27讲 导函数的混合还原
知识与方法
对于一个含有函数与其导函数混合的不等式,多数同学对其意义感到困惑,导致解题思路受阻.解决此类问题,需要构造新函数,并根据题意判断新函数的导数符号,进而利用其单调性加以解决.因此,正确还原出原函数(即新函数),便成为破题的关键.本讲对这类问题进行梳理.对于含有与混合的不等式,构造新函数的类型可分成如下几类:
1.基础构造
(1)对于结构,构造函数;
(2)对于结构,构造函数;
(3)对于结构式,构造函数;
(4)对于结构,构造函数
2.变形构造
(1)函数与乘除组合:
(1)对于,构造函数;
(2)对于,构造函数.
(3)一般地,对于,够着函数(为常数)
(2)函数与乘除组合:
(1)对于,构造函数;
(2)对于,构造函数;
(3)一般地,对于,够着函数(为常数)
(3)函数发与乘除复合:
对于,分类讨论:
(1)若,则构造;
(2)若,则构造.
(4)函数与或的乘除组合:
(1)对于,构造原函数;
(2)对于,构造原函数;
(3)对于,构造原函数;
(4)对于,构造原函数.
典型例题
逆用则
【例1】已知分别是定义在上的奇函数和偶函数,当时,,且,则不等式的解集为 （)
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】设,因为当时,
所以当时,,即函数在单调递减,
又因为分别是定义在上的奇函数和偶函数,
所以函数为上的奇函数,则函数在单调递减,
因为,所以,所以函数的大致图象如下:
所以等式的解集为,故选.
【例2】 (多选)定义在上的函数的导函数为且,则对任意,其中,则下列不等式中一定成立的有（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
【解析】构造函数,则,
所以在单调递減,故,
即
化简得,所以正确;
由于,故,即,故正确;
由于,
同理,相加得,故正确;
取,符合题意,但,所以不成立;
综上一定成立的有:.
方塞型
【例3】已知定义在上的函数满足,则下列不
等式中一定成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】令,则.
因为当时,,
此时,于是在上单调递增,
所以,
即,故,故选:.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小.
构造函数,由可得在上单调递增,由此得,从而可得结论.
联系已知条件和结论,准确构造出符合题意的函数是解题的关键;解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数,构造函数时往往从两方面着手:
(1)根据导函数的“形状”变换不等式“形状”;
(2)若是选择题,也可寻找符合题设的特殊函数.
【例4】设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有
0,则不等式的解集是 .
【答案】
【解析】根据题意,令,
所以
因为时,,所以,
所以在上单调递增;
又不等式
可化为,
即,所以;
解得,
所以该不等式的解集是.
故答案为:(-2022,-2019).
【点睛】本题根据题意,构造函数,利用导数判断的单调性,再把不等式化为,利用单调性求出不等式的解集.
指数型
【例5】定义在上的函数满足:是的导函数,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】由知,构造函数,则,所以在上单调递增.而可化为:,即,所以,选.
【例6】已知函数是函数的导函数,(其中为自然对数的底数),对任意实数,都有,则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令,则,故在上单调递增,而,不等式,化为,
即,故,不等式的解集为,故选.
【例7】已知定义域为的函数的导函数为,且满足,若,则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】
【解析】设,则,因为,所以,
即函数在定义域上单调递增,因为,所以,
所以不等式等价于不等式,即,解得,故不等式的解集为,故选.
【点睛】求解这类问题要通过对问题的条件和结论进行对比、概括,准确构造出符合题意的函数是解题的关键;求解这类不等式的关键点和难点就是构造函数.
对数型
【例8】已知定义在上的函数满足且,其中是函数的导函数,是自然对数的底数,则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】
【解析】因为定义在上的函数满足,设,
则在恒成立,
所以在单调递减,又
所以,
要求,因为,所以只需即可,即,
所以,
故选:.
【点睛】本题由已知条件构造函数,求导,根据已知求得函数的单调区间,
结合原函数的性质和函数值,即可的解集.
【例9】设函数是定义在区间上的函数,是函数的导函数,且,则不等式的解集是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】依题意,,即,
构造函数,则,故函数在上单调递增.
又,不等式即,
即，
根据的定义域及单调性,可得,解得,不等式的解集为.故答案为:.
【点睛】本题通过构造函数,对求导,得到函数的单调性,进而得到解集,要点睛意考虑函数的定义域.
三角函数型
【例10】设函数在上的存在导数为,当时,且,有,则以下大小关系一定正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】令,所以,
当时,,所以在上单调递减;
所以
所以
所以
所以,,
又所以,
所以答案为:.
综合应用型
【例11】设函数满足,则时,
A.有极大值,无极小值
B.有极小值,无极大值
C.既有极大值又有极小值
D.既无极大值也无极小值
【答案】
【解析】,且有
令,则
当时,在上单调递增;
当时,在上单调递减;
又,所以当时,函数在处取得最小值0,
即当时,,所以在时恒成立,所以在时无极值,故选.
【例12】设函数在上存在导函数,对任意的实数都有,当0时,.若,则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设,
则,
所以,所以是偶函数,
当时,,
而,则,
所以在上是增函数,
因为,所以,
故选:.
【例13】设函数在上存在导数,对于任意的实数,有;当时,.若,则实数的取值范围是.
【答案】
【解析】解法:特殊函数法
取函数满足题设条件,
因为对称轴为,所以,
所以原不等式等价于,所以.
解析2:构造函数法
因为时,(1)
构造函数,因为,
所以,
所以为奇函数.
由(1)式可得在上单调递减,所以在上也单调递减,在上可导可得在上是连续函数,所以在上单调递减.
于是,所以,即,所以的取值范围是.
强化训练
1.设分别是定义在上的奇函数和偶函数,当时,满足,且,则不等式的解集是
A.
B.
C.
D.
【答案】
【解析】令,则,因此是
奇函数.(1)因为当时,,所以在
上单调递增.因为,所以不等式等价于,所以.(2)当时,函数在上是奇函数,可知在上
单调递增,且,所以解集为.综上所述,不等式的解集是.
故选:.
2.已知是定义在上的函数,为的导函数,且满足,则下列结论中正确的是
A.恒成立
B.恒成立
C.
D.当时,;当时,
【答案】
【解析】设,所以,
所以函数在上单调递增,
又因为,所以时,时,,
所以时,,所以;
所以时,,所以.
所以恒成立.
故答案为:
3.已知定义域为的偶函数的导函数为,对任意,均满足:.若,则不等式的解集是
【答案】
【解析】因为是上的偶函数,所以是上的偶函数,
因为对任意,所以
所以
所以在上单调递增,
不等式,
所以,即,即,即,
解得,解集为.
4.若是定义在上的可导函数,且,对恒成立.当时,有如下结论:
(1),(2),(3),(4),
其中一定成立的是
【答案】(1)
【解析】由得,
即,所以,
所以在和单调递增,因为,所以,因为,所以在不等式两边同时乘以,得(1)正确,(2)(3)(4)错误.
5.已知函数的定义域是,对任意,则不等式.的解集为 .
【答案】
【解析】构造函数,因为,所以为上的增函数.又因为,所以原不等式转化为,解得.
6.定义在上的函数的导函数为,若对任意,都有,则使得成立的的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】
【解析】构造函数:.
因为对任意,都有,
所以,
所以函数在单调递减,
由化为:,则.
所以使得成立的的取值范围为.
故选:.
7.已知函数的导函数满足对恒成立,则下列不等式中一定成立的是
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】令,
由对恒成立,得,
所以,
故在递减;则,即,所以.
故选:.
8.定义在上的函数是它的导函数,且恒有成立,则
A.
B.
C.
D.
【答案】
【解析】因为,所以,
由,得.
即,构造函数,
则,
所以函数在上单调递减,
所以,即,
故选:.
9.已知函数的定义域为是的导函数,若,则关于的不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】构造函数,因为,所以在单调递减,
即,所以.故选.
10.已知定义在上的连续函数满足:,且,则函数
A.有极小值,无极大值
B.有极大值,无极小值
C.既有极小值又有极大值
D.既无极小值也无极小值
【答案】A
【解析】令,则,所以在上单调递增,由于,变形得:
所以在上单调递增,考虑到
所以在有且仅有一个零点,
即在上单调递增,且仅有一个零点,
所以由极值的定义得:有极小值,无极大值.故选.
11.设函数是函数的导函数,若,且当时,,则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】
【解析】令,
又当时,,即,
所以在上为增函数.
由，可得，故为偶函数，
不等式化为，
所以，所以由函数单调性可知：，解得，
故选：．
12.设是定义在上的函数，对任意的，恒有成立，函数满足，则是_______(选填：“奇函数”、偶函数”、“非奇非偶函数”、“既奇又偶函数”)，若在上单调递增，且，则实数的取值范围是__________．
【答案】奇函数；．
【解析】根据题意，，其定义域为，则，
则有，则函数为奇函数，
对于，在上单调递增，
而在上单调递增，则在上单调递增，
而函数为奇函数，则在区间上也为增函数，
综上可得：在上为增函数，
，
即，则有，解得，
即实数的取值范围是．
故答案为：奇函数，．27讲 导函数的混合还原
知识与方法
对于一个含有函数与其导函数混合的不等式,多数同学对其意义感到困惑,导致解题思路受阻.解决此类问题,需要构造新函数,并根据题意判断新函数的导数符号,进而利用其单调性加以解决.因此,正确还原出原函数(即新函数),便成为破题的关键.本讲对这类问题进行梳理.对于含有与混合的不等式,构造新函数的类型可分成如下几类:
1.基础构造
(1)对于结构,构造函数;
(2)对于结构,构造函数;
(3)对于结构式,构造函数;
(4)对于结构,构造函数
2.变形构造
(1)函数与乘除组合:
(1)对于,构造函数;
(2)对于,构造函数.
(3)一般地,对于,够着函数(为常数)
(2)函数与乘除组合:
(1)对于,构造函数;
(2)对于,构造函数;
(3)一般地,对于,够着函数(为常数)
(3)函数发与乘除复合:
对于,分类讨论:
(1)若,则构造;
(2)若,则构造.
(4)函数与或的乘除组合:
(1)对于,构造原函数;
(2)对于,构造原函数;
(3)对于,构造原函数;
(4)对于,构造原函数.
典型例题
逆用则
【例1】已知分别是定义在上的奇函数和偶函数,当时,,且,则不等式的解集为 （)
A. B.
C. D.
【例2】 (多选)定义在上的函数的导函数为且,则对任意,其中,则下列不等式中一定成立的有（）
A.
B.
C.
D.
方塞型
【例3】已知定义在上的函数满足,则下列不
等式中一定成立的是（）
A. B.
C. D.
【例4】设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有
0,则不等式的解集是 .
指数型
【例5】定义在上的函数满足:是的导函数,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为（）
A. B.
C. D.
【例6】已知函数是函数的导函数,(其中为自然对数的底数),对任意实数,都有,则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【例7】已知定义域为的函数的导函数为,且满足,若,则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
对数型
【例8】已知定义在上的函数满足且,其中是函数的导函数,是自然对数的底数,则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【例9】设函数是定义在区间上的函数,是函数的导函数,且,则不等式的解集是
A. B. C. D.
【答案】C
三角函数型
【例10】设函数在上的存在导数为,当时,且,有,则以下大小关系一定正确的是（）
A. B.
C. D.
综合应用型
【例11】设函数满足,则时,
A.有极大值,无极小值
B.有极小值,无极大值
C.既有极大值又有极小值
D.既无极大值也无极小值
【例12】设函数在上存在导函数,对任意的实数都有,当0时,.若,则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
【例13】设函数在上存在导数,对于任意的实数,有;当时,.若,则实数的取值范围是.
强化训练
1.设分别是定义在上的奇函数和偶函数,当时,满足,且,则不等式的解集是
A.
B.
C.
D.
2.已知是定义在上的函数,为的导函数,且满足,则下列结论中正确的是
A.恒成立
B.恒成立
C.
D.当时,;当时,
3.已知定义域为的偶函数的导函数为,对任意,均满足:.若,则不等式的解集是 .
4.若是定义在上的可导函数,且,对恒成立.当时,有如下结论:
(1),(2),(3),(4),
其中一定成立的是（）
5.已知函数的定义域是,对任意,则不等式.的解集为 .
6.定义在上的函数的导函数为,若对任意,都有,则使得成立的的取值范围为
A. B. C. D.
7.已知函数的导函数满足对恒成立,则下列不等式中一定成立的是
A. B.
C. D.
8.定义在上的函数是它的导函数,且恒有成立,则
A.
B.
C.
D.
9.已知函数的定义域为是的导函数,若,则关于的不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
10.已知定义在上的连续函数满足:,且,则函数
A.有极小值,无极大值
B.有极大值,无极小值
C.既有极小值又有极大值
D.既无极小值也无极小值
11.设函数是函数的导函数,若,且当时,,则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
12.设是定义在上的函数，对任意的，恒有成立，函数满足，则是_______(选填：“奇函数”、偶函数”、“非奇非偶函数”、“既奇又偶函数”)，若在上单调递增，且，则实数的取值范围是__________．
