第二讲 复数的概念与运算
真题展示
2022新高考一卷第一题
若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用复数的除法可求，从而可求.
【详解】由题设有，故，故，
故选：D
知识要点整理
1．数系的扩充与复数的相关概念
(1)复数的引入
为了解决+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定：
①=-1，即i是方程+1=0的根；
②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.
在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果
记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.
(2)复数的概念
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫
做复数集.这样，方程+1=0在复数集C中就有解x=i了.
(3)复数的表示
复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
(4)复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC.
复数z=a+bi可以分类如下：
复数，复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.
2．复数相等
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当
a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.
3．复数的几何意义
(1)复平面
根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面
直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来
表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.
(2)复数的几何意义——与点对应
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一
的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
(3) 复数的几何意义——与向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一
对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义.
4．复数的模
向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它
的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).
5．共轭复数
(1)定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0
的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.
(2)几何意义
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复
平面内所对应的点重合，且在实轴上.
(3)性质
①=z.
②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
6．复数的模的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数
的模的几何意义.
(2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以
原点为圆心，r为半径的圆，|z|r表示圆的外部.
三年真题
一、单选题
1．已知（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用复数相等的条件可求.
【详解】，而为实数，故，
故选：B.
2．若复数z满足，则（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】B
【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．
【详解】由题意有，故．
故选：B．
3．设，其中为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．
【详解】因为R，，所以，解得：．
故选：A.
4．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
故选 ：C
5．（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数的乘法可求.
【详解】，
故选：D.
6．若．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】因为，所以，所以．
故选：D.
7．已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】
由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，
得,即
故选:
8．复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.
【详解】，所以该复数对应的点为，
该点在第一象限，
故选：A.
9．在复平面内，复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得：.
故选：D.
10．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.
【详解】由题意可得：.
故选：C.
11．已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】C
【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.
【详解】，
利用复数相等的充分必要条件可得：.
故选：C.
12．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.
【详解】设，则，则，
所以，，解得，因此，.
故选：C.
13．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】，
.
故选：B.
14．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为，故，故
故选：C.
二、填空题
15．已知是虚数单位，化简的结果为_______．
【答案】##
【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出．
【详解】．
故答案为：．
16．是虚数单位，复数_____________．
【答案】
【分析】利用复数的除法化简可得结果.
【详解】.
故答案为：.
三年模拟
一、单选题
1．（2022·四川·广安二中模拟预测（文））已知复数满足，且，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】设，利用复数的四则运算列方程求解即可.
【详解】设，则，
所以，，
解得，即，
所以，
故选：D
2．（2022·四川·石室中学模拟预测（文））已知i是虚数单位，复数，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数运算法则即可得到答案.
【详解】因为,所以复数的虚部为.
故选：B.
3．（2023·广西·南宁二中一模（文））若，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由复数的运算法则与复数虚部的概念求解即可
【详解】因为，
所以虚部为，
故选：B.
4．（2022·贵州·贵阳六中一模（理））已知复数的共轭复数为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的除法运算算出，然后可得答案.
【详解】因为，
所以，所以，
故选：C
5．（2022·四川南充·一模（理））若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】由已知可得，因此，.
故选：C.
6．（2022·全国·模拟预测）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】先利用复数的乘法和除法法则求出，从而得到其在复平面内对应的点的坐标及所在象限.
【详解】，
其在复平面内对应的点为，位于第二象限.
故选：B.
7．（2022·四川成都·一模（理））如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则（ ）
A．1 B． C．3 D．5
【答案】B
【分析】根据向量的坐标写出复数，再求加法及模.
【详解】由题意可得：，则，
故.
故选：B.
8．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））设复数，是z的共轭复数，则（ ）
A．-3 B．-1 C．3 D．5
【答案】D
【分析】先利用复数的除法化简，进而得到共轭复数，再利用复数的乘法运算求解.
【详解】解：∵，
∴，．
故选：D．
9．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（文））设i为虚数单位，复数满足，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用复数运算法则计算得到，从而求出模长.
【详解】由，得，
故
所以.
故选：B.
10．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））设i为虚数单位，复数z满足，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用复数的运算法则化简得复数的标准形式，再利用复数模的计算公式即可得出结果.
【详解】由，得，则，,所以，
故.
故选：B.
11．（2021·河南三门峡·一模（理））复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设则，然后代入原式得，然后根据复数相等列方程，解方程即可得到.
【详解】设，则，
因为，所以，即，
所以，解得，则.
故选：B.
二、填空题
12．（2022·上海宝山·一模）设复数（其中i为虚数单位），则______.
【答案】
【分析】化简，根据复数模的运算即可求得结果.
【详解】因为，所以.
故答案为：.
13．（2022·上海普陀·一模）若（其中i表示虚数单位），则______．
【答案】1
【分析】计算，即可得到虚部.
【详解】因为，根据复数的概念可知，虚部为1.
故答案为：1.
14．（2022·上海长宁·一模）复数满足（其中i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点到原点O的距离为___________
【答案】##
【分析】由已知，根据条件，先对已知进行化简，得到，然后直接求解复数z在复平面上所对应的点Z到原点O的距离即可.
【详解】由已知，，
所以，所以复数z在复平面上所对应的点Z为，
所以复数z在复平面上所对应的点Z到原点O的距离为：.
故答案为：.
15．（2022·上海虹口·一模）设，，为虚数单位，若是关于的二次方程的一个虚根，则______．
【答案】2
【分析】将根代入方程，化简即可得到，列方程组即可求得.
【详解】将代入方程得：，
即，即，
所以，解得，
所以.
故答案为：2
16．（2022·上海杨浦·一模）设i是虚数单位，则复数的虚部是________．
【答案】2
【分析】根据复数的乘法运算即可得复数，即可得的虚部.
【详解】解：复数，所以复数的虚部为.
故答案为：.第二讲 复数的概念与运算
真题展示
2022新高考一卷第一题
若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
知识要点整理
1．数系的扩充与复数的相关概念
(1)复数的引入
为了解决+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定：
①=-1，即i是方程+1=0的根；
②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.
在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果记作________.注意到所有实数以及i都可以写成________的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.
(2)复数的概念
我们把形如________的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.这样，方程+1=0在复数集C中就有解x=i了.
(3)复数的表示
复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的________与________.
(4)复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做________.
显然，实数集R是复数集C的________，即RC.
复数z=a+bi可以分类如下：
复数，复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.
2．复数相等
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当________，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.
3．复数的几何意义
(1)复平面
根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面
直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来
表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.
(2)复数的几何意义——与点对应
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一
的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
(3) 复数的几何意义——与向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一
对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义.
4．复数的模
向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模等于________（就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).
5．共轭复数
(1)定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也复数z的共轭复数用________表示，即若z=a+bi，则________.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.
(2)几何意义
互为________的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.
(3)性质
①=z.
②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
6．复数的模的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数
的模的几何意义.
(2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以________为圆心，________为半径的圆，|z|r表示圆的外部.
三年真题
一、单选题
1．已知（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数z满足，则（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
3．设，其中为实数，则（ ）
A． B． C． D．
4．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（ ）
A． B． C． D．
6．若．则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
8．复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．在复平面内，复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
10．设，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A． B．1 C． D．3
12．设，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知，则（ ）
A． B． C． D．
14．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
15．已知是虚数单位，化简的结果为_______．
16．是虚数单位，复数_____________．
三年模拟
一、单选题
1．（2022·四川·广安二中模拟预测（文））已知复数满足，且，则（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2022·四川·石室中学模拟预测（文））已知i是虚数单位，复数，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·广西·南宁二中一模（文））若，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·贵州·贵阳六中一模（理））已知复数的共轭复数为，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·四川南充·一模（理））若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·模拟预测）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2022·四川成都·一模（理））如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则（ ）
A．1 B． C．3 D．5
8．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））设复数，是z的共轭复数，则（ ）
A．-3 B．-1 C．3 D．5
9．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（文））设i为虚数单位，复数满足，则（ ）
A．2 B． C． D．
10．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））设i为虚数单位，复数z满足，则（ ）
A．2 B． C． D．
11．（2021·河南三门峡·一模（理））复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．（2022·上海宝山·一模）设复数（其中i为虚数单位），则______.
13．（2022·上海普陀·一模）若（其中i表示虚数单位），则______．
14．（2022·上海长宁·一模）复数满足（其中i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点到原点O的距离为___________
15．（2022·上海虹口·一模）设，，为虚数单位，若是关于的二次方程的一个虚根，则______．
16．（2022·上海杨浦·一模）设i是虚数单位，则复数的虚部是________．
