【解析版】广东省实验中学2013-2014学年高一上学期模块考试数学试题

广东实验中学2013—2014学年（上）高一级模块考试
数 学
第一部分 基础检测(共100分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.直线（为实常数）的倾斜角的大小是（ ）
A． B． C． D．
2.右图是水平放置的的直观图，轴，，
则是（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】C
【解析】
试题分析：直观图为斜二测画法，原图的画为，因此原为直角三角形.
考点：斜二测画法.
3.给出下列命题:
垂直于同一直线的两直线平行.
同平行于一平面的两直线平行.
同平行于一直线的两直线平行.
平面内不相交的两直线平行.
其中正确的命题个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4.三棱锥的高为3，侧棱长均相等且为，底面是等边三角形，则这个三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意知为正三棱锥，高为3，侧棱长为，因此底面三角形的边长为3，所以该三棱锥的体积为.
考点：空间几何体的体积、空间想象能力.
5.给岀四个命题：
(1) 若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；
(2) ( ，( 为两个不同平面，直线a ( ( ，直线b ( ( ，且a∥( ，b∥( , 则( ∥( ;
(3) ( ，( 为两个不同平面，直线m⊥( ，m⊥( 则( ∥( ;
(4) ( ，( 为两个不同平面，直线m∥( ，m∥( , 则( ∥( .
其中正确的是（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
6.如图，在正方体中，异面直线与所成的角为 （ ）
A． B． C． D．

【答案】C
【解析】
试题分析： 如图，连接、，异面直线与所成的角即为，由正方体可知，所以 .

考点：异面直线所成的角.
7.直线和的位置关系是（　　）
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定
8.如右图将正方形沿对角线折成直二面角，有如下四个结论：
①⊥；
②△是等边三角形；
③与所成的角为60°；
④与平面所成的角为60°．
其中错误的结论是（ ）

A．① B．② C．③ D．④

考点：直线与平面的位置关系、空间想象能力.
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．
9.过点（1，2）且与直线平行的直线方程是 .
【答案】
【解析】
试题分析：与直线平行的直线方程可设为，把点（1，2）代入，求得，所以直线方程为.
考点：直线方程、两直线的位置关系.
10.已知直线和平面，且，则与的位置关系是 .
12.如图，一个底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水若放入一个半径为的实心铁球，水面高度恰好升高，则____________.
【答案】
【解析】
试题分析：由题知半径为的实心铁球的体积和水面上升的体积相等，即，所以.
考点：空间几何体的体积.
三、解答题：本大题共3小题，每项小题12分，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
13.如图，在空间四边形中，分别是和上的点，分别是和上的点，且，求证：三条直线相交于同一点.

14.求经过点并且和轴的正半轴、轴的正半轴所围成的三角形的面积是的直线方程.
【答案】直线方程为
【解析】
试题分析：先根据已知设直线方程为，又因为，解得：（舍去），，所以直线方程为.
试题解析：因为直线的斜率存在，所以设直线方程为，
即 ……………………………2分
令 ……………………………6分
由 ……………………………8分
因为，解得：…………10分
因为 ……………………………11分
所以直线方程为 ……………………………12分
考点：直线方程、三角形面积公式.
15.如图,已知点M、N是正方体ABCD-A1B1C1D1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，
（1)求证：平面.
（2)求证：平面

【答案】（1)（2)证明过程详见试题解析.
因为为中点，所以
因为 ……………………5分
第二部分 能力检测(共50分)
四、选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．
16.若直线不平行于平面，则下列结论成立的是（ ）
A．内的所有直线都与直线异面 B．内不存在与平行的直线
C．内的直线都与相交 D．直线与平面有公共点
【答案】D
【解析】
试题分析：直线不平行于平面,则与平面相交或，所以D正确.
考点：直线与平面的位置关系.
17.如图，正四面体的顶点分别在两两垂直的三条射线上，则在下列命题中，错误的为（ ）
A．是正三棱锥
B．直线平面
C．直线与所成的角是
D．二面角为
五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18.(本小题满分13分)
已知四棱锥的正视图是一个底边长为、腰长为的等腰三角形，图4、图5 分别是四棱锥的侧视图和俯视图. 求四棱锥的侧面和的面积.
【答案】四棱锥的侧面的面积为6，的面积为3.
【解析】
试题分析：由题知点在平面上的正射影是线段的中点，连接，过作，垂足为，则为中点，连接，分别求出的长即可求出侧面的面积；依题意得，即可求出的面积.
19.（本小题满分13分）如图，在长方体中，，，点在棱上移动．
（1）证明：；
（2）等于何值时，二面角的大小为？
【答案】（1）证明过程详见试题解析；（2）时，二面角的平面角为．
【解析】
试题分析：（1）要证，先证明面，而面，所以；
（2）由题意可证为二面角的平面角，再根据列方程，可解得.
试题解析：

故时，二面角的平面角为．………………………… 13分
考点：空间直线与平面的位置关系、二面角的求法.
如图，棱柱中，四边形是菱形，四边形是矩形，
.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3） 求直线与平面所成角的正切值.

试题解析：（1）……………4分
（2）解：面，所以点到面的距离相等，………6分
设点到面的距离相等，则
∵，∴为正三角形，………7分
又 ………8分
∴，∴，点到平面的距离为. ………9分
（3）解：过作，垂足为 ………10分
面 ………12分