第18讲 拐点偏移
知识与方法
1．拐点偏移问题
若函数在某点处，二阶导数为零，三阶导数不为零时，这个点即为拐点．极值点是一阶导数的零点；拐点是二阶导数的零点；拐点是一阶导数的极值点．
如我们熟悉的三次函数的拐点为坐标原点．
作直线与函数分别交于，则的中点坐标为．对于三次函数，拐点的横坐标为，此时认为拐点居中，没有偏离中点．同样，我们可以发现对于一般的三次函数，若其在定义域内单调，其拐点也居中，没有偏离中点．
然而很多含拐点的单调函数，由于拐点左、右的“增减速度”不同，函数图象不具有中心对称的性质，常常会有拐点的情况，这样就出现了拐点向左或向右偏移的情况．如右图所示：
2．拐点偏移问题的求解思路：对称化构造函数
解决拐点偏移问题，对称化构造新函数法是最基本的方法，有以下几种构造形式：
(1)结论为的问题，若，则构造．
(2)结论为问题，若，则构造．
(3)结论为的问题，若，则构造．
(4)结论为的问题，若，则构造．
典型例题
【例1】已知函数．若正实数满足，证明：．
【解析】解法1：对称化构造函数法
若都大于1，则，与题设矛盾；
同理，也不能都小于1．于是可设
构造函数，则，
所以在(0，2]上单调递增，故，于是原不等式得证．
解法2：凑配局部放缩法
，即，
整理得．
令，记，
则，可知在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以的最小值为，则，得，又，因此成立．
【点睛1】解法1具有一般性，在我们点睛意到，则可以得到，联想，即，这或许与函数的中心对称有关：若点(1，2)是函数图象的对称中心，则由可推得；现要证，这说明(1，2)不是函数图象的对称中心，即曲线在穿过点(1，2)后发现了偏移，如图所示．
求导后，得，则在(0，)上单调递增，，则．在高等数学中，称点(1，2)为函数图象的拐点．类似于“极值点偏移”问题，我们不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”策略来处理．
【例2】已知函数，且为定义域上的增函数，是的导函数，且的最小值小于等于0．
(1)求的值；
(2)设，且，求证：．
【解析】，由为增函数，可得恒成立，
则由，可得恒成立．
设，则，
由与可知，在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，
即在处取得极小值也是最小值，所以，即．
当时，易知；
当时，则，这与矛盾．从而．．
由可得，有解，即，
由上面的讨论，可知，即．
当时，成立；当时，得，从而，即．
综上可知．
，因为，
所以，
即，
即，
即，
即．
令在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以，
即，整理得，
解得或(舍)，所以．
【例3】已知定义域为(0，)的函数(其中常数是自然对数的底数)．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数为定义域上的增函数，且，证明：．
【解析】(1)易知．
①若，由，解得，所以函数的递增区间为(1，)；
②若，则
(0，) (，1) 1 (0，)
0 0
极大值 极小值
所以的单调递增区间为(0，)和(1，)；
(3)若，则，所以的单调递增区间为(0，)；
(4)若，则
(0，1) 1 (1，) (，)
0 0
极大值 极小值
所以的递增区间为(0，1)和(，)．
综上所述，
当时，的递增区间为(1，)；
当时，的递增区间为(0，)和(1，)；
若的递增区间为(0，)；
当时，的递增区间为(0，1)和(，)．
(2)因为为(0，)上的增函数，所以，
即，点睛意到，
故，不妨设．
解法1：对称构造法
欲证，只需证，只需证，
即证，即证．
令，只需证，
而，
下证，即证．
由熟悉不等式(证明略)，知．
当时，即，
所以，易知当时，，
所以，所以，
所以，即单调递增，即，从而．
解法2：
令，
则，
(0，1) 1 (1，)
0
极小值
由上表可画出的图象如图实线所示，
图中虚线所示为函数的图象关于点对称后的函数的图象，
设图中点，则，
欲证，只需证，只需证点不在点的左侧即可，
即证当时，恒成立，
即证，即证，
由基本不等式，可知
所以，所以．
【点睛】一般来说，关于“拐点偏移”问题有两种常用方法，一是对称化构造函数，另一个是作出函数关于拐点的对称函数，借助常用不等式证明．
【例4】已知函数．
(1)若在(0，)上单调递增，求实数的取值范围；
(2)当时，若满足，求证：．
【解析】(1)，由在(0，)上递增，
故当时，恒成立，即恒成立．
设，则，故在(0，)上单调递增，
所以．从而，故实数的取值范围是(，．
(2)当时，，
故在上单调递增．因为，且，所以．
要证，只需证，由于在上单调递增，
故只需证，由，即证，
即证
令
则
所以在(，0)上单调递增，所以，
故在(，0)上单调递减，所以，
从而原不等式得证．
【点睛】对于含有三角函数的拐点偏移问题，基本方法还是对称化构造函数．证明过程中要点睛意应用均值不等式和三角函数有界性进行放缩．
【例5】已知函数．
(1)求函数的单调性；
(2)若，且，求证：．．
【解析】(1)的定义域为(0，)，
今得得，
当时单调递增；当 时单调递减；
所以，所以在上单调递减；
(2)由可知，在(0，+∞)上递减，且，
而，且，要证，不妨设．
若，则 显然成立；故可设，
要证，即证，只需证明，
即证即证．
下面证明不等式成立：
令，则，
所以，
在单调递增，所以，
所以在(0，e)单调递减，所以，
即，因为，所以，
因为，所以．
又在(0，e)单调递减，所以，故．．
【例6】设函数．
(1)若对恒成立，求的取值范围；
(2)若，当时，求证：．
【解析】(1)，
当时，，令得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
所以，由，得：．
当时，，则对恒成立，
所以在区间上单调递增，且，所以不符合．
故的取值范围为．
(2)因为，所以，
得，
若或，则结论显然成立．
当时，，
令，
所以为单调递增函数，则证明：证明，
而，所以等价于证明：，
即证明：，
又，
令，
得在区间上递增，在区间上递减，
所以，因为，所以，所以，故得证．
【点睛】本例是拐点偏移问题，可有三种方法：
1．利用换元把转化为的函数，常把的关系变形为齐次式，设等，构造函数来解决，可称之为统一变量法．
2．由于两个变量的地位相同，将待证不等式进行变形，可以构造关于(或)的一元函数来处理．应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明．此乃主元法．
3．如果等式含有参数，则消参，有指数的则两边取对数，转化为对数式，通过恒等变换转化为对数平均问题，利用对数平均不等式求解，此乃对数平均不等式法．
【例7】设函数．
(1)判断函数的单调性；
(2)若，且，求证：．
【解析】(1)因为，
所以，
令，则，
令或，
当时，当时，当时
所以在上递减，在上递增，在(1，)上递减．
又，故对一切恒成立，所以．
于是，故在单调递增；
(2)不妨设．
构造函数，其中，则，
由，得，
因为，
所以在单调递增，所以，
所以在单调递减，所以，
即 对恒成立，
因为，所以，所以，
又在单调递增，所以，故．
【例8】已知函数．
(1)若在(0，+∞)上单调递增，求实数的取值范围；
(2)当时，若满足，求证：．
【解析】(1)由题意恒成立，即恒成立．
设，则，故在上单调递增，
所以．从而实数．
(2)当时，，故在上单调递增．
因为，且，所以．
要证，只需证，由于在上单调递增，故只需证，
由，即证，即证．
令＋，
则，
所以在上单调递增，所以，故在(－∞，0) 上单调递减，
所以，从而原不等式得证．
强化训练
1．已知函数．证明：当时，．
【解析】，
令，则，当时，当时，所以在(0，1) 递增，在(1，＋∞) 递减，所以，即，
所以在(0，＋∞) 上单调递减，且．
不妨设，则．要证，只需证．
由，即证．
构造函数，
则
所以在上单调递增，，从而在上单调递减，
所以．即当时，．
因为，所以成立，故得证．
2．设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)时，若，求证：．
【解析】，
令，所以，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以，
当，即时，，所以函数在上单调递增；
当时，，
而，由零点存在性定理可知，存在，使得，
令，则，
所以在(1，＋∞)单调递增，故，即．
由零点存在性定理可知，存在(0，a)，使得．
于是，当(－∞，)时，；
当(，)时，；当时，．
所以函数在(－∞，)上单调递增，在(，)上单调递减．
(2)证明：构造函数，
则，
所以，
因为(当时取等号)，
所以在[0，+∞)上单调递增，则，
于是在[0，+∞)上单调递增，所以，
不妨设，要证，只需证，
由(1)可知，当时，在上单调递增，则有，
由，得，
只需证，即证，
由在[0，+∞)上单调递增，且，
所以成立，故成立，得证．
3．已知函数为常数)在处的切线方程为．
(1)求的值，并讨论的单调性；
(2)若，求证：．
【解析】(1)，
由题意可得，，解可得，此时，
令，则，
易得在上单调递减，在上单调递增，故恒成立，
故在上单调递增，
(2)设，则，
易得在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
当时，取得最大值，故，即，
今，
则．
设，则，
故单调递增，单调递增，且，
故当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，即，当时等号成立，
所以，又，
所以，即，
由在(0，+∞)上单调递增，
所以，即．第18讲 拐点偏移
知识与方法
1．拐点偏移问题
若函数在某点处，二阶导数为零，三阶导数不为零时，这个点即为拐点．极值点是一阶导数的零点；拐点是二阶导数的零点；拐点是一阶导数的极值点．
如我们熟悉的三次函数的拐点为坐标原点．
作直线与函数分别交于，则的中点坐标为．对于三次函数，拐点的横坐标为，此时认为拐点居中，没有偏离中点．同样，我们可以发现对于一般的三次函数，若其在定义域内单调，其拐点也居中，没有偏离中点．
然而很多含拐点的单调函数，由于拐点左、右的“增减速度”不同，函数图象不具有中心对称的性质，常常会有拐点的情况，这样就出现了拐点向左或向右偏移的情况．如右图所示：
2．拐点偏移问题的求解思路：对称化构造函数
解决拐点偏移问题，对称化构造新函数法是最基本的方法，有以下几种构造形式：
(1)结论为的问题，若，则构造．
(2)结论为问题，若，则构造．
(3)结论为的问题，若，则构造．
(4)结论为的问题，若，则构造．
典型例题
已知函数．若正实数满足，证明：．
【例2】已知函数，且为定义域上的增函数，是的导函数，且的最小值小于等于0．
(1)求的值；
(2)设，且，求证：．
【例3】已知定义域为(0，)的函数(其中常数是自然对数的底数)．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数为定义域上的增函数，且，证明：．
【例4】已知函数．
(1)若在(0，)上单调递增，求实数的取值范围；
(2)当时，若满足，求证：．
【例5】已知函数．
(1)求函数的单调性；
(2)若，且，求证：．．
【例6】设函数．
(1)若对恒成立，求的取值范围；
(2)若，当时，求证：．
【例7】设函数．
(1)判断函数的单调性；
(2)若，且，求证：．
【例8】已知函数．
(1)若在(0，+∞)上单调递增，求实数的取值范围；
(2)当时，若满足，求证：．
强化训练
已知函数．证明：当时，．
2．设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)时，若，求证：．
3．已知函数为常数)在处的切线方程为．
(1)求的值，并讨论的单调性；
(2)若，求证：．
