第4讲 函数三要素
通关一、函数符号的理解
对应法则是函数概念的核心，的含义是：等于在法则下的对应值，而是对应得以实现的方法和途径，是联系与的纽带，因此是函数关系的本质特征，甚至用什么字母表示自变量、因变量和对应法则，是无关紧要的.
的含义与又不同，前者表示自变量时所得的函数值，它是一个常量，后者是的函数，在通常情况下，是一个变量，是的一个特殊值.
通关二、函数的值域
（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； （2）利用常见函数的值域：一次函数的值域为；二次函数利用配方法，结合定义域求出值域；反比例函数的值域为；指数函数的值域是；对数函数的值域是；正、余弦函数的值域是；正切函数的值域是； （3）单调性法：先利用函数的单调性，再由单调性求函数的值域； （4）分离常数法：即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； （5）换元法：对于一些无理函数（如），通过换元把它们转化为有理函数，然后通过求有理函数的值域，间接地求解原函数的值域； （6）不等式法;利用几个重要不等式及推论来求得最值，进而求得值域，如：，，当且仅当时等号成立； （7）判别式法：把函数解析式化为关于的一元二次方程，利用判别式求值域，形如或的函数适用，注意的取值范围； （8）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域，因为常出现反解出的表达式的过程，也称为反解有界性法； （9）配方法：它是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如的函数的值域问题，均可使用配方法； （10）数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数形结合法； （11）导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.
【结论第讲】
结论一、具体函数定义域的求解
【例1】函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：，解得，即函数的定义域为，故选C.
【变式】 函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】要使原函数有意义，则，即，解得，所以原函数的定义域为，故选B.
结论二、抽象函数定义域的求解
【例2】设，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 由意义，则，解得.又有意义，则，解得，所以，故选B.
【变式】 已知函数的定义域是，则函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】在函数中，定义域为，即，所以的定义域为，要求的定义域，则，所以的定义域为，故填.
结论三、同一个函数的判定方法
【例3】下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【解析】 对于A选项,而二者的对应法则不同；对于B选项,而二者的定义域不同;对于C选项，与的定义城不同；对于D选项,与完全相同.故选D.
【变式】下列各对函数中 ,图像完全相同的是( ).
A． B．
C. D．
【答案】C
【解析】 对于 A选项,因为的定义域为,与的定义域为,两个函的对应法则不相同,所以不是同一个函数;对于B选项,因为的定义域为，的定义域为,所以两个函数不是同一个函数;对于C选项,因为的定义域为且，的定义域为且,对应法则相同,所以两个函数是同一个函数;对于D选项,因为的定义域是的定义域是,定义域不相同,所以不是同一个函数.故选C.
结论四、函数表达式
1.配凑法;是将右端的代数式配凑成关于的形式,进而求出的解析式; 2.换元法:主要解决已知复合函数的表达式求解函数的解析式的问题.令 ,解出,即用表示,然后代入中即可求得 ,从而求得 . 3.待定系数法:有些题目给出函數特征,求函数的解析式，可用待定系数法,比如函数是二次函数,可设为 ,其中 是待定系数,根据题设条件,列出方程组,解出 即可. 4. 函数方程法:主要解决已知函數的抽象关系式求解函数解析式的问题，将作为一个未知数来考虑,建立方程(组),消去另外的未知数便得到的表达式.
【例】4 已知二次函数,则=__________.
【答案】
【解析】
解法一(换元法) 令,则，所以所以
解法二(配凑法)因为,所以 .
解法三(待定系数法)因为是二次函数,所以设,则 ,因为所以解得,所 .
【变式】 已知满足,则=__________.
【答案】
【解析】 已知 ①,以代替①式中的,得 ②,
由①2-②得
故.
结论五、换元法求函数的值域
将函数解析式中关于的部分表达式视为一个整体，并用新元素代替,将解析式化归为熟悉的函数，进而解出值城, 1.在换元的过程中,因为最后是要用新元解决值城,所以一旦换元,后面紧跟新元的取值范围. 2.换元的作用有两个: ①通过换元可将函数解析式简化,例如当解析式中含有根式时,通过将根式视为一个整体,换元后即可“消灭”根式,达到简化解析式的目的. ②化归:可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理. 3.换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程,在有些函数解析式中明显每一项都是与的某个表达式有关,那么自然将这个表达式视为研究对象.
【例5】 函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的定义域为,令所以,则 ,
所以 . 因为,所以的值域为
故选D.
【变式】已知函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 .因为的定义域为，且，所以，解得.令，则所以，所以，即的值域为.故选B.第4讲 函数三要素
通关一、函数符号的理解
对应法则是函数概念的核心，的含义是：等于在法则下的对应值，而是对应得以实现的方法和途径，是联系与的纽带，因此是函数关系的本质特征，甚至用什么字母表示自变量、因变量和对应法则，是无关紧要的.
的含义与又不同，前者表示自变量时所得的函数值，它是一个常量，后者是的函数，在通常情况下，是一个变量，是的一个特殊值.
通关二、函数的值域
（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； （2）利用常见函数的值域：一次函数的值域为；二次函数利用配方法，结合定义域求出值域；反比例函数的值域为；指数函数的值域是；对数函数的值域是；正、余弦函数的值域是；正切函数的值域是； （3）单调性法：先利用函数的单调性，再由单调性求函数的值域； （4）分离常数法：即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； （5）换元法：对于一些无理函数（如），通过换元把它们转化为有理函数，然后通过求有理函数的值域，间接地求解原函数的值域； （6）不等式法;利用几个重要不等式及推论来求得最值，进而求得值域，如：，，当且仅当时等号成立； （7）判别式法：把函数解析式化为关于的一元二次方程，利用判别式求值域，形如或的函数适用，注意的取值范围； （8）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域，因为常出现反解出的表达式的过程，也称为反解有界性法； （9）配方法：它是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如的函数的值域问题，均可使用配方法； （10）数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数形结合法； （11）导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.
【结论第讲】
结论一、具体函数定义域的求解
【例1】函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【变式】 函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
结论二、抽象函数定义域的求解
【例2】设，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【变式】 已知函数的定义域是，则函数的定义域为__________.
结论三、同一个函数的判定方法
【例3】下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【变式】下列各对函数中 ,图像完全相同的是( ).
A． B．
C. D．
结论四、函数表达式
1.配凑法;是将右端的代数式配凑成关于的形式,进而求出的解析式; 2.换元法:主要解决已知复合函数的表达式求解函数的解析式的问题.令 ,解出,即用表示,然后代入中即可求得 ,从而求得 . 3.待定系数法:有些题目给出函數特征,求函数的解析式，可用待定系数法,比如函数是二次函数,可设为 ,其中 是待定系数,根据题设条件,列出方程组,解出 即可. 4. 函数方程法:主要解决已知函數的抽象关系式求解函数解析式的问题，将作为一个未知数来考虑,建立方程(组),消去另外的未知数便得到的表达式.
【例】4 已知二次函数,则=__________.
【变式】 已知满足,则=__________.
结论五、换元法求函数的值域
将函数解析式中关于的部分表达式视为一个整体，并用新元素代替,将解析式化归为熟悉的函数，进而解出值城, 1.在换元的过程中,因为最后是要用新元解决值城,所以一旦换元,后面紧跟新元的取值范围. 2.换元的作用有两个: ①通过换元可将函数解析式简化,例如当解析式中含有根式时,通过将根式视为一个整体,换元后即可“消灭”根式,达到简化解析式的目的. ②化归:可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理. 3.换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程,在有些函数解析式中明显每一项都是与的某个表达式有关,那么自然将这个表达式视为研究对象.
【例5】 函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【变式】已知函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
