专题02 曲线的切线方程
考点一 求切线的方程
【方法总结】
求曲线切线方程的步骤
(1)求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程的步骤
第一步，求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值f′(x0)，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；
第二步，由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤
第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步，写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；
第四步，将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．
【例题选讲】
[例1](1) (2021·全国甲)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________．
答案 5x－y＋2＝0 解析 y′＝′＝＝，所以y′|x＝－1＝＝5，所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0．
(2) (2020·全国Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1 C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
答案 B 解析 f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，f′(x)＝4x3－6x2，所以切线的斜率为k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1．
(3) (2018·全国Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax．若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为( )
A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x
答案 D 解析 法一 因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0．因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x．故选D．
法二 因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，此时f(x)＝x3＋x(经检验，f(x)为奇函数)，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x．故选D．
法三 易知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x．故选D．
(4) (2020·全国Ⅰ)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．
答案 2x－y＝0 解析 设切点坐标为(x0，y0)，因为y＝ln x＋x＋1，所以y′＝＋1，所以切线的斜率为＋1＝2，解得x0＝1．所以y0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0．
(5)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为 ．
答案 x－y－1＝0 解析 ∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋ln x，∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x．∴由解得x0＝1，y0＝0．∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0．
(6) (2021·新高考Ⅰ)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则( )
A．eb
答案 D 解析 根据y＝ex图象特征，y＝ex是下凸函数，又过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则点(a，b)在曲线y＝ex的下方且在x轴的上方，得0(7)已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为( )
A．(1，3) B．(－1，3) C．(1，3)或(－1，3) D．(1，－3)
答案 C 解析 设切点P(x0，y0)，f′(x)＝3x2－1，又直线x＋2y－1＝0的斜率为－，∴f′(x0)＝3x－1＝2，∴x＝1，∴x0＝±1，又切点P(x0，y0)在y＝f(x)上，∴y0＝x－x0＋3，∴当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3．∴切点P为(1，3)或(－1，3)．
(8) (2019·江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．
答案 (e，1) 解析 设A(m，n)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝(x－m)．又切线过点(－e，－1)，所以有n＋1＝(m＋e)．再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1．故点A的坐标为(e，1)．
(9)设函数f(x)＝x3＋(a－1)·x2＋ax，若f(x)为奇函数，且函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为 ．
答案 (0，0) 解析 ∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a．又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，f′(x)＝3x2＋1，3x＋1＝1，x0＝0，f(x0)＝0，∴切点P(x0，f(x0))的坐标为(0，0)．
(10)函数y＝在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )
A． B． C． D．1
答案 B 解析 ∵y＝，∴y′＝＝，∴k＝y′|x＝0＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x－0)，即y＝2x－1，令x＝0，得y＝－1；令y＝0，得x＝，故所求的面积为×1×＝．
(11)曲线y＝x2－lnx上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是 ．
答案 解析 设曲线在点P(x0，y0)(x0>0)处的切线与直线x－y－2＝0平行，则＝＝2x0－＝1．∴x0＝1，y0＝1，则P(1，1)，则曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离d＝＝．
【对点训练】
1．设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为( )
A．∪ B． C．∪ D．
1．答案 C 解析 y′＝3x2－，∴y′≥－，∴tan α≥－，又α∈[0，π)，故α∈∪，故
选C．
2．函数f(x)＝ex＋在x＝1处的切线方程为 ．
2．答案 y＝(e－1)x＋2 解析 f′(x)＝ex－，∴f′(1)＝e－1，又f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切
线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2．
3．(2019·全国Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________．
3．答案 y＝3x 解析 y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3ex(x2＋3x＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率
k＝e0×3＝3，所以所求切线方程为y＝3x．
4．曲线f(x)＝在点P(1，f(1))处的切线l的方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－3＝0 C．3x＋y＋2＝0 D．3x＋y－4＝0
4．答案 D 解析 因为f(x)＝，所以f′(x)＝．又f(1)＝1，且f′(1)＝－3，故所求切线方
程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0．
5．(2019·全国Ⅱ)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为( )
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
5．答案 C 解析 设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则f′(x)＝2cos x－sin x，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)
处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0．故选C．
6．(2019·天津)曲线y＝cos x－在点(0，1)处的切线方程为________．
6．答案 y＝－x＋1 解析 y′＝－sin x－，将x＝0代入，可得切线斜率为－．所以切线方程为y－1
＝－x，即y＝－x＋1．
7．已知f(x)＝x为奇函数(其中e是自然对数的底数)，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为 ．
7．答案 2x－y＝0 解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＋f(1)＝0，即e＋－－ae＝0，解得a＝1，f(x)＝
x，∴f′(x)＝＋x，∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为2，又f(0)＝0，∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的方程为2x－y＝0．
8．已知曲线y＝x3上一点P，则过点P的切线方程为________．
8．答案 3x－3y＋2＝0或12x－3y－16＝0 解析 设切点坐标为，由y′＝′＝x2，得y′|x＝x0
＝x，即过点P的切线的斜率为x，又切线过点P，若x0≠2，则x＝，解得x0＝－1，此时切线的斜率为1；若x0＝2，则切线的斜率为4．故所求的切线方程是y－＝x－2或y－＝4(x－2)，即3x－3y＋2＝0或12x－3y－16＝0．
9．已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为 ．
9．答案 x－y－1＝0 解析 ∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋
lnx，∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x．∴由解得x0＝1，y0＝0．∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0．
10．设函数f(x)＝f′x2－2x＋f(1)ln x，曲线f(x)在(1，f(1))处的切线方程是( )
A．5x－y－4＝0 B．3x－y－2＝0 C．x－y＝0 D．x＝1
10．答案 A 解析 因为f(x)＝f′x2－2x＋f(1)ln x，所以f′(x)＝2f′x－2＋．令x＝得f′＝2f′
×－2＋2f(1)，即f(1)＝1．又f(1)＝f′－2，所以f′＝3，所以f′(1)＝2f′－2＋f(1)＝6－2＋1＝5．所以曲线在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝5(x－1)，即5x－y－4＝0．
11．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”
的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f(x)＝ln(1＋x)，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为________，用此结论计算ln2 022－ln2 021≈________．
11．答案 y＝x 解析 函数f(x)＝ln(1＋x)，则f′(x)＝，f′(0)＝1，f(0)＝0，∴切线方程为y＝x．∴
ln2 022－ln2 021＝ln＝f ，根据以直代曲，x＝也非常接近切点x＝0．∴可以将x＝代入切线近似代替f ，即f ≈．
12．曲线f(x)＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )
A．2 B． C． D．
12．答案 D 解析 f′(x)＝1＋，则f′(1)＝2，故曲线f(x)＝x＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x
－1)，即y＝2x－1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，，则切线与坐标轴围成的三角形的面积为×1×＝，故选D．
13．已知曲线y＝x3＋．
(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程．
13．解析 (1)∵P(2，4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，
∴在点P(2，4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4．
∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0．
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A，则切线的斜率为y′|x＝x0＝x．
∴切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋．
∵点P(2，4)在切线上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，
故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0．
14．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0．
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
14．解析 (1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝．又f′(x)＝a＋，于是解得故f(x)＝x－．
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，
由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．令x＝0，得y＝－，
从而得切线与直线x＝0的交点坐标为．
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝|2x0|＝6．
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6．
15．(2021·全国乙)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标．
15．解析 (1)由题意知f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－2x＋a，对于f′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a)．
①当a≥时，Δ≤0，f′(x)≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上单调递增；
②当a<时，令f′(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝，x2＝，
令f′(x)>0，则xx2；令f′(x)<0，则x1所以f(x)在(－∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增．
综上，当a≥时，f(x)在R上单调递增；当a<时，f(x)在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增．
(2)记曲线y＝f(x)过坐标原点的切线为l，切点为P(x0，x－x＋ax0＋1)．
因为f′(x0)＝3x－2x0＋a，所以切线l的方程为y－(x－x＋ax0＋1)＝(3x－2x0＋a)(x－x0)．
由l过坐标原点，得2x－x－1＝0，解得x0＝1，所以切线l的方程为y＝(1＋a)x．
由解得或
所以曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标为(1，1＋a)和(－1，－1－a)．
考点二 求参数的值(范围)
【方法总结】
处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
注意：曲线上横坐标的取值范围；谨记切点既在切线上又在曲线上．
【例题选讲】
[例1](1)已知曲线f(x)＝ax3＋lnx在(1，f(1))处的切线的斜率为2，则实数a的值是________．
答案 解析 f′(x)＝3ax2＋，则f′(1)＝3a＋1＝2，解得a＝．
(2)若函数f(x)＝lnx＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是 ．
答案 [2，＋∞) 解析 直线2x－y＝0的斜率k＝2，又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，∴f′(x)＝＋4x－a＝2在(0，＋∞)内有解，则a＝4x＋－2，x>0．又4x＋≥2＝4，当且仅当x＝时取“＝”．∴a≥4－2＝2．∴a的取值范围是[2，＋∞)．
(3)设函数f(x)＝alnx＋bx3的图象在点(1，－1)处的切线经过点(0，1)，则a＋b的值为 ．
答案 0 解析 依题意得f′(x)＝＋3bx2，于是有即解得所以a＋b＝0．
(4)(2019·全国Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1 C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
答案 D 解析 因为y′＝aex＋lnx＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以解得
(5)设曲线y＝在点(1，－2)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，则＝( )
A． B．－ C．3 D．－3
答案 B 解析 由题可得y′＝，所以曲线在点(1，－2)处的切线的斜率为－3．因为切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，所以－3·＝－1，解得＝－，故选B．
(6)已知直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为________．
答案 1＋ln 2 解析 设切点为(m，mln m)，y′＝1＋ln x，y′|x＝m＝1＋ln m，∴y－mln m＝(1＋ln m)(x－m)，即y＝(1＋ln m)x－m，又y＝kx－2，∴即k＝1＋ln 2．
(7)已知函数f(x)＝x＋，若曲线y＝f(x)存在两条过(1，0)点的切线，则a的取值范围是 ．
答案 (－∞，－2)∪(0，＋∞) 解析 f′(x)＝1－，设切点坐标为，∴切线的斜率k＝f′(x0)＝1－，∴切线方程为y－＝(x－x0)，又切线过点(1，0)，即－＝(1－x0)，整理得2x＋2ax0－a＝0，∵曲线存在两条切线，故该方程有两个解，∴Δ＝4a2－8(－a)>0，解得a>0或a<－2．
(8)关于x的方程2|x＋a|＝ex有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为________．
答案 (1－ln2，＋∞) 解析 由题意，临界情况为y＝2(x＋a)与y＝ex相切的情况，y′＝ex＝2，则x＝ln2，所以切点坐标为(ln2，2)，则此时a＝1－ln2，所以只要y＝2|x＋a|图象向左移动，都会产生3个交点，所以a>1－ln2，即a∈(1－ln2，＋∞)．
【对点训练】
1．若曲线y＝xlnx在x＝1与x＝t处的切线互相垂直，则正数t的值为________．
1．答案 e－2 解析 因为y′＝lnx＋1，所以(ln1＋1)(lnt＋1)＝－1，∴lnt＝－2，t＝e－2．
2．设曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．答案 D 解析 ∵y＝eax－ln(x＋1)，∴y′＝aeax－，∴当x＝0时，y′＝a－1．∵曲线y＝eax－ln(x
＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3．故选D．
3．若曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( )
A．(1，3) B．(－1，3) C．(1，3)或(－1，3) D．(1，－3)
3．答案 C 解析 f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，
经检验点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C．
4．函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是 ．
4．答案 (－∞，2) 解析 由题意知f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解．所以f′(x)＝＋a＝2在(0，＋∞)上有解，
则a＝2－．因为x＞0，所以2－＜2，所以a的取值范围是(－∞，2)．
5．已知函数f(x)＝xcosx＋asinx在x＝0处的切线与直线3x－y＋1＝0平行，则实数a的值为 ．
5．答案 2 解析 f′(x)＝cosx＋x·(－sinx)＋acosx＝(1＋a)cosx－xsinx，∴f′(0)＝1＋a＝3，∴a＝2．
6．已知函数f(x)＝x3＋ax＋b的图象在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y－5＝0，则a＝________；b＝________．
6．答案 －1 －3 解析 由题意得f′(x)＝3x2＋a，则由切线方程得解得a＝
－1，b＝－3．
7．若函数f(x)＝ax－的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，4)，则a＝________．
7．答案 2 解析 f′(x)＝a＋，f′(1)＝a＋3，f(1)＝a－3，故f(x)的图象在点(1，a－3)处的切线方程为y
－(a－3)＝(a＋3)(x－1)，又切线过点(2，4)，所以4－(a－3)＝a＋3，解得a＝2．
8．若曲线y＝ex在x＝0处的切线也是曲线y＝lnx＋b的切线，则b＝( )
A．－1 B．1 C．2 D．e
8．答案 C 解析 y＝ex的导数为y′＝ex，则曲线y＝ex在x＝0处的切线斜率k＝1，则曲线y＝ex在x
＝0处的切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1．设y＝x＋1与y＝ln x＋b相切的切点为(m，m＋1)．又y′＝，则＝1，解得m＝1．所以切点坐标为(1，2)，则2＝b＋ln 1，得b＝2．
9．曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线与x轴交于点，则a＝ ；
9．答案 1 解析 y′＝ex(ax＋1＋a)，所以y′|x＝0＝1＋a，则曲线y＝(ax＋1)ex在(0，1)处的切线方程为y
＝(1＋a)x＋1，又切线与x轴的交点为，所以0＝(1＋a)×＋1，解得a＝1．
10．过点M(－1，0)引曲线C：y＝2x3＋ax＋a的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A、B两点，若|MA|
＝|MB|，则a＝ ．
10．答案 － 解析 设切点坐标为(t，2t3＋at＋a)，∵y′＝6x2＋a，∴6t2＋a＝，即4t3＋6t2
＝0，解得t＝0或t＝－，∵|MA|＝|MB|，∴两切线的斜率互为相反数，即2a＋6×2＝0，解得a＝－．
11．已知曲线C：f(x)＝x3－3x，直线l：y＝ax－a，则a＝6是直线l与曲线C相切的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．答案 A 解析 因为曲线C：f(x)＝x3－3x，所以f′(x)＝3x2－3．设直线l与曲线C相切，且切点的横
坐标为x0，则切线方程为y＝(3x－3)x－2x，所以解得或所以a＝6是直线l与曲线C相切的充分不必要条件，故选A．
12．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：
(1)斜率最小的切线方程；
(2)切线l的倾斜角α的取值范围．
12．解析 (1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，∴当x＝2时，y′min＝－1，y＝，
∴斜率最小的切线过点，斜率k＝－1，∴切线方程为y－＝－1×(x－2)，即3x＋3y－11＝0．
(2)由(1)得k≥－1，∴tan α≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈∪．
故α的取值范围为∪．
13．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
13．解析 f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得解得b＝0，a＝－3或a＝1．
(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，即4a2＋4a＋1>0，所以a≠－．
所以a的取值范围为∪．
14．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C．
(1)求在曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
14．解析 (1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，
即曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k(k≠0)，
则由题意并结合(1)中结论可知，解得－1≤k<0或k≥1，
则－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1，解得x∈(－∞，2－]∪(1，3)∪[2＋，＋∞)．专题02 曲线的切线方程
考点一 求切线的方程
【方法总结】
求曲线切线方程的步骤
(1)求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程的步骤
第一步，求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值f′(x0)，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；
第二步，由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤
第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步，写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；
第四步，将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．
【例题选讲】
[例1](1) (2021·全国甲)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________．
(2) (2020·全国Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1 C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
(3) (2018·全国Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax．若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为( )
A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x
(4) (2020·全国Ⅰ)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．
(5)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为 ．
(6) (2021·新高考Ⅰ)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则( )
A．eb(7)已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为( )
A．(1，3) B．(－1，3) C．(1，3)或(－1，3) D．(1，－3)
(8) (2019·江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．
(9)设函数f(x)＝x3＋(a－1)·x2＋ax，若f(x)为奇函数，且函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为 ．
(10)函数y＝在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )
A． B． C． D．1
(11)曲线y＝x2－lnx上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是 ．
【对点训练】
1．设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为( )
A．∪ B． C．∪ D．
2．函数f(x)＝ex＋在x＝1处的切线方程为 ．
3．(2019·全国Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________．
4．曲线f(x)＝在点P(1，f(1))处的切线l的方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－3＝0 C．3x＋y＋2＝0 D．3x＋y－4＝0
5．(2019·全国Ⅱ)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为( )
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
6．(2019·天津)曲线y＝cos x－在点(0，1)处的切线方程为________．
7．已知f(x)＝x为奇函数(其中e是自然对数的底数)，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为 ．
8．已知曲线y＝x3上一点P，则过点P的切线方程为________．
9．已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为 ．
10．设函数f(x)＝f′x2－2x＋f(1)ln x，曲线f(x)在(1，f(1))处的切线方程是( )
A．5x－y－4＝0 B．3x－y－2＝0 C．x－y＝0 D．x＝1
11．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”
的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f(x)＝ln(1＋x)，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为________，用此结论计算ln2 022－ln2 021≈________．
12．曲线f(x)＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )
A．2 B． C． D．
13．已知曲线y＝x3＋．
(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程．
14．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0．
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
15．(2021·全国乙)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标．
考点二 求参数的值(范围)
【方法总结】
处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
注意：曲线上横坐标的取值范围；谨记切点既在切线上又在曲线上．
【例题选讲】
[例1](1)已知曲线f(x)＝ax3＋lnx在(1，f(1))处的切线的斜率为2，则实数a的值是________．
(2)若函数f(x)＝lnx＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是 ．
(3)设函数f(x)＝alnx＋bx3的图象在点(1，－1)处的切线经过点(0，1)，则a＋b的值为 ．
(4)(2019·全国Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1 C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
(5)设曲线y＝在点(1，－2)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，则＝( )
A． B．－ C．3 D．－3
(6)已知直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为________．
(7)已知函数f(x)＝x＋，若曲线y＝f(x)存在两条过(1，0)点的切线，则a的取值范围是 ．
(8)关于x的方程2|x＋a|＝ex有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为________．
【对点训练】
1．若曲线y＝xlnx在x＝1与x＝t处的切线互相垂直，则正数t的值为________．
2．设曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( )
A．(1，3) B．(－1，3) C．(1，3)或(－1，3) D．(1，－3)
4．函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是 ．
5．已知函数f(x)＝xcosx＋asinx在x＝0处的切线与直线3x－y＋1＝0平行，则实数a的值为 ．
6．已知函数f(x)＝x3＋ax＋b的图象在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y－5＝0，则a＝________；b＝________．
7．若函数f(x)＝ax－的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，4)，则a＝________．
8．若曲线y＝ex在x＝0处的切线也是曲线y＝lnx＋b的切线，则b＝( )
A．－1 B．1 C．2 D．e
9．曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线与x轴交于点，则a＝ ；
10．过点M(－1，0)引曲线C：y＝2x3＋ax＋a的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A、B两点，若|MA|
＝|MB|，则a＝ ．
11．已知曲线C：f(x)＝x3－3x，直线l：y＝ax－a，则a＝6是直线l与曲线C相切的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：
(1)斜率最小的切线方程；
(2)切线l的倾斜角α的取值范围．
13．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
14．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C．
(1)求在曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．