第25讲 导数与数列不等式
知识与方法
函数、数列、不等式的综合题,是高考压轴题的热点题型之一.一方面,以函数为载体让学生探究函数的性质;另一方面,数列是特殊的函数,在研究数列问题时,我们经常用函数的性质去探究数列的变化规律以及取值范围等.本节,我们介绍几类常见的导数与数列不等式结合的考题及其解决方法.
1.基本类型
(1)数列求和(或积)中的不等问题;
(2)通项公式中的不等问题.
对于数列求和的不等问题,通常要将通项公式放缩为可以求和的数列:
(1)放缩为等差数列:通项公式:;
(2)放缩为等比数列:通项公式:;
【点睛】特别地,当时,数列为无穷递缩等比数列,其前项和.这个不等式经常用到,它的结构为:,常常要从第二项或第三项开始放缩.
(3)裂项相消求和:通项公式特点:;
(4)倒序相加求和:通项公式特点:常数.
【点睛1】数列求和不等式,要点睛意从通项公式入手,放缩成可求和的数列.
【点睛2】在放缩时要点睛意前几问的铺垫与提示作用,特别是由恒成立与最值问题所得到的不等式,往往提供了放缩的方向.
【点睛3】常用的放缩不等式:
典型例题
【例1】数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为,证明.
【例2】已知函数.
(1)若在上恒成立,求实数的取值范围;
(2)证明:.
【例3】设函数.
(1)设,求的最小值;
(2)设,若在上为增函数,求实数的取值范围;
(3)求证:时,.
【例4】已知函数.
(1)求函数在上的单调区间;
(2)用表示中的最大值,为的导函数,设函数,若在上恒成立,求实数的取值范围;
(3)证明:.
【例5】已知函数的最小值为0,其中.
(1)求的值;
(2)若对任意的,有成立,求实数的最小值;
(3)证明:.
【例6】已知函数.
(1)求函数的极值;
(2)(1)当时,恒成立,求正整数的最大值;
(2)证明:.
【例7】已知函数.
(1)函数在定义域内恒成立,求实数的取值范围;
(2)求证:当时,.
【例8】已知函数(其中是自然对数的底数,.
(1)当时,求函数的极值;
(2)当时,求证;
(3)求证:对任意正整数,都有.
【例9】已知函数.
(1)求的最大值;
(2)若对,总存在,使得成立,求实数的取值范围;
(3)证明不等式是自然对数的底数).
递推公式中的不等问题
【例10】已知函数.
(1)求证:当时,;
(2)若数列满足,且,证明:.
【例11】函数,曲线在处的切线在轴上的截距为.
(1)求;
(2)讨论的单调性;
(3)设,求证:.
【例12】函数.
(1)判断时,的零点个数,并加以说明;
(2)正项数列满足.
(1)判断数列的单调性,并加以证明;
(2)证明:.
强化训练
1..已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)当时,求证:.
2.已知函数.
(1)求在点处的切线方程;
(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)求证:当时,不等式成立.
3.已知函数.
(1)设,求的单调区间;
(2)若对,总有成立.
求的取值范围;
(ii)证明:对于任意的正整数,不等式恒成立.
4.已知函数.
(1)若不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围;
(2)求证:(其中为自然对数的底数).
5.已知函数.
(1)若,且对于任意恒成立,试确定实数的取值范围;
(2)设函数,求证:
6.已知函数.
(1)求证:当时,;
(2)数列满足,求证:数列单调递减,且.
7.已知函数,正实数数列满足,且当时,求证:
(1)当时,;
(2).第25讲 导数与数列不等式
知识与方法
函数、数列、不等式的综合题,是高考压轴题的热点题型之一.一方面,以函数为载体让学生探究函数的性质;另一方面,数列是特殊的函数,在研究数列问题时,我们经常用函数的性质去探究数列的变化规律以及取值范围等.本节,我们介绍几类常见的导数与数列不等式结合的考题及其解决方法.
1.基本类型
(1)数列求和(或积)中的不等问题;
(2)通项公式中的不等问题.
对于数列求和的不等问题,通常要将通项公式放缩为可以求和的数列:
(1)放缩为等差数列:通项公式:;
(2)放缩为等比数列:通项公式:;
【点睛】特别地,当时,数列为无穷递缩等比数列,其前项和.这个不等式经常用到,它的结构为:,常常要从第二项或第三项开始放缩.
(3)裂项相消求和:通项公式特点:;
(4)倒序相加求和:通项公式特点:常数.
【点睛1】数列求和不等式,要点睛意从通项公式入手,放缩成可求和的数列.
【点睛2】在放缩时要点睛意前几问的铺垫与提示作用,特别是由恒成立与最值问题所得到的不等式,往往提供了放缩的方向.
【点睛3】常用的放缩不等式:
典型例题
【例1】数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为,证明.
【解析】(1)由得,,所以,即，
所以,且,
数列是首项为,公差为的等差数列,
所要证以,故.
(2)要证,
即证,
即证,
即证，
解法1:利用数列的单调性
设,
只需证明的最大值小于0,考察的单调性,
作差:.
构造函数,
则在上单调递减,
所以,故,从而,得证.
解法2:通项比较
点睛意到式左边是数列的前项和,
于是将右边看成另一个数列的前项和的形式,
易得.
记,只需证明,即证,
构造函数证明即可,过程与解法1相同.
解法3:积分放缩
【点睛1】通项比较法也是证明此类数列求和型不等式的常规思路之一.
一般地,对于数列不等式,可设,则.
若成立,显然也成立.
需要点睛意的是:若成立,不一定有.
【点睛2】解法3利用定积分的几何意义进行放缩,这种跨越知识点的思路非常具有创造性,技巧性较强.
【例2】已知函数.
(1)若在上恒成立,求实数的取值范围;
(2)证明:.
【解析】的定义域为,
.
(1)当时,,若,则在上是减函数,所以时,,即在上不恒成立.
(2)当时,,当时,在上是增函数,又,所以.
综上所述,所求的取值范围是.
(2)分析:点睛意到待证不等式左边是数列的前项和,于是将右边看成另一个数列的前项和.由公式,易得.
记,则只需证明.
当时,不等式显然成立;
当时,即证,即证,即证.
令,则只需证明.
构造函数,或者利用第(1)问中的不等式不难证明不等式成立,故而得证.
将上述思路倒过来,可得下面的证法:
证明:由(1)知当时,在上恒成立.
取,得,所以.
令,得,
即,所以,
上式中,然后个不等式相加,
得到:.
【点睛】在放缩时要点睛意前几问的铺垫与提示作用！第(1)问中的不等式为我们提供了放缩的方向,不必构造新的函数进行证明.
【例3】设函数.
(1)设,求的最小值;
(2)设,若在上为增函数,求实数的取值范围;
(3)求证:时,.
【解析】(1)已知函数,所以,
所以,今,解得,或(舍),
当时,在单调递减,
当时,在上单调递增;
所以在处取得最小值,.
(2)因为,所以.
因为在上为增函数,所以在上恒成立,
即在上恒成立,
因为,所以,所以的取值范围是.
(3)分析:要证,即证,将看成数列
的前项和,于是只需证明,
即证.
令,则,只需证明,
构造函数或者利用(2)的结论即可得证.
证明:由(2)可知时,在上为增函数,
今(其中),则,
即,即,
所以
,
以上各式累加得,
所以.即:.
【点睛】第(3)问的证明用了通项比较法,点睛意到了第问的铺执与提示作用.
【例4】已知函数.
(1)求函数在上的单调区间;
(2)用表示中的最大值,为的导函数,设函数,若在上恒成立,求实数的取值范围;
(3)证明:.
【解析】(1)因为,
,令,得.
当时,单调递增;
当时,单调递减;
所以函数在上的单调递增区间为,单调减区间为.
(2)由知,
当时,恒成立,故恒成立;
当时,,又因为恒成立,
所以在上恒成立,所以,
即在上恒成立.
令,则,
由,
令得,易得在上单调递增,在上单调递减,
所以,所以,即.
综上可得.
(3)证法1:
证明:设,则,
所以在上单调递增,所以,即,
所以
所以.
证法2:
记,
则
所以为递增数列,所以,得证.
【点睛】第(3)问证法1用了不等式进行放缩;证法2用了数列的单调性.
另外,还可以利用积分放缩,请读者参考例1自行完成,此处略过.
【例5】已知函数的最小值为0,其中.
(1)求的值;
(2)若对任意的,有成立,求实数的最小值;
(3)证明:.
【解析】(1),得,得
所以时,函数取得极小值且为最小值
所以,解得.
(2)当时,取,有,故不合题意
当时,令,
即
,可得
(1)当时在上恒成立,
因此在上单调递减,从而对任意的,总有,
即对任意的,有成立;(2)当时,,对于,
因此在上单调递增,
因此取时,,即有不成立;
综上知,时对任意的,有成立,的最小值为.
(3)证明:当时,不等式左边右边,所以不等式成立;
当时,,
在中,取,得,
所以.
所以
综上
【点睛】第三问中,借助于导数证不等式的方法进行.
点睛意到在第问中,取,得,
则,
于是得到:,然
而右侧的式子显然大于2,这说明放缩过头了,于是保留第一项,从第二项开始放缩:
“留一手”是放缩中的常用技巧,有时甚至需要“留两手”或“留三手”.
【例6】已知函数.
(1)求函数的极值;
(2)(1)当时,恒成立,求正整数的最大值;
(2)证明:.
【解析】(1),
当时,,函数在上单调递增,没有极值;
当时,由得,由得,
所以在上单调递减,在上单调递增,
此时函数的极小值,没有极大值.
(2)(1)当时恒成立,即只要即可,
由时在上单调递减,在上单调递增,
(1)若时,在上单调递增,满足题意;
(2)当时,在上单调递减,在上单调递增,
,
令,则,
所以在上单调递减,
且,
所以存在使得,则的解集为.
综上,的取值范围,其中,
所以正整数的最大值3.
(2)证明:要证
两边取对数,即证
也即证
由(1)知,
令,
则
所以
所以.
【点睛】最后一问中,将目标不等式两边取自然对数,便由积式变成和式,这样就化为类型1,利用通项比较法不难获证.
【例7】已知函数.
(1)函数在定义域内恒成立,求实数的取值范围;
(2)求证:当时,.
【解析】(1)函数定义域为,
当时,,不满足题设;
当时,,
在上,单调递增,在上,,
单调递减,所以,解得.
综上:的取值范围是.
(2)证明:由(1)得,当时,当且仅当时等号成立.
所以,
所以
所以,
所以.
【点睛】第(2)问用到了对数放缩不等式:,还用到了裂项放缩.
【例8】已知函数(其中是自然对数的底数,.
(1)当时,求函数的极值;
(2)当时,求证;
(3)求证:对任意正整数,都有.
【解析】(1)当时,,
当时,;当时,;
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
所以函数在处取得极小值,函数无极大值;
(2)证明:由,
(1)当时,恒成立,满足条件;
(2)当时,由,得,
则当时,,当时,,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
所以函数在处取得最小值,因为,所以,所以,所以,
综上得,当时,;
(3)由(2)知,当时,恒成立,所以恒成立,即,所以,令,得,
,
所以.
【点睛】第(3)问用到了对数放缩不等式:,还用到了等比放缩.
【例9】已知函数.
(1)求的最大值;
(2)若对,总存在,使得成立,求实数的取值范围;
(3)证明不等式是自然对数的底数).
【解析】(1)由,得,
当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
则当时,取得最大值为.
(2)对,总存在,使得成立,
等价于:存在,使得成立.
由(1)知,,问题转化为存在,使得.
,当时,,
①当时,若单调递减,,不合题意;
②当时,,使得,
若,若时,,即当,
则,使得,符合题意;
③当时,若单调递增,,
则,使得,符合题意.
综上可知,所求实数的范围是;
(3)证明:由(2)可知,当时,若,
令.
有,再由(1)可得,,则,
即,也即,
所以,.
则.
【点睛】第(3)问用到了三角放缩不等式:,还用到了等比放缩.
递推公式中的不等问题
【例10】已知函数.
(1)求证:当时,;
(2)若数列满足,且,证明:.
【解析】(1)略;
(2)要证,即证.
如果成立,则必会有,
从而只需证明即可,
这样递推式就得以建立.接下来考虑如何去绝对值:
因为,
所以,则,
所以,则,如此继续下去,得,
从而可得,于是.
从而要证成立,
只需证明,
即证,
即证，
即.
只需证明,
即,
即证明,
即证.
分析至此,只需构造函数就可以顺利解决:
令,则,
,因为,所以,所以在上单调递增,
所以,所以在上单调递增,
所以,即,故原不等式成立.
【点睛】本题构造函数方法不唯一,如下面的过程:
令,则,所以在上单调递增,所以,即,所以,于是原不等式得证.
【例11】函数,曲线在处的切线在轴上的截距为.
(1)求;
(2)讨论的单调性;
(3)设,求证:.
【解析】在上单调递增(过程略;
(3)证明,
亦即证明.
如果成立,那么就会有,
反过来,如果我们能够证明,
也就是证明,就可以原式得以成立.
(下面我们就开始面临下一个问题:如何去绝对值 这就势必要比较与的大小,因此分类情况就会面临着三种:.)
下面分别进行讨论:
(i)时,不等式显然成立;
(ii)若,由在单调递减,
且可知,
从而式即证,
即，
亦即，
即证.
而由单调递增,且,
从而可知,
从而有成立;(iii)若时,类似可证.
【例12】函数.
(1)判断时,的零点个数,并加以说明;
(2)正项数列满足.
(1)判断数列的单调性,并加以证明;
(2)证明:.
【解析】(1)当时,.
令,则,所以在单调递增,又,所以,从而的零点个数为0.
(2)由,得,
所以
由(1)知,当时,有,即,
所以.
所以,故数列单调递减.
对于第(3)问,由于所证不等式的左侧可以视为数列的前项的和,所以我们可将视为某一个数列的前项和,即.
从而.
要证,只需证.
如果成立,则有成立,
从而要证,只需证成立即可,从而递推关系得以建立.
要证,
即证，
即证,
即证，
即证,
即证,
即证.
令,
从而,
由(1)知,从而,从而原不等式得证.
强化训练
1..已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)当时,求证:.
【解析】(1)的定义域为,
(1)当时,,所以在上递增;
(2)当时,令,则,
当时,;当时,,
所以在区间上递增,在上递减.
(2)解法1:构造函数
,
(1)当时,由在上递增,又,不符合题意;
(2)当时,由知在区间上递增,在上递减,
所以,解得:.
综上:,
所以的取值范围为.
解法2:分离参数
恒成立,等价于
设,令,
则当时,;当时,,
所以在区间上递增,在上递减;
所以,
所以:.
所以的取值范围为.
(3)证明:由(2)知,当时,恒成立,即
(1)当时,,
即,
所以,
上述不等式相加可得:,
即,
即,
(2)当时,,
即,
即,
所以,,
上述不等式相加可得:
,
即,
即,
综上:当时,
.
2.已知函数.
(1)求在点处的切线方程;
(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)求证:当时,不等式成立.
【解析】(1)切线方程为即.
(2)设,
当时,单调递增;
当时,单调递减;
因为不等式恒成立,且,
所以,所以即可,从而.
(3)由(2)可知:当时,恒成立,当且仅当时等号成立.
令,因为,
所以,
整理得,
变形得,
即.
当时,有
,
.
将上述式两边同时相加,得
.
所以当时,不等式成立.
3.已知函数.
(1)设,求的单调区间;
(2)若对,总有成立.
求的取值范围;
(ii)证明:对于任意的正整数,不等式恒成立.
【解析】(1),定义域为,
所以,
①当时,令,得;令,得;
②当时,令,得或;
令,得;
③当时,恒成立;
④当时,令,得或;
令,得;
综上：
当时,的增区间为的减区间为;
当时,的增区间为和的减区间为;
当时,的增区间为;
当时,的增区间为和的减区间为.
(2)(i)由题意,对任意恒成立,即恒成立,只需.
由第知:因为,显然当时,,此时对任意不能恒成立;
当时,,
所以;
综上,的取值范围为.
(ii)证明:由(1)知:当时,,
即,当且仅当时等号成立.
当时,可以变换为,
在上面的不等式中,令,
则有
所以不等式恒成立.
4.已知函数.
(1)若不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围;
(2)求证:(其中为自然对数的底数).
【解析】(1)实数的取值范围为(过程略);
(2)取,由(1)有,即.
又当时,,
所以.
于是,
将以上不等式累加,得,不等式得证.
5.已知函数.
(1)若,且对于任意恒成立,试确定实数的取值范围;
(2)设函数,求证:
【解析】(1)由,可知是偶函数.
于是对任意成立等价于对任意成立.
由,得.
①当时,.
此时在上单调递增.故,符合题意.
②当时,.
当变化时的变化情况如表:
0
单调递减 极小值 单调递增
由此可得,在上,.
依题意,,又,所以.
综合①,②得,实数的取值范围是.
(2)因为,
所以,
又
,
所以
,
,
.
由此得:
故成立.
6.已知函数.
(1)求证:当时,;
(2)数列满足,求证:数列单调递减,且.
【解析】第(1)问略.第(2)问,我们先用数学归纳法先证:
当时,,从而;
假设当时,,下证.
由,
从而,
由于,所以,从而.
由数学归纳法原理,知.
下证数列单调递减,
即证,
即证.
即证,
由(1)知,只需证.
而成立,从而数列单调递减.
下面证明,
只需证,
只需证,
只需证.
构造,
所以单调递增,从而,从而对恒成立.
从而.原不等式得证.
7.已知函数,正实数数列满足,且当时,求证:
(1)当时,;
(2).
【解析】(1)我们证明,当时,.
令,即,
则
由可知单调递增,从而.
由可知单调递增,于是.
由可知单调递增,因此,
即.
因为,所以.
(2)我们先对用数学归纳法证明.
①当时,,结论成立.
②假设当时,有(其中).
如果,则.
点睛意
可知,与归纳假设矛盾.
所以,当时结论也成立,即.
由①②可知,.
于是,当时,有,
令从1到求和,即得.
