第23讲 导数与三次函数
知识与方法
三次函数在高中数学教材中没有作专门的介绍，然而，关于三次函数的问题在高考、强基和模拟试题中经常出现，它是高考考查的一个十分重要的函数．熟悉三次函数的图象和性质，有助于我们了解此类问题的命题背景，在解决问题中做到游刃有余．
本节我们对三次函数的图象、性质及应用作一个系统的梳理．
1．单调性
对于三次函数，其导函数，判别式．
(1)若，则在上为增函数；
(2)若，令，则此方程有两个不等实根，不妨设，则在和上为增函数，在上为减函数．
2．图象
下图中，为函数的两个极值点，为二阶导数的零点．
3．极值
由(1)可得以下结论：三次函数，
(1)若，则在上无极值；
(2)若，则在上有两个极值；
且在处取得极大值，在处取得极小值．
4．零点个数
对于三次函数，
(1)若，则方程恰有一个实根，函数恰有一个零点；
(2)若，且，则方程恰有一个实根，函数恰有一个零点；
(3)若，且，则方程有两个不等实根，函数有两个零点；
(4)若，且，则方程有三个不等实根，函数有三个零点．
【点睛】若方程的解为，
则有
右边展开，再比较系数可得：
这个结论叫做三次方程的韦达定理．
5．对称性
定理：三次函数的图象关于点对称．
证法1：
点睛意到可化为：
．
令，则，
易知是奇函数，其图象关于原点对称，所以图象关于点对称．
证法2：
设的图象关于点对称，
取图象上任一点，
则关于的对称点也在图象上，
所以，
所以
与比较系数，
可得解得
故图象关于点对称．
【点睛】事实上，，令．结论说明：任意一个三次函数都有对称中心，且对称中心横坐标就是导函数的对称轴，又是两个极值点的中点，也是二阶导数的零点(拐点就是对称中心)．
6．三次函数解析式
(1)一般形式：．
(2)已知函数图象的对称中心为，则．
(3)已知函数图象与轴的三个交点的横坐标，则．
(4)已知函数图象与轴的一个交点的横坐标为，则．
7．切割线性质
定理：如图所示，点是函数图象上任意一点(非对称中心)，过作切线和割线均在的图象上，则成等差数列，即．
【证明】设①
直线②
直线③
联立(1)(2)，得
由韦达定理得：④
联立(1)(3)，可得
同理，可得：⑤
由(4)(5)得：，即，
故成等差数列，且．
推论1：如左下图所示，设是图象上任意一点(非对称中心)，过点作函数图象的两条切线，切点分别为，则成等差数列，即．
推论2：如右上图所示，为函数的两个极值点，方程的两根为为图象的对称中心，则成等差数列，即区间被和三等分．
对于方程也有类似的结论，证明过程请读者自行完成．
典型例题
三次函数图象的对称性
【例1】给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．若函数，则（ ）
A． C.8084 D．8088
【解析】因为函数，则，
令，解得，且，
由题意可知，的拐点为，故的对称中心为，
所以，
令，
则，
两式相加，得．
所以．故选：．
【例2】已知直线与曲线相交，交点依次为，且，则直线的方程为（ ）
A．
【解析】解法1：因为，
所以曲线可以看成是曲线右移2个单位、上移1个单位而得．
由于函数是奇函数，故其图象关于原点对称，
因此曲线关于点对称．
由已知，易知点关于点中心对称，
由此可得点一定为曲线的对称中心，即．
设直线的方程为，可知点在直线上，则．
已知，则，
此时，直线的方程为，
故答案选：．
解法2：
由可知，
曲线的对称中心为，即．
直线过，设其方程为，
与三次函数联立
得，
设，则，
所以，解得．
故直线的方程为，即．
解法3：
，
因此可以将原函数平移为：，
设平移后的直线及对应点仍然用原来字母表示，
由，可以知过原点，即．
不妨设，由，
由，解得．
因此原题中的方程为：，即．
三次函数切线问题
【例3】已知函数．(1)求在区间上的最大值；
(2)若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围；
(3)问过点分别存在几条直线与曲线相切 只需写出结论）
【解析】(1)由，得．
令，得或．
因为，
所以在区间上的最大值为．
(2)解法1：
设过点的直线与曲线相切于点，
则，且切线斜率为，
所以切线方程为，
因此．整理，得．
设，则“过点存在3条直线与曲线相切”
等价于“有3个不同的零点”．
，令，得或．
当变化时，的变化情况如下表：
0 1
0 0
所以，是的极大值，是的极小值．
当，即时，
在区间和上分别至多有1个零点，所以至多有两个零点；
当，即时，
在区间和上分别至多有1个零点，所以至多有两个零点；
当且，即时，因为，
所以分别在区间和上恰有1个零点．
由于在区间和上单调，
所以分别在区间和上恰有1个零点．
综上可知，当过点存在3条直线与曲线相切时，的取值范围是．
解法2：
设过点的直线与曲线相切，且切点横坐标为，
则切线方程为，切线过点，
故，即，
令，
于是函数在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，
因为直线与函数的图象有三个不同的公共点，
所以的取值范围为，即．
(3)过点存在3条直线与曲线相切；
过点存在2条直线与曲线相切；
过点存在1条直线与曲线相切．
【点睛】本题主要考查函数与方程：(1)通过导数求得最值；（2）把过的直线与曲线相切转化为函数的零点问题，再分类讨论；(3)画出函数图象，找出顶点，根据函数单调性画出草图，再根据给出的三个点的位置即可判断出切线条数．
一般地，如图所示，设三次函数图象在其对称中心处的切线为，则坐标平面被切线和函数的图象分割为I，II，III，IV四个区域，则有以下结论：
(1)过区域II，III内的点或对称中心作的切线，有且仅有1条；
(2)过切线或函数图象上的点(对称中心除外)作的切线，有且仅有2条；
(3)过区域I，IV内的点作的切线，有且仅有3条．
【例4】已知函数，其中为常数．
(1)当时，若函数在上的最小值为，求的值；
(2)讨论函数在区间上的单调性；
(3)若曲线上存在一点，使得曲线在点处的切线与经过点的另一条切线互相垂直，求的取值范围．
【解析】(1)当时，，
当时，，所以在上单调递减，
由，即，解得．
(2)的图象是开口向上的拋物线，其对称轴为，
因为有两个不等实根，
(1)当方程在区间上无实根时，有解得．
(2)当方程在区间上只有一个实根时，
有或解得．
(3)当方程在区间上有两个实根时，有解得．
综上：
当时，在区间上是单调增函数；
当时，在区间上是单调减函数，
在区间上是单调增函数；
当时，在区间上是单调增函数，
在区间上是单调减函数．
(3)设，则点处的切线斜率，
又设过点的切线与曲线相切于点，
则点处的切线方程为，
所以，化简得．
因为两条切线相互垂直，
所以，
即．
令，
则关于的方程在上有解，
所以(当且仅当时取等号)，解得，
故的取值范围是．
三次函数的零点问题
【例5】已知函数．
(1)若，且在内有且只有一个零点，求的值；
(2)若，且有三个不同的零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列 若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
(3)若，试讨论是否存在，使得．
【解析】1，函数，
令，可得或，因为时，，
由三次函数的图象可知，在内没有零点，
所以在内有且只有一个零点，可得，
可得，解得．
(2)，当时，，此时不存在三个相异零点；
当时，函数，
有两个根，，
要使有三个不同零点，则极大值与极小值乘积小于0，
即，
不妨设的三个零点为，且，
则，
(1)，
(2)，
(3)
(2)(1)得，
因为，所以(4)，
同理(5)，
(5)－(4)得，
因为，所以，
又，所以，
所以，即，
即，
因为函数的极小值为：
，
函数的极大值为：
所以，存在实数满足条件．
(3)因为
所以若存在，使得，即，
则关于的方程在内必有实数解．
因为，所以，
方程的两根为，即，
因为，所以，
依题意有，且，
即，且，
所以，且，
得，且．
综上所述，
当时，
存在唯一的，使得成立；
当时，
不存在，使得成立．
【例6】设函数为的导函数．
(1)若，求的值；
(2)若，且和的零点均在集合中，求的极小值；
(3)若，且的极大值为，求证：．
【解析】(1)因为，所以，
因为，所以，解得．
(2)，设．
今，解得，或．
．
令，解得，或．
因为和的零点均在集合中，
若，则，舍去．
若，则，舍去．
若，则，舍去．．
若，则，舍去．
若，则，舍去．
若，则，
因此，
可得：
，令得或．
当变化时，的变化情况如下表：
1
0 0
极大值 极小值
当时，函数取得极小值，且极小值为．
(3)因为，所以，
，
，
今 ，
解得：．
所以，
可得时，取得极大值为，即，
因为，
令，可得．
，
令，因为，
所以函数在上单调递减，
而，所以，所以．
所以数在上单调递增，所以．
【例7】已知函数．
(1)当时，求函数的单调减区间；
(2)若函数存在极值点，且，其中，求证：；
(3)用表示中的最小值，记函数，若函数有且仅有三个不同的零点，求实数的取值范围．
【解析】(1)当时，，所以，
令得，，所以函数的单调递减区间为；
(2)因为，所以，
因为函数存在极值点，所以，
令得，，不妨设，则，
因为，其中，
所以，即，
又因为，所以，即，
分解因式得，
又因为，所以；
(3)(1)当时，，
所以，故函数在时无零点；
(2)当时，，
若，则，所以，故是函数的一个零点；
若，则，所以，故不是函数的一个零点；
(3)当时，，因此只需考虑在内的零点个数即可，，令得，
(i)当时，，所以在上单调递增，而，
所以在上恒成立，所以函数在内无零点，
(ii)当时，，所以在上单调递减，而，
所以函数在上有1个零点，
(iii)当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
若，即时，在内无零点；
若，即时，在内有唯一零点；
若，即时，由，
当时，在内有2个零点；
当时，在内有1个零，点．
综上所述，当时，函数有3个零点．
极值与最值问题
【例8】已知函数有两个极值点，若过两点的直线与轴的交点在曲线上，求实数的值．
【解析】，
由题设可知，为方程的两根，故有，
即，且．
因此
．
同理，．
记，则
因此，直线的方程为．
设直线与轴的交点为，得．
而，
由题设知，点在曲线上，故，解得或或．
【点睛】本题在找到极值点与参数之间的联系，利用它不断地把零点的次数降到1次为止，得到同构式，则直接就可以得到的方程为．
【例9】已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1 若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由．
【解析】的定义域为．
令，解得，或．
(1)当时，，函数在上单调递增．
(2)当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
(3)当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
(2)由(1)可得：
(1)当时，函数在上单调递增．
则，解得，满足条件．
(2)当时，函数在上单调递减．
当，即时，函数在上单调递减，
则解得满足题意．
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增．
则的最小值，化简得．
而，所以的最大值为或．
若解得，矛盾，舍去．
若解得或0，矛盾，舍去．
综上可得：存在或满足条件．
【例10】在上定义运算：是常数，
已知．
(1)如果函数在处有极值，试确定的值；
(2)求曲线上斜率为的切线与该曲线的公共点；
(3)记的最大值为，若对任意的恒成立，试求的取值范围．(参考公式：)
【解析】(1)依题意，
解，得或
若，
在上单调递减，在处无极值；
若，直接讨论知，
在处有极大值，所以即为所求．
(2)解得或，切点分别为，
相应的切线为或．
解，得或；
解，即，得或．
综合可知：
当时，斜率为的切线只有一条，与曲线的公共点只有；
当时，斜率为的切线有两条，与曲线的公共点分别为和．
(3)．若，则在是单调函数，
，
因为与之差的绝对值，所以．
若在取极值，
则．
若，
；
若，
．
当时，在上的最大值．
所以，的取值范围是．
强化训练
1.．已知函数．
(1)求的极大值点；
(2)当时，若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围．
【解析】(1)，
令，得或，
若，则当时，；
当时，，故在上单调递增，在上单调递减，
此时的极大值点为；
若，则当时，；
当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
此时的极大值点为；
若在上单调递增，无极值．
(2)设过点的直线与曲线相切于点，
则，且切线斜率，
所以切线方程为，
因此，整理得，
构造函数
则“若过点存在3条直线与曲线相切”
等价于“有三个不同的零点”，
与的关系如下表：
1
0 0
极大值 极小值
所以的极大值为，极小值为，
又当时，当时，
要使有三个解，只需，解得，
因此，当过点存在3条直线与曲线相切时，的取值范围是
2．设函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线斜率；
(2)已知函数有三个互不相同的零点，且．若对任意的恒成立，求的取值范围．
【解析】(1)时，．
所以当时，曲线在点处的切线銈率．
(2)由题设,,
所以方程有两个相异的实根,
故,且,
因为,解得,
因为,所以,故.
①当时,,而,不符合题意;
②当时,对任意的,都有,
则,
又,所以在上的最小值为0,
于是对任意的恒成立的充要条件是,解得
又因为,故的取值范围是.
3.设函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)设,若函数有三个不同零点,求的取值范围;
(3)求证:是有三个不同零点的必要而不充分条件.
【解析】(1)函数的导数为,
可得在点处的切线斜率为,
切点为,可得切线的方程为;
(2)设,即有,
由,可得,
由的导数,
当或时,递增;
当时,递减.
即有在处取得极大值,且为0;
在处取得极小值,且为.
由函数有三个不同零点,可得,解得,
则的取值范围是;
(3)证法1:
若有三个不同零点,令,可得的图象与轴有三个不同的交点.即有有3个单调区间,即为导数的图象与轴有两个交点,可得,即,即为;
若,即有导数的图象与轴有两个交点,
当时,满足,
即有,图象与轴交于,则的零点为2个.
故是有三个不同零点的必要而不充分条件.
证法2:
必要性:若连续函数有三个零点,那么的单调性变化至少两次,其导数有两个零点,从而,即;
非充分性:取,导数为,于是其极大值,极小值,所以只有一个零点.
4.已知函数.
(1)若函数有三个零点分别为,且,求函数的单调区间;
(2)若,证明:函数在区间内一定有极值点;
(3)在(2)的条件下,若函数的两个极值点之间的距离不小于,求的取值范围.
【解析】(1)因为函数,
又,则
因为是方程的两根,
则,得,
所以.
令解得:
故的单调递减区间是,单调递增区间是.
(2)因为,
所以,即.又,所以,即.
于是.
(1)当时,因为,而在区间内连续,
则在区间内至少有一个零点,
设为,则当时,单调递增,
在当时,单调递减,
故函数在区间内有极大值点;
(2)当时,因为,
则在区间内至少有一个零点.
同理可得函数在区间内有极小值点.
综上,函数在区间内一定有极值点.
(3)设是函数的两个极值点,
则也是导函数的两个零点,
由得,则.
所以
由已知,,则两边平方得,
所以,或,
即,或.
又,
所以,
即.
因为,所以.
综上分析,的取值范围是.第23讲 导数与三次函数
知识与方法
三次函数在高中数学教材中没有作专门的介绍，然而，关于三次函数的问题在高考、强基和模拟试题中经常出现，它是高考考查的一个十分重要的函数．熟悉三次函数的图象和性质，有助于我们了解此类问题的命题背景，在解决问题中做到游刃有余．
本节我们对三次函数的图象、性质及应用作一个系统的梳理．
1．单调性
对于三次函数，其导函数，判别式．
(1)若，则在上为增函数；
(2)若，令，则此方程有两个不等实根，不妨设，则在和上为增函数，在上为减函数．
2．图象
下图中，为函数的两个极值点，为二阶导数的零点．
3．极值
由(1)可得以下结论：三次函数，
(1)若，则在上无极值；
(2)若，则在上有两个极值；
且在处取得极大值，在处取得极小值．
4．零点个数
对于三次函数，
(1)若，则方程恰有一个实根，函数恰有一个零点；
(2)若，且，则方程恰有一个实根，函数恰有一个零点；
(3)若，且，则方程有两个不等实根，函数有两个零点；
(4)若，且，则方程有三个不等实根，函数有三个零点．
【点睛】若方程的解为，
则有
右边展开，再比较系数可得：
这个结论叫做三次方程的韦达定理．
5．对称性
定理：三次函数的图象关于点对称．
证法1：
点睛意到可化为：
．
令，则，
易知是奇函数，其图象关于原点对称，所以图象关于点对称．
证法2：
设的图象关于点对称，
取图象上任一点，
则关于的对称点也在图象上，
所以，
所以
与比较系数，
可得解得
故图象关于点对称．
【点睛】事实上，，令．结论说明：任意一个三次函数都有对称中心，且对称中心横坐标就是导函数的对称轴，又是两个极值点的中点，也是二阶导数的零点(拐点就是对称中心)．
6．三次函数解析式
(1)一般形式：．
(2)已知函数图象的对称中心为，则．
(3)已知函数图象与轴的三个交点的横坐标，则．
(4)已知函数图象与轴的一个交点的横坐标为，则．
7．切割线性质
定理：如图所示，点是函数图象上任意一点(非对称中心)，过作切线和割线均在的图象上，则成等差数列，即．
【证明】设①
直线②
直线③
联立(1)(2)，得
由韦达定理得：④
联立(1)(3)，可得
同理，可得：⑤
由(4)(5)得：，即，
故成等差数列，且．
推论1：如左下图所示，设是图象上任意一点(非对称中心)，过点作函数图象的两条切线，切点分别为，则成等差数列，即．
推论2：如右上图所示，为函数的两个极值点，方程的两根为为图象的对称中心，则成等差数列，即区间被和三等分．
对于方程也有类似的结论，证明过程请读者自行完成．
典型例题
三次函数图象的对称性
【例1】给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．若函数，则（ ）
A． C.8084 D．8088
【例2】已知直线与曲线相交，交点依次为，且，则直线的方程为（ ）
A．
三次函数切线问题
【例3】已知函数．(1)求在区间上的最大值；
(2)若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围；
(3)问过点分别存在几条直线与曲线相切 只需写出结论）
【例4】已知函数，其中为常数．
(1)当时，若函数在上的最小值为，求的值；
(2)讨论函数在区间上的单调性；
(3)若曲线上存在一点，使得曲线在点处的切线与经过点的另一条切线互相垂直，求的取值范围．
三次函数的零点问题
【例5】已知函数．
(1)若，且在内有且只有一个零点，求的值；
(2)若，且有三个不同的零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列 若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
(3)若，试讨论是否存在，使得．
【例6】设函数为的导函数．
(1)若，求的值；
(2)若，且和的零点均在集合中，求的极小值；
(3)若，且的极大值为，求证：．
【例7】已知函数．
(1)当时，求函数的单调减区间；
(2)若函数存在极值点，且，其中，求证：；
(3)用表示中的最小值，记函数，若函数有且仅有三个不同的零点，求实数的取值范围．
极值与最值问题
【例8】已知函数有两个极值点，若过两点的直线与轴的交点在曲线上，求实数的值．
【例9】已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1 若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由．
【例10】在上定义运算：是常数，
已知．
(1)如果函数在处有极值，试确定的值；
(2)求曲线上斜率为的切线与该曲线的公共点；
(3)记的最大值为，若对任意的恒成立，试求的取值范围．(参考公式：)
强化训练
1.．已知函数．
(1)求的极大值点；
(2)当时，若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围．
2．设函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线斜率；
(2)已知函数有三个互不相同的零点，且．若对任意的恒成立，求的取值范围．
3.设函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)设,若函数有三个不同零点,求的取值范围;
(3)求证:是有三个不同零点的必要而不充分条件.
4.已知函数.
(1)若函数有三个零点分别为,且,求函数的单调区间;
(2)若,证明:函数在区间内一定有极值点;
(3)在(2)的条件下,若函数的两个极值点之间的距离不小于,求的取值范围.
