.
6.(2012·广州模拟)“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的(　　)
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析.a＝0，若b＝0，则a＋bi是实数，而a＋bi(a，b∈R)是纯虚数a＝0.
答案：选A
7.(2012·揭阳模拟)设集合M＝{x|0A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：由题意知NM，
∴a∈Ma∈N，而a∈Na∈M.
答案：选B.
8.(2012·惠州模拟)“|x|<2”是“x2－x－6<0”成立的(　　)
A.充分不必要条件　　　B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：由|x|<2，得－2由x2－x－6<0得－2且(－2,2) (－2,3)，故选A.
答案：选A.
9.(预测题)若集合A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|(x＋2)(x－a)＜0}，则“a＝1”是“A∩B＝”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：当a＝1时，B＝{x|－2＜x＜1}，满足A∩B＝，反之若A∩B＝，只需a≤2即可，故“a＝1”是“A∩B＝”的充分不必要条件.
答案：选A.
10.已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则p是q成立的(　　)
A.充分不必要条件　　　B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：由＜1得＜0，
∴x＜0或x＞1，
∴q：0≤x≤1.
∵{x|0≤x≤1}{x|x≤1}，
∴p是q的必要不充分条件.
答案：选B.
二、填空题
11.有三个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
(2)“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；
(3)“若x≤－3，则x2＋x－6＞0”的否命题.
其中真命题的个数为　　　　.
解析：命题(1)为“若x，y 互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；因为命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，故命题(2)是假命题；命题(3)为“若x＞
－3，则x2＋x－6≤0”，因为x2＋x－6≤0－3≤x≤2，故命题(3)是假命题，综上知真命题只有1个.
答案：1
12.“a＜0”是“方程ax2＋1＝0有一个负数根”的　　　　条件.(填“充分不必要”、“ 必要不充分”、“充分必要”)
解析： 当a＜0时，由ax2＋1＝0得x2＝－＞0，
故方程ax2＋1＝0有一个负数根；若方程ax2＋1＝0有一个负数根，则x2＝－＞0，∴a＜0，从而a＜0是方程ax2＋1＝0有一个负数根的充要条件.
答案：充分必要
13.(2012·安庆模拟)若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为　　　　.
解析：逆命题：若关于x的方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0，假命题.
否命题：若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实根，假命题.
逆否命题：若关于x的方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0，真命题.
三、解答题
14. 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明：必要性：
若方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
则x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，
∴a＋b＋c＝0.
充分性：
若a＋b＋c＝0，
则b＝－a－c，
∴ax2＋bx＋c＝0可化为ax2－(a＋c)x＋c＝0，
∴(ax－c)(x－1)＝0，
∴当x＝1时，ax2＋bx＋c＝0，
∴x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根.
15.已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，x∈[，2]}B＝{x|x＋m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
求实数m的取值范围.
解析：y＝x2－x＋1＝(x－)2＋，
∵x∈[，2]，
∴≤y≤2，
∴A＝{y|≤y≤2}，
由x＋m2≥1，得x≥1－m2，
∴B＝{x|x≥1－m2}，
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
∴AB，∴1－m2≤，
解得m≥或m≤－，
故实数m的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞).