第六讲 三角函数的图象与性质
真题展示
2022新高考一卷第六题
记函数的最小正周期为．若，且的图像关于点，中心对称，则
A．1 B． C． D．3
【解析】
【解法一】(取值试验)函数的最小正周期为，
则，由，得，，
的图像关于点，中心对称，，
且，则，．
，，取，可得．
，则．故选：．
【解法二】(解不等式)：仿法一得2<ω<3及，k∈Z，则2<<3，解得，又k∈Z，∴k=4，下同法一。
【试题评价】本题考查型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．
试题亮点 三角函数是一类重要的函数，三角函数的周期性是其基本性质，三角函数的周期性决定了该函数的很多其他性质.刻画三角函数周期性的是频率ao.理解频率a对三角函数的各种几何性质和代数性质的影响，是考查和评价考生的基本要求.试题亮点如下：
（1）试题巧妙地设计了正弦型三角函数图像的中心对称性，反过来要求考生经过分析与综合，判断正弦型函数频率的取值或最小正周期的取值，这是对考生全面掌握三角函数性质及其研究方法的一次很好的检验.
（2）在试题的求解过程中，要求考生熟练掌握基本三角函数（y=sinx）的性质，及其与复合函数（y=sin（wx+q））的性质之间的关系，有利于指导教师在高中数学教学中整体把握三角函数的教学.
（3）数学正向问题的解决主要依靠形式逻辑推理思维，其解决路径是清晰的、确定的；而数学反向问题的解决需要建立在辩证逻辑思维的基础上，其解决路经需要分析与综合判断．辩证逻辑思维是考生未来进入高等学校学习，进一步开展科学研究需要运用的主要的思维方式.因此，试题有利于考查考生未来的学习潜能，有利于检测考生的辩证逻辑思维能力，对高中数学教学具有引导作用.
知识要点整理
一、正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
图象画法 五点法 五点法
关键五点 (0,0)，，(π，0)， ，(2π，0) (0,1)，，(π，－1)， ，(2π，1)
正(余)弦曲线 正(余)弦函数的图象叫做正(余)弦曲线
二、正切函数的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
定义域
值域 R
最小正周期 π
奇偶性 奇函数
单调性 在每一个区间(k∈Z)上都单调递增
对称性 对称中心(k∈Z)
三、 函数的周期性
1．函数的周期性
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．
四、 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
定义域 R R
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 2π 2π
奇偶性 奇函数 偶函数
正弦函数、余弦函数的单调性与最值
正弦函数 余弦函数
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1]
单调性 在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递增， 在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递减 在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都单调递增， 在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)上都单调递减
最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1
三年真题
一、单选题
1．已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确；
令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；
由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．
故选：A．
2．函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
3．已知函数，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递增
【答案】C
【详解】因为.
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.
故选：C.
4．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
5．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．
故选：C．
6．如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
故选：A.
7．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
8．记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A
9．函数是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值.
故选：D.
10．函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
【答案】C
【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.
故选：C．
11．下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
12．已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由于，所以命题为真命题；
由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题；
所以为真命题，、、为假命题.
故选：A．
13．下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
二、多选题
14．已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】AD
【详解】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
三、填空题
15．记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
【答案】
【详解】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
16．已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
【答案】
【详解】由题意可得：，
当时，，
令可得：，
据此有：.
故答案为：.
【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
17．已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
【答案】2
【详解】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.
四、解答题
18．设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
19．小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下：
0
0 3 0 -3 0
根据表中数据，求：
（1）实数，，的值；
（2）该函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1），，；（2）最大值是3，最小值是.
【详解】（1）由表可知，则，
因为，，所以，解得，即，
因为函数图象过点，则，即，
所以，，解得，，
又因为，所以.
（2）由（1）可知.
因为，所以，
因此，当时，即时，，
当时，即时，.
所以该函数在区间上的最大值是3，最小值是.
20．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【答案】（I）；（II）
【详解】（I）
[方法一]：余弦定理
由，得，即.
结合余弦定，
∴，
即，
即，
即，
即，
∵为锐角三角形，∴，
∴，
所以，
又B为的一个内角，故.
[方法二]【最优解】：正弦定理边化角
由，结合正弦定理可得：
为锐角三角形，故.
（II） [方法一]：余弦定理基本不等式
因为，并利用余弦定理整理得，
即.
结合，得.
由临界状态（不妨取）可知.
而为锐角三角形，所以.
由余弦定理得，
，代入化简得
故的取值范围是.
[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质
结合(1)的结论有：
.
由可得：，，
则，.
即的取值范围是.
三年模拟
1．函数的图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】结合图像，易得，则，
所以由得，所以，又，所以，则，
又因为落在上，所以，即，
所以，得，
因为，所以当且仅当时，满足要求，
所以，
因为将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
所以.
故选：A.
2．下列四个函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对A，因为在上递增，所以在上单调递减，故A错误；
对B，在上单调递减，故B错误；
对C，在上单调递增，故C正确；
对D，由C知，在上单调递减，故D错误.
故答案为：C
3．函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】易知函数为偶函数，所以其图象关于y轴对称，排除A，B项；又当时，，排除C选项.
故选：D．
4．已知函数，函数的图象由图象向右平移个单位得到，则下列关于函数的图象说法正确的是（ ）
A．关于y轴对称 B．关于原点对称
C．关于直线对称 D．关于点对称
【答案】D
【详解】因为，所以，且，所以函数是非奇非偶函数，故A，B项错误；
因为，既不是的最大值也不是最小值，所以不是的对称轴，故C项错误；
因为，所以是的一个对称中心，故D项正确.
故选：D.
5．对于函数，给出下列四个命题：
（1）该函数的值域是；
（2）当且仅当时，该函数取最大值；
（3）该函数的最小正周期为；
（4）当且仅当时，；
其中所有正确命题个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，
所以，，
对于（3），
，所以，函数为周期函数，
作出函数的图象（图中实线）如下图所示：
结合图形可知，函数的最小正周期为，（3）对；
对于（1），由图可知，函数的值域为，（1）错；
对于（2），由图可知，当且仅当或时，函数取得最大值，（2）错；
对于（4），由图可知，当且仅当时，，（4）对.
故选：B.
6．对于函数，给出下列五个命题：
（1）该函数的值域是；
（2）当且仅当或时，该函数取最大值1；
（3）该函数的最小正周期为2π；
（4）当且仅当时，；
（5）当且仅当时，函数单调递增；
其中所有正确命题的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】函数的图象如下图所示：
对于（1），由图象可知，该函数的值域是，所以（1）错误；
对于（2），当时，；当时，；此外再无其他等于1的值，
所以当且仅当或时，该函数取最大值1.即（2）正确.
对于（3），观察图像可知，该函数的最小正周期为2π，故（3）正确；
对于（4），由图可知，当且仅当时，，所以（4）正确；
对于（5），根据图像可知，当时，函数也是单调递增的，故（5）错误；
因此，正确的命题有（2）（3）（4）共3个.
故选：C.
7．已知，，则函数的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，
所以即，
因为，所以，两边同乘得，
解得或（，舍去），所以，
所以的对称中心的横坐标为，解得，
当时B符合题意，其余选项无解.
故选：B
8．函数在上的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】函数的定义域为，
，
所以，函数为偶函数，排除CD选项，
且当时，，，则，排除B选项.
故选：A.
9．设，若向量、、满足，且，则满足条件的k的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】由，得，
所以，
又，
所以，
即，
得，又，所以，
所以k的取值可以是2.
故选：B.
10．已知函数，下列说法中，正确的是（ ）
A．函数不是周期函数
B．点是函数图象的一个对称中心
C．函数的增区间为
D．函数的最大值为
【答案】C
【详解】对于A，，
故函数是周期函数，A错；
对于B，
，
所以，点不是函数图象的一个对称中心，B错；
对于C，由，
可得，解得，
所以，函数的增区间为，C对；
对于D，由可得，解得，
所以，函数的单调递减区间为.
由A知，函数为周期函数，且为函数的一个周期，
不妨考虑函数在区间上的最大值，
由题意知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，，D错.
故选：C.第六讲 三角函数的图象与性质
真题展示
2022新高考一卷第六题
记函数的最小正周期为．若，且的图像关于点，中心对称，则
A．1 B． C． D．3
试题亮点 三角函数是一类重要的函数，三角函数的周期性是其基本性质，三角函数的周期性决定了该函数的很多其他性质.刻画三角函数周期性的是频率ao.理解频率a对三角函数的各种几何性质和代数性质的影响，是考查和评价考生的基本要求.试题亮点如下：
（1）试题巧妙地设计了正弦型三角函数图像的中心对称性，反过来要求考生经过分析与综合，判断正弦型函数频率的取值或最小正周期的取值，这是对考生全面掌握三角函数性质及其研究方法的一次很好的检验.
（2）在试题的求解过程中，要求考生熟练掌握基本三角函数（y=sinx）的性质，及其与复合函数（y=sin（wx+q））的性质之间的关系，有利于指导教师在高中数学教学中整体把握三角函数的教学.
（3）数学正向问题的解决主要依靠形式逻辑推理思维，其解决路径是清晰的、确定的；而数学反向问题的解决需要建立在辩证逻辑思维的基础上，其解决路经需要分析与综合判断．辩证逻辑思维是考生未来进入高等学校学习，进一步开展科学研究需要运用的主要的思维方式.因此，试题有利于考查考生未来的学习潜能，有利于检测考生的辩证逻辑思维能力，对高中数学教学具有引导作用.
知识要点整理
一、正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
图象画法 五点法 五点法
关键五点 ，，(π，0)， ， (0,1)，，(π，－1)， ，(2π，1)
正(余)弦曲线 正(余)弦函数的 叫做正(余)弦曲线
二、正切函数的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
定义域
值域 R
最小正周期 π
奇偶性 奇函数
单调性 在每一个区间(k∈Z)上都单调递增
对称性 对称中心(k∈Z)
三、 函数的周期性
1．函数的周期性
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个 ，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做周期函数． 叫做这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．
四、 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
定义域 R R
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 2π 2π
奇偶性 奇函数 偶函数
正弦函数、余弦函数的单调性与最值
正弦函数 余弦函数
图象
定义域 R R
值域 [ ] [ ]
单调性 在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递增， 在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递减 在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都单调递增， 在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)上都单调递减
最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝ (k∈Z)时，ymax＝1； x＝ (k∈Z)时，ymin＝－1
三年真题
一、单选题
1．已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递增
4．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
7．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
9．函数是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
10．函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
11．下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
13．下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
14．已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
三、填空题
15．记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
【答案】
【详解】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
16．已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
17．已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
四、解答题
18．设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
19．小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下：
0
0 3 0 -3 0
根据表中数据，求：
（1）实数，，的值；
（2）该函数在区间上的最大值和最小值.
20．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
三年模拟
1．函数的图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
2．下列四个函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，函数的图象由图象向右平移个单位得到，则下列关于函数的图象说法正确的是（ ）
A．关于y轴对称 B．关于原点对称
C．关于直线对称 D．关于点对称
5．对于函数，给出下列四个命题：
（1）该函数的值域是；
（2）当且仅当时，该函数取最大值；
（3）该函数的最小正周期为；
（4）当且仅当时，；
其中所有正确命题个数是（ ）
A． B． C． D．
6．对于函数，给出下列五个命题：
（1）该函数的值域是；
（2）当且仅当或时，该函数取最大值1；
（3）该函数的最小正周期为2π；
（4）当且仅当时，；
（5）当且仅当时，函数单调递增；
其中所有正确命题的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知，，则函数的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
8．函数在上的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
9．设，若向量、、满足，且，则满足条件的k的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知函数，下列说法中，正确的是（ ）
A．函数不是周期函数
B．点是函数图象的一个对称中心
C．函数的增区间为
D．函数的最大值为
