北师大版初中数学九年级下册期末测试卷（困难）（含解析）

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北师大版初中数学九年级下册期末测试卷（困难）（含答案解析）
考试范围：全册；   考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，双曲线与矩形的边、分别交于点、，且与矩形的对角线交于点，连接，与对角线交于点，是对角线上的一点，连接、若，，，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
2. 如图，在正方形中，，分别为、的中点，连接，交于点，将沿对折，得到，延长交延长线于点，有下列结论：；；；其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
3. 如图，抛物线与直线经过点，且相交于另一点，抛物线与轴交于点，与轴交于另一点，过点的直线交抛物线于点，且轴，连接，当点在线段上移动时不与、重合，下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 四边形的最大面积为
4. 已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：
抛物线过原点；
；
；
抛物线的顶点坐标为；
当时，随增大而增大．
其中结论正确的是( )
A. B. C. D.
5. 已知抛物线，当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，则的取值范围是( )
A. 或 B. 或
C. D.
6. 如图，正方形中，为边上一点，连接，，垂足为点，交于点，点、关于对称，延长交边于点下列结论：；；；的最大值为正确的结论个数为 ( )
A. B. C. D.
7. 在同一平面内，若与的两边分别垂直，且比的倍少，则的度数为( )
A. B. C. 或 D. 或
8. 如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点当点在上运动时，所有这样的点组成的图形与直线有且只有一个公共点，则的值为( )
A. B. C. D.
9. 在中，，都是锐角，且，，此三角形是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
10. 如图，正方形的对角线，相交于点，点是上一点，交于点，连接，交于点，连接则下列结论：；；；若：，，则；四边形的面积是正方形面积的其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
11. 如图，二次函数图象的对称轴为直线，下列结论：若图象经过点，方程的两根为，，则其中结论正确的有个．( )
A. B. C. D.
12. 如图，在中，，，，与关于对称，点、分别是边、上的任意一点，且，、相交于点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 如图，正方形的边长为，点，分别在线段，上，且，，若点，分别在线段，上运动，为线段上的点，在运动过程中，始终保持，则线段的最小值为 ．
14. 如图，为的直径，弦，垂足为，，，，则弦的长度为______．
15. 如图，已知在平行四边形中，，，，点是边上一点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，如果点恰好落在平行四边形的边上，那么的值是______ ．
16. 如图是一个高脚杯截面图，杯体呈抛物线状杯体厚度不计，点是抛物线的顶点，，，点是的中点，当高脚杯中装满液体时，液面，此时最大深度液面到最低点的距离为以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式 ；将高脚杯绕点缓缓倾斜倒出部分液体，当时停止，此时液面为，此时杯体内液体的最大深度为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图所示，某人为了测量小山顶上的塔的高，他在山下的点处测得塔尖点的仰角为，再沿方向前进到达山脚点，测得塔尖点的仰角为，塔底点的仰角为，求塔的高度结果保留根号
18. 本小题分
如图，在中，，，点为边上的动点点不与点、重合以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接．
求证：∽；
当时如图，求的长；
点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
19. 本小题分
某文具店购进一批纪念册，每本进价为元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于元且不高于元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量本与每本纪念册的售价元之间满足一次函数关系：当销售单价为元时，销售量为本当销售单价为元时，销售量为本．
求出与的函数关系式
当文具店每周销售这种纪念册获得元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元
设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大最大利润是多少
20. 本小题分
如图在平面直角坐标系中抛物线与轴交于、两点，与轴交于点点的坐标为，点的坐标为已知点是线段上的动点点不与点，重合过点作轴交抛物线于点，交于点．
求该抛物线的表达式
是否存在这样的，使得与相似若存在，求出此时的值：若不存在，请说明理由
若，请求出的值
点是抛物线对称轴上上一动点，点是抛物线上的动点，在运动过程中，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形若不存在，请说明理由若存在，请直接写出点的坐标．
21. 本小题分
如图，是圆的直径，，过点任作一条割线，求证：
如图，直线，，当为多长时，最大？
22. 本小题分
如图，与相切于点，交于点，的延长线交于点，是上不与，重合的点，．
求的大小；
若的半径为，点在的延长线上，且，求证：与相切．
23. 本小题分
如图，在航线的两侧分别有观测点和，点到航线的距离为，点位于点的北偏东方向且与相距处．现有一艘轮船从位于点的南偏西方向的处，正沿该航线自西向东航行至点的正北方向的处．
求观测点到航线的距离；
求该轮船航行的路程结果精确到．
参考数据：，，，
24. 本小题分
如图所示，抛物线过点和点，抛物线与轴的正半轴交于点，点是抛物线上的一点．
求抛物线的函数表达式．
如图所示，连接，，若点是抛物线的顶点，求此时的面积．
如图所示，连接，，，，设的面积为，的面积为，是否存在点，使，若存在，请写出点的坐标若不存在，请说明理由．
25. 本小题分
如图，为的直径，为圆上的一点，为劣弧的中点，过点作的切线与的延长线交于点，与的延长线交于点，与交于点．
求证：
若的半径为，，求的长度
在的条件下，求的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查反比例函数的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征，坐标与图像的性质，矩形性质，三角形的面积，直线和双曲线的交点，锐角三角函数的定义，解题关键是通过设坐标，用参数表示出矩形面积求解．
设长为，用含的式子分别表示出，长度，再连接，，通过含和的式子表示出四边形面积，通方程组求出的值再联立直线与双曲线方程求交点坐标．
【解答】
解：设，
点坐标为，
由可得，．
点坐标为，点坐标为．
，．
，，
，
连接，，
，
点为中点，，
，
矩形面积为，
又矩形面积为，
，
联立方程解得．
．
所在直线解析式为，
联立，解得．
点坐标为．
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题是四边形的综合题，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质等知识点．
沿对折，得到，利用角的关系求出；首先证明≌，再利用角的关系求得，即可得到；利用，解出，，根据正弦的定义即可求解；证明与相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】
解：在正方形中，，，，
由折叠可得，，，，，
，
，
，
，故正确；
，分别是正方形边，的中点，
，，
在和中，
，
≌，
，
又，
，
，
，故正确；
由知，，
令，则，，
在中，设，
，
，
，故正确；
，，
∽，
，，
：：，
的面积：的面积：，
，故错误．
综上所述，正确．
故选B．
3.【答案】
【解析】解：将点代入抛物线与直线
解得：，，
设：点横坐标为，则、，
其它点坐标为、、，
则，则，
是等腰三角形．
A、当过对称轴的直线时，此时点、的坐标分别为、，
由勾股定理得：，而，
，
故本选项错误；
B、轴、两点坐标相同，
，而是等腰三角形不是等边三角形，
，
不成立，
故本选项错误；
C、如上图，过点作、，
是等腰三角形，
是的平分线，
易证：，
而，
故本选项正确；
D、，
，
，其最大值为，
故的最大值为，
故本选项错误．
故选：．
当过对称轴的直线时，解得：，而，；
由轴、两点坐标相同推知，而是等腰三角形，，故BAE错误；
如上图，过点作、，由是等腰三角形得到：是的平分线，；
，其最大值为．
本题考查的是二次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，以及等腰三角形、平行线等几何知识，是一道难度较大的题目．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．由抛物线的对称轴结合抛物线与轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论正确；由抛物线对称轴为以及抛物线过原点，即可得出、，即，结论正确；根据抛物线的对称性结合当时，即可得出，结论错误；将代入二次函数解析式中结合，即可求出抛物线的顶点坐标，结论正确；观察函数图象可知，当时，随增大而减小，结论错误．综上即可得出结论．
【解答】
解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一交点坐标为，结论正确；
抛物线的对称轴为直线，且抛物线过原点，
，，
，，
，结论正确；
当时，
，结论错误；
当时，，
抛物线的顶点坐标为，结论正确；
观察函数图象可知：当时，随增大而减小，结论错误．
综上所述，正确的结论有：．
故选C．
5.【答案】
【解析】解：当抛物线的顶点在轴上时，抛物线与轴有且只有一个公共点，
．
解得：．
当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，
该抛物线与轴的交点中一个交点的横坐标小于或等于，另一个交点的横坐标大于且小于．
当时，，
当时，．
．
解得：．
综上，的取值范围是为：或．
故选：．
利用分类讨论的思想方法分抛物线的顶点在轴上和一个交点的横坐标小于或等于，另一个交点的横坐标大于且小于，由此得到关于的关系式，化简整理后即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是掌握利用全等三角形的性质证明线段相等的思路与方法．
证明≌，即可对结论作出判断；过点作的平行线交的延长线于，首先证明，然后根据平行线分线段成比例定理得出，再根据，进行解答，即可对结论作出判断；连接、交于点，点为的中点，连接、，根据正方形的性质可知，，，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，，进而得出，以点圆心，以的长为半径画，则、、、四点在同一个圆上，根据圆周角定理得出，即，当、两点重合时，、两点重合，此时、两点重合，此时，进一步得出，即可对结论作出判断；过点作交于，则，，根据相似三角形的性质得出，根据的长不变，得出当的长有最大值时，有最大值，当、两点重合时，的长有最大值，此时，在中，，，，得出，由结论可知，，设，在中，，，利用勾股定理求出，即，根据≌，得出，求出，由可得，，求出，得出的最大值为，的最大值为，此时，，进而求出的最大值为 ，即可对结论作出判断；综合上述情况进行解答，即可求解．
【解答】
解：四边形是正方形，
，，
，
于，
，
，
，即，
在和中，
≌，
，结论正确；
过点作的平行线交的延长线于，如图：
点、关于对称，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，结论正确；
连接、交于点，点为的中点，连接、，如图：
根据正方形的性质可知，，，
于，
，
在中，，点为的中点，
，
在中，，点为的中点，
，
，以点圆心，以的长为半径画，则、、、四点在同一个圆上，
，
即，
当、两点重合时，、两点重合，此时、两点重合，
此时，
，结论正确；
过点作交于，如图：
，，
，
的长不变，
当的长有最大值时，有最大值，
当、两点重合时，的长有最大值，如图：
此时，在中，，，，
，
由结论可知，，
设，
在中，，，
，即，
≌，
，
，
由可得，，
，
的最大值为，
的最大值为，
此时，，
的最大值为 ，结论正确；
综上所述，正确结论的个数是．
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了考查了垂线，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．关键是得到与相等或互补．因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因比的倍少，可设是度，利用方程即可解决问题．
【解答】
解：设是度，根据题意，得
两个角相等时，如图：
，
，
解得，，
故；
两个角互补时，如图：
，
所以，
．
故的度数为：或．
故选C．

8.【答案】
【解析】解：如图，连接，
，，
为的直径，
，则，
，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
当与直线相切时，点组成的图形与直线有且只有一个公共点，
设切点为，连接，
直线，
直线与轴交于点，与轴交于点，
，
，
，
即，
，
．
故答案为．
本题考查直线与圆的位置关系，一次函数图象上点的坐标特征．
连接，推出点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆，当与直线相切时，点组成的图形与直线有且只有一个公共点，设切点为，连接，则，直线交轴于点，交轴于点，再由勾股定理表示出，然后运用等面积法列方程求出的值即可．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单．先根据特殊角的三角函数值求出、的度数，再根据三角形内角和定理求出即可作出判断．
【解答】
解：中，、都是锐角，，，
．
，
所以此三角形为钝角三角形，
故选C．
10.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，．
，
，
．
．
在和中，
，
≌，
．
在和中，
，
≌，
．
，
，
．
．
的结论正确；
，，
点，，，四点共圆，
，
的结论正确；
过点作，交于点，如图，
，，
，
．
，
，
，
．
．
，，，
．
在和中，
，
≌，
．
．
的结论正确；
：：，
设，则，
，
过点作于点，如图，
，
，
，
在中，
，
．
的结论不正确；
四边形是正方形，
，，
≌≌≌．
．
．
由知：≌，
，
．
即四边形的面积是正方形面积的．
的结论正确．
综上，的结论正确．
故选：．
利用全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理对每个选项的结论进行判断即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，充分利用正方形的性质构造等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴在轴左侧，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，错误．
，
，
，正确．
由图象可得时，，
，
，
，正确．
若图象经过点，由抛物线对称性可得图象经过，
，
，为方程的两根，
，正确．
故选：．
由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置可判断，，的符号及与的关系，进而判断，由图象可得时，可判断，由抛物线的对称性可得，为方程的两根，从而判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了对称性，全等三角形的判定与性质，直角三角形度角的性质，圆的性质，知道线段最短时点的位置，并能确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点．
由题意易证≌，从而得到，再由平角的定义和四边形内角和定理可得，由于点在运动中保持，所以点的路径是一段以为圆心，以为半径的的弧，连接交弧于点，此时的长度最小．
【解答】
解：如图，连接，
中，，，，
，，
与关于对称，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
由于点在运动中保持，
如图，由圆周角定理可得，、、三点共圆，
点的运动路径为：以为圆心，为半径的的弧，
连接与圆弧的交点即为点，此时的长度最小，
，
则线段的最小值为，
故选D．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正方形的性质，圆周角定理，三角形的三边关系，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造圆，确定最小值时的位置是关键．
根据四边形对角互补得：、、、四点共圆，取的中点为，以为直径作圆，如图，连接，，根据三角形三边关系可知：，因为为定值，当、、三点共线，且时，最小，最小，如图，根据勾股定理可得结论．
【解答】
解：如图，
，，
，
、、、四点共圆，
四边形是正方形，
，
是直径，
取的中点为，以为直径作圆，如图，连接，，
，
在中，，，，
，
是定值，，
即当、、三点共线，且时，最小，最小，
如图，最小，延长交于，则，
，
由勾股定理得：，
正方形的边长为，即，
；
即线段的最小值为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．
连接、，交于，如图，利用垂径定理得到，设的半径为，则，，根据勾股定理得到，解得，再利用垂径定理得到，，则，，然后解方程组求出，从而得到的长．
【解答】
解：连接、，交于，如图，
，
，
设的半径为，则，，
在中，，解得，
，
，，
在中，，
在中，，
解由组成的方程组得到，
．
故答案为．
15.【答案】或
【解析】解：如图中，当点落在边上时，过点作于，交的延长线于设．
在中，，，
，，
将线段绕着点顺时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，当点落在边上时，
将线段绕着点顺时针旋转得到线段，
，
，
在中，，，
；
如图，点落在直线上时，过点作于点，
将线段绕着点顺时针旋转得到线段，
，，
由可知，，
，
，
此时点落在的延长线上，不合题意舍去．
综上所述，的值是或，
故答案为：或．
分三种情况：如图中，当点落在上时，过点作于，交的延长线于设如图，当点落在上时，如图中，当点落在直线上时，根据旋转的性质和平行四边形的性质以及三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质、锐角三角函数、勾股定理、解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法、二次函数及含角的直角三角形的性质等知识点是解题的关键．
以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得抛物线的解析式；将高脚杯绕点倾斜后，仍以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，分别用待定系数法求得直线的解析式和直线的解析式，过点作于点，求得液面到直线的距离；过最低点作，再将的解析式与抛物线的解析式联立，得出关于的一元二次方程，由判别式求得，最后利用含角的直角三角形性质及勾股定理求得答案．
【解答】
解：以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图：
由题意得：
，，，，
设抛物线的解析式为：，
将代入得：
，
解得：，
；
将高脚杯绕点倾斜后，仍以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图：
由题意得：，，，，，，
由题可知，直线与轴的夹角为，，
经过点，且，
设直线的解析式为：，
将代入，解得，
，
又，
，
设直线的解析式为，
将代入，解得，
，
，，
，
过点作于点，
，，
，，
，
．
设杯体内液体的最大深度为抛物线上的点，过作，为于的交点，
设直线的解析式为，
联立，
得：，
只有一个交点，
，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：，．
17.【答案】解：由题知，，，
．
又，
．
．
．
设，则，，
，
由题知，，，，
为等腰直角三角形，
．
，
解得：，
．
答：塔高约为．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般．
先求出，，得出，然后设，则，，，，然后根据，可得，列出方程求出的值，然后即可求出塔的高度．
18.【答案】解：证明：，
，
，，
，
∽；
如图，过点作交于点，
在中，设，则，
由勾股定理，得到，
，
或舍弃，
，，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
；
点在边上运动的过程中，存在时，使得．
理由：过点作交于点，过点作交于点、作交于点，
则，
四边形为矩形，
，，
由知，，，，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形，
，
，
．
点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时．
【解析】本题属于相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；
解直角三角形求出，由∽，推出，可得，由，推出，求出即可；
点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得过点作交于点，过点作交于点、作交于点，则，由∽，可得，推出，推出，再利用等腰三角形的性质，求出即可解决问题．
19.【答案】解：设，
把与代入得：，
解得：，
则；
设当文具店每周销售这种纪念册获得元的利润时，每本纪念册的销售单价是元，
根据题意得：，
则，
整理得：，
，
解得：，不合题意舍去，
答：每本纪念册的销售单价是元；
由题意可得：
，
此时当时，最大，
又售价不低于元且不高于元，
时，随的增大而增大，即当时，最大元，
答：该纪念册销售单价定为元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是元．

【解析】
【分析】
此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每本的利润得出函数关系式是解题关键．
设，根据题意，利用待定系数法确定出与的函数关系式即可；
根据题意结合销量每本的利润，进而求出答案；
根据题意结合销量每本的利润，进而利用二次函数增减性求出答案．

20.【答案】解：抛物线过点，则其表达式为：，
将点坐标代入上式得：，解得：，
抛物线的表达式为：；
直线的表达式为：，直线的表达式为：，
当与相似，则，或，
即：，或，
当时，即：，
解得：或舍去，
同理，当，
或舍去，
存在，的值为或；
，令，则或，故点，
设：直线过点，设其表达式为：，
将点坐标代入上式得：，解得：，
则直线的表达式为：，
同理直线的表达式为：，
设点的坐标为，则点的坐标为，
当线段，的长度比为：时，即：，
则：，
解得：舍去或，
；
存在，理由如下：
令，
解得或，
，
设点的坐标为，
当线段是四边形的一边时，此时且，
当在轴上方时，由点的平移可得，，
，解得，
或；
当在轴下方时，由点的平移可得，，
，解得舍或，
；
当线段是对角线时，取的中点，
则点是线段的中点，由中点坐标公式可知，，
，解得舍或，
；
存在以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的点的坐标为或或或．
【解析】把点、点的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
当与相似，分或两种情况，求解即可；
设点的坐标为，则点的坐标为，，即：，即可求解；
两定两动的四边形存在性问题，需要分类讨论，定线段是边时，定线段是对角线时，根据平行四边形的性质分别计算．
本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
21.【答案】解：证明：如图，连接、、，
是圆的直径，，
，
，，
，
，
，
又，
∽，
，即；
如图，作于点，
，
，
设，则，，
，
，
整理得，，
，
，
，
当取得最大值时的值最大，此时最大，
的最大值为，即，
此时，，解得，
当时，最大．
【解析】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键．
连接、、，根据圆周角定理推出，进而证明∽即可．
本题主要考查锐角三角形函数定义及完全平方公式变形，解题的关键是把问题转化为求的最大值．
作于点，设，则，，根据，用含的式子表示，代入，借助完全平方公式变形即可．
22.【答案】解：连接，如图，
与相切于点，
，
，
，
，
；
连接，，如图，
是切线，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
与相切．

【解析】连接，由切线求出的度数，再由三角函数求出，由三角形的外角性质求得，最后由圆周角与圆心角的关系求得结果；
连接，，证明≌，得，便可得结论．
本题主要考查了圆的切线的性质与判定，解直角三角形，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，第题关键是证明三角形全等．
23.【答案】解：设与交于点．
在中，
，，
．
，
．
在中，，
．
答：观测点到航线的距离为．
在中，，
在中，，
．
在中，，，
．
．
【解析】已将观测点到航线的距离用辅助线表示出来，要求，先求出，，再在中，求出即可．
要求的长，根据需先求和的长，而，所以求出、及的长即可得出答案．
本题重点考查解直角三角形应用的问题．注意分析题意，构造直角三角形，利用三角函数求解．
24.【答案】解：将点，的坐标代入，
解得
抛物线的表达式为．
由知，
．
令，则，解得，，
，
的面积为．
存在设点的坐标为，
的面积．
设直线的表达式为，
将点，的坐标代入，
直线的表达式为．
如图所示，作轴，交直线于点，
，
，
根据铅垂高的定义，的面积．
，，
解得或，
或．

【解析】略
25.【答案】证明：连接，如图，
为劣弧的中点，
，
．
是的切线，
，
；
连接，，如图，
设，则．
为劣弧的中点，
，
，．
，
∽，
，
．
．
为的直径，
，
．
的半径为，
．
，
解得：或不合题意，舍去，
．
．
【解析】
【分析】
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定与性质，矩形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，连接，是解决此类问题常添加的辅助线．
连接，利用垂径定理和圆的切线的性质定理，平行线的判定定理解答即可；
连接，，设，则，利用相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理列出关于的方程，解方程即可得出结论；
连接，，设与交于点，利用直角三角形的边角关系定理求得，的长度，通过判定四边形为矩形得到为直角三角形和两直角边的长，利用三角形的面积公式即可求得结论．
【解答】
解：见答案；
连接，，设与交于点，如图，
由知：，，，
，
．
，
，
．
，
，，
．
．
，
．
为的直径，
，
由知：，，
四边形为矩形，
，，，
的面积．
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