集合的运算
真题展示
2022新高考一卷第一题
若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：D
知识要点整理
集合之间的基本运算
如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示；
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形
符号 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} UA＝{x|x∈U，且x A}
1.由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集，记作A∪B；符号表示为A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
2．并集的性质
A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪ ＝A，A A∪B.
3.对于两个给定的集合A、B，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫A与B的交集，记作A∩B。符号为A∩B＝{x|x∈A且x∈B}。
4. 交集的性质
A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B A.
5、对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 UA。符号语言： UA＝{x|x∈U，且x A}。
【易错注意】
1．A B A∩B＝A A∪B＝B .
2. 德 摩根定律：
①并集的补集等于补集的交集，即；
②交集的补集等于补集的并集，即．
三年真题
1．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出，再根据交集的定义可求.
【详解】，故，
故选：A.
2．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为，，所以．
故选：A.
3．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用补集的定义可得正确的选项．
【详解】由补集定义可知：或，即，
故选：D．
4．集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为，，所以．
故选：A.
5．设全集，集合M满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先写出集合,然后逐项验证即可
【详解】由题知,对比选项知，正确,错误
故选:
6．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】由题意，，所以,
所以.
故选：D.
7．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用并集的定义可得正确的选项.
【详解】，
故选：D.
8．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【详解】[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
9．已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出以为球心，5为半径的球与底面的截面圆的半径后可求区域的面积.
【详解】
设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，
且，故.
因为，故，
故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，
而三角形内切圆的圆心为，半径为，
故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为
故选：B
10．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据交集并集的定义即可求出.
【详解】，
，.
故选：C.
11．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据交集、补集的定义可求.
【详解】由题设可得，故，
故选：B.
12．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.
【详解】由题意可得：.
故选：B.
13．已知全集，集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用补集概念求解即可.
【详解】.
故选：C
14．设集合A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则=（ ）
A．{1，3，5，7} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{1，2，3，5，7，8}
【答案】C
【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.
【详解】因为A {2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，
所以
故选：C
15．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.
【详解】由题意结合补集的定义可知：，则.
故选：C.
16．已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据交集定义直接得结果.
【详解】，
故选：D.
三年模拟
一、单选题
1．（2022·四川·广安二中模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由对数函数单调性解不等式，化简N，根据交集运算求解即可.
【详解】因为，,
所以，
故选：D
2．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））若、是全集的真子集，则下列五个命题：①；②；③；④；⑤是的必要不充分条件其中与命题等价的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】根据韦恩图和集合的交、并、补运算的定义逐一判断可得选项.
【详解】解：由得韦恩图：
或
对于①，等价于，故①正确；
对于②，等价于，故②不正确；
对于③，等价于，故③正确；
对于④，与A、B是全集的真子集相矛盾，故④不正确；
对于⑤，是的必要不充分条件等价于BA，故⑤不正确，
所以与命题等价的有①③，共2个，
故选：B.
3．（2023·广西·南宁二中一模（文））设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求集合，再求.
【详解】由，解得，则.又∵，
∴.
故选：C.
4．（2022·四川南充·一模（理））设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求得集合，然后求得.
【详解】由于，
所以.
故选：B
5．（2022·贵州·贵阳六中一模（理））设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对数函数的单调性解不等式，求出集合A，根据交集的定义即可计算.
【详解】解：，
，
则集合，
，
故选：B.
6．（2022·上海普陀·一模）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.
【详解】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意.
①假设集合中含有个元素，可设，则，
，这与矛盾；
②假设集合中含有个元素，可设，，
，，，满足题意.
综上所述，集合中元素个数最少为.
故选：A.
7．（2022·辽宁·沈阳二十中三模）设集合，则满足的集合B的个数是（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】B
【分析】根据集合交运算的结果，结合集合的元素，直接求解即可.
【详解】，又，则的元素必有，
故可以为如下个集合中的任意一个：
.
故选：B.
8．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解不等式求出，，从而求出交集.
【详解】解得：，所以，
，故，故，所以，
则．
故选：B．
9．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））记集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先解不等式确定集合，然后再根据交集的定义求其交集即可.
【详解】或
所以集合，
，
所以.
故选：B.
10．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（文））记集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解不等式求出，从而求出交集.
【详解】集合或，，所以.
故选：A.
11．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解不等式求得集合，进而求得.
【详解】，解得，所以，
由于，所以.
故选：A
二、填空题
12．（2022·上海徐汇·一模）已知全集，集合，则__________.
【答案】
【分析】先化简集合，再利用集合补集的定义求解即可.
【详解】由解得，
所以，所以，
故答案为：
13．（2022·上海长宁·一模）设全集，则=___________.
【答案】
【分析】根据补集定义直接求解.
【详解】由题全集，所以，
故答案为：.
14．（2022·上海杨浦·一模）设集合，集合，则________．
【答案】
【分析】求出集合，再求交集可得答案.
【详解】集合，则.
故答案为：.
15．（2022·上海嘉定·一模）已知集合，是整数集，则________.
【答案】
【分析】先用公式法解绝对值不等式确定集合，再取交集即可.
【详解】，
故答案为：.
16．（2022·上海闵行·一模）若集合，，则______．
【答案】
【分析】先解得集合，再根据交集的运算即可求得.
【详解】集合，
因为，所以，
故答案为：.集合的运算
真题展示
2022新高考一卷第一题
若集合，则（ ）
A． B． C． D．
知识要点整理
集合之间的基本运算
如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 ，全集通常用字母 U 表示；
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形
符号 A∪B＝ A∩B＝ UA＝
1.由所有 的元素组成的集合叫A与B的并集，记作A∪B；符号表示为A∪B＝ .
2．并集的性质
A∪B＝ ，A∪A＝ ，A∪ ＝ ，A .
3.对于两个给定的集合A、B，由所有 的元素组成的集合叫A与B的交集，记作 。符号为A∩B＝ 。
4. 交集的性质
A∩B＝ ，A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B A.
5、对于一个集合A，由全集U中 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 。符号语言： UA＝ 。
【易错提示】
1．A B A∩B＝A A∪B＝B .
2. 德 摩根定律：
①并集的补集等于补集的交集，即；
②交集的补集等于补集的并集，即．
三年真题
1．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．设全集，集合M满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
7．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
11．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
13．已知全集，集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
14．设集合A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则=（ ）
A．{1，3，5，7} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{1，2，3，5，7，8}
15．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
16．已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
三年模拟
一、单选题
1．（2022·四川·广安二中模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））若、是全集的真子集，则下列五个命题：①；②；③；④；⑤是的必要不充分条件其中与命题等价的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．（2022·广西·南宁二中一模（文））设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川南充·一模（理））设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·贵州·贵阳六中一模）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·上海普陀·一模）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·辽宁·沈阳二十中三模）设集合，则满足的集合B的个数是（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
8．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））记集合，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（文））记集合，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．（2022·上海徐汇·一模）已知全集，集合，则__________.
13．（2022·上海长宁·一模）设全集，则=___________.
14．（2022·上海杨浦·一模）设集合，集合，则________．
15．（2022·上海嘉定·一模）已知集合，是整数集，则________.
16．（2022·上海闵行·一模）若集合，，则______．
