第24讲 导数与三角函数
知识与方法
有关导数与三角函数交汇的试题在高考与模拟试题中频频出现.在函数与导数试题中加入三角函数,由于三角函数具有周期性,无法通过多次求导使三角函数消失,使得后续问题的处理比较困难,从而造成学生思维上的难度.可从以下几个角度来突破此类问题的难点.
1.分段讨论
(1)以为端点分区间讨论;
(2)以三角函数的最值点为端点分段讨论.
2.巧用放缩,消去三角函数
(1)正弦函数:当时,.
(2)余弦函数:.
(3)正切函数:当时,.
(4)函数值域:.
3.分离函数:将含有三角函数的式子放到一起.
4.分离参数:转化为函数值域问题.
5.半分离参数:将不等式等价转化,化为左右两边函数是一直线与一曲线,考虑端点处的切线斜率.
典型例题
【例1】已知函数,其中为实数,是自然对数的底数.
(1)若,证明:;
(2)若在上有唯一的极值点,求实数的取值范围.
【解析】(1)证明:时,,
令,则,
当时,在上为减函数,
当时,在上为增函数,
函数的极小值也是最小值为,
所以,而,所以,即.
(2)在上有唯一的极值点等价于在上有唯一的变号零点,等价于,设,
,
因为,所以,
当时,在上为减函数,
当时,在上为增函数,
所以函数的极小值也是最小值为,
又,
所以当时,方程在上有唯一的变号零点,
所以的取值范围是.
【点睛】本题的解答采用学生所熟悉的分离参数的方法,但分离参数并不意味着不需要讨论,并且本题复杂的三角函数求导也能考验考生的耐心.含有三角函数的导数问题,合理放缩和分区间讨论是常用的手段.在解决的过程中,我们借助三角函数的有界性进行了放缩.
【例2】设函数.
(1)当时,判断的单调性;
(2)若当时,不等式恒成立,求的取值范围.
【解析】(1),今,
当时,,
所以当时,单调递增;
所以,即,所以单调递增.
(2)因为当时,不等式恒成立,
所以当时,不等式恒成立,
令,所以,
因此当时,,
所以,所以单调递增,
所以,所以.
【例3】已知函数.
(1)讨论在区间上的单调性;(2)证明:;
(3)设,证明:.
【解析】(1),
当时,;当时,.
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减.
(2)因为,由知,在区间上的最大值为,最小值为.而是周期为的周期函数,故.
(3)由知,于是,
所以,.
解法2:
(1)
.
当时,;当时,;当时,0
所以在上单调递增,在上单调递减.
(2)
.
当且仅当,即时等号成立.
所以.
(3)由(2)知:
【点睛1】本题第(2)问将不等式证明的问题转化为函数的最值问题,由于三角函数的周期性,只需考虑在一个周期上的最值即可.在处理第(3)问时,借助了第(2)问的结论,利用放缩法证明了不等式.
【点睛2】在解法2中,我们用四元均值不等式进行放缩证明第(2)问,过程显得简洁、明快,要体会三角恒等式的作用.在处理第(3)问时,我们借助了第(2)问的结论,结合三角函数的有界性,利用放缩法完成了证明.
【例4】已知函数为的导数.
(1)当时,求的最小值;
(2)当时,恒成立,求的取值范围.
【解析】(1),令,则.
①当时,为增函数,;
②当时,.
故时,为增函数,故,即的最小值为1.
(2)令,
则本题即证当时,恒成立.
①当时,由(1)可知在上为增函数,
且,
故存在唯一,使得.
则当时,为减函数,
所以,此时,与恒成立矛盾.
②当时,
(i)若,则由(1)可知,,
所以为增函数,故恒成立,即恒成立;
(ii)若,则在上为增函数,
又,
,故存在唯一,使得.当时,为减函数;
当时,为增函数.
又,故存在唯一使得.
故时,为增函数;
时,为减函数.
又,
所以时,为增函数,故,
即恒成立.
综上所述,.
【例5】已知函数为的导数.证明:
(1)在区间存在唯一极大值点;
(2)有且仅有2个零点.
【解析】的定义域为,
,
令,则在恒成立,
所以在上为减函数,
又因为,
由零点存在定理可知,函数在上存在唯一的零点,结合单调性可得,
在上单调递增,在上单调递减,
可得在区间存在唯一极大值点;
(2)由知,当时,单调递增,单调递减;
当时,单调递增,单调递增;
由于在上单调递减,且,
由零点存在定理可知,函数在上存在唯一零点,结合单调性可知,
当时,单调递减,单调递增;
当时,单调递减,单调递减.
当时,,故单调递减,
其中
,.
于是可得下表:
结合单调性可知,函数在上有且只有一个零点0,由函数零点存在性定理可知,在上有且只有一个零点,
当时,,
因此函数在上无零点.
综上所述,有且仅有2个零点.
【例6】已知函数.
(1)当时,求的单调区间;
(2)当时,讨论的零点个数.
【解析】(1)因为,所以为偶函数,因此,只需研究即可.
当,且时,,
当时,单调递增;
当时,单调递减.
根据偶函数的图象关于轴对称,
从而在上单调递增,在单调递减.
所以,的单调减区间为单调增区间为.
(2).
①当时,在恒成立,
所以在上单调递增,
又,所以在上无零点.
②当时,,使得,即.
又在上单调递减,
所以时,单调递增;单调递减,
又.
(i)当,即时,在上无零点,
又是偶函数,所以在上无零点.
(ii),即时,在上有1个零点,
又为偶函数,所以在上有2个零点.
综上所述,
当时,在上有2个零点,
当时,在上没有零点.
【点睛】总体来说,对于导数与三角交汇的试题,处理的出发角度无非以下三种:
1.常见的三角不等式及一些重要不等式为此类间题的构造和放缩提供了理论依据;
2.常见的三角公式(如倍角公式、万能公式、和差化积与积化和差公式等)为此类问题的变形处理提供了指导方向;
3.三角函数的性质(有界性、周期性、单调性等)为此类问题的设计提供了空间.
【例7】已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)若在恒成立,求的取值范围.
【解析】(1),
在区间上是增函数,
在区间是减函数;
(2)解法1:分类讨论
今
则
①当时,在单调递增,
所以当时,,即成立;
②当时,令,
所以当时,,
即在上单调递增;
因此当时,,即.
于是,在时,,不合题意;
③当时,有,与题意矛盾.综上所述,所求的取值范围为.
解法2:数形结合
不等式恒成立,说明函数的图象在直线的下方.
函数的周期为,结合中的单调区间,可作出函数的图象如图所示.
点睛意到在处的切线斜率为;
直线的斜率为.
于是,对任意,当且仅当时,成立.
故的取值范围为.
强化训练
1.已知函数为自然对数的底数.
(1)当时,证明:;
(2)若函数在上存在两个极值点,求实数的取值范围.
【解析】(1)当时,,
,当时,,且,则
所以在上单调递减,;
所以,;
(2)函数在上存在两个极值点;
则在上有两个不等实数根;
即在上有两个不等实数根;
即在上有两个不等实数根;
设,则;
当时,单调递增;
当时,单调递减;
又;
故实数的取值范围为:.
2.已知函数,则的最小值是
【解析】解法1:
,
令得,即;
令得,即,
所以在上递增,
在上递减.
所以.
解法2:
所以
当且仅当即时,等号成立,
所以.
所以,此时,即.
解法3:
由于是上的奇函数,周期为,当时;当时
,于是先考虑在上的最大值,而在上是上凸的,由琴生不
等式可得,
当时等号成立.所以的最大值为,故的最小值为.
3.已知函数.
(1)若,讨论方程根的情况;
(2)若,讨论方程根的情况.
【解析】(1)解法1:
,令.
此时.
(1)若在递减,,无零点;
(2)若在递增,,无零点;
(3)若在递减,递增,其中.若,则,此时在无零点;
若,则,此时在有唯一零点;
综上所述:当或时,方程无根;
当时,方程有1个根.
解法2：
,
令,则,
当时,,所以单调递減,,
趋于0时,趋于1,故.
故当时,方程无实根;
当时,方程有一个实根;
当时,方程无实根.
(2)解法1:
由可知,,
则.
令,则
①当时,单调递减,.
故时,,方程无实数根;
②当时,则存在使得,且.
时,时,时,.
所以在时取得极小值,
在时取得极大值,
,
因为,
所以,
,故时,无实数根;
综上,若,则方程无实根.
解法2:
由可知,,
令,则.
令,则.显然在递減,递增,递减,
且,
.
所以存在,使得,
则当时,;
当时,;
当时,;
所以在递减,递增,递减.
且,
由洛必达法则:
,
,由,得.
综上所述:若,则方程无解.
4.已知函数.求证:
(1)在区间存在唯一极大值点;
(2)在上有且仅有2个零点.
【解析】(1)因为,所以,
设,则,
则当时,,所以即在上递减.
又,
且是连续函数,故在上有唯一零点.
当时,;当时,,
所以在内递增,在上递减,
故在上存在唯一极大值点.
(2)因为,所以,
设,则,
则当时,,所以在内单调递减.
由知,在内递增,在内递减,
又,所以,
又的图象连续不断,所以存在,使得;当时,在上递减,
又因为,且的图象连续不断,
所以存在,使得;
当时,,
所以,从而在上没有零点,
综上,有且仅有两个零点.
5.已知函数,其中为非零常数.
(1)若函数在上单调递增,求的取值范围;
(2)设,且,
证明:当时,函数在上恰有两个极值点.
【解析】(1).
若,因为,则,
所以在上单调递增,符合要求.
若,则当时,,
从而,
所以在上单调递减,不合要求.
综上分析,的取值范围是.
(2)令,则,即.
设,则.
(1)当时,,则,
从而,所以单调递减.
(2)当时,.
因为,则,从而单调递增.
因为
则在上有唯一零点,记为,且当时,,则单调
递减;
当时,,则单调递增.
(3)当时,.
因为,则,从而单调递减.
因为,则在内有唯一零点,
记为,且当时,单调递增;当时,单调递减.
因为,
则当时,,所以单调递增.
综上分析,在上单调递减,在上单调递增.
因为,则当时,直线与函数的图象在
上有两个交点,从而有两个变号零点,即在上恰有两个极值点.
因为,则,即.
从而.
取,则,且当时,函数在上恰有两个
极值点.
6.已知函数.
(1)判断函数在上的单调性;
(2)证明函数在内存在唯一的极值点,且.
【解析】(1)由于,得,
设,其导函数,
在区间上,单调递减,且,
所以在区间上,从而函数在上单调递减;
(2)证明:由第(1)问,
在区间上,单调递增,且,
所以存在唯一的,使得,
在区间上,单调递减,
在区间上,单调递增,
所以为函数在上的唯一极小值点,
其中,
所以,且,
由于,故.第24讲 导数与三角函数
知识与方法
有关导数与三角函数交汇的试题在高考与模拟试题中频频出现.在函数与导数试题中加入三角函数,由于三角函数具有周期性,无法通过多次求导使三角函数消失,使得后续问题的处理比较困难,从而造成学生思维上的难度.可从以下几个角度来突破此类问题的难点.
1.分段讨论
(1)以为端点分区间讨论;
(2)以三角函数的最值点为端点分段讨论.
2.巧用放缩,消去三角函数
(1)正弦函数:当时,.
(2)余弦函数:.
(3)正切函数:当时,.
(4)函数值域:.
3.分离函数:将含有三角函数的式子放到一起.
4.分离参数:转化为函数值域问题.
5.半分离参数:将不等式等价转化,化为左右两边函数是一直线与一曲线,考虑端点处的切线斜率.
典型例题
【例1】已知函数,其中为实数,是自然对数的底数.
(1)若,证明:;
(2)若在上有唯一的极值点,求实数的取值范围.
【例2】设函数.
(1)当时,判断的单调性;
(2)若当时,不等式恒成立,求的取值范围.
【例3】已知函数.
(1)讨论在区间上的单调性;(2)证明:;
(3)设,证明:.
【例4】已知函数为的导数.
(1)当时,求的最小值;
(2)当时,恒成立,求的取值范围.
【例5】已知函数为的导数.证明:
(1)在区间存在唯一极大值点;
(2)有且仅有2个零点.
【例6】已知函数.
(1)当时,求的单调区间;
(2)当时,讨论的零点个数.
【例7】已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)若在恒成立,求的取值范围.
强化训练
1.已知函数为自然对数的底数.
(1)当时,证明:;
(2)若函数在上存在两个极值点,求实数的取值范围.
2.已知函数,则的最小值是
3.已知函数.
(1)若,讨论方程根的情况;
(2)若,讨论方程根的情况.
4.已知函数.求证:
(1)在区间存在唯一极大值点;
(2)在上有且仅有2个零点.
5.已知函数,其中为非零常数.
(1)若函数在上单调递增,求的取值范围;
(2)设,且,
证明:当时,函数在上恰有两个极值点.
6.已知函数.
(1)判断函数在上的单调性;
(2)证明函数在内存在唯一的极值点,且.
