第10讲 用导数研究函数性质
真题展示
2022新高考一卷第10题
已知函数，则
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
【思路分析】对函数求导，判断其单调性和极值情况，即可判断选项；由，可判断选项；假设是曲线的切线，设切点为，求出，的值，验证点是否在曲线上即可．
【解析】
【解法一】(验证切点)：，令，解得或，令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，且，
有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项正确，选项错误；
又，则关于点对称，故选项正确；
假设是曲线的切线，设切点为，则，解得或，
显然和均不在曲线上，故选项错误．
故选：．
【解法二】 (二级结论)：对于A、B的判断，同法一；
对于C，应用结论：三次函数的对称中心为其拐点，而拐点的横坐标满足。
(x)=3 1,(x)=6x，由(x)=6x=0得x=0，f(0)=1，故点(0,1)是曲线y= f(x)的对称中心，C正确；
对于D，设过原点的直线与函数f(x)切于点(m,n)，则切线斜率k=3 1=，解得m=≠2，D错误 。
【解法三】(平移)：对于A、B的判断，同法一；
对于C，f(x)是由g (x)=x向上平移一个单位而得到，显然g(x)是奇函数，其对称中心为(0,0)，将其向上平移一个单位得到f(x)的对称中心(0,1)。下同法二。
【试题评价】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
试题亮点
试题通过设计适当的函数，将函数的单调性、极值、零点、切线、函数图像等概念和性质有机地整合到所创设的问题情境中，设问简洁，考查点全面.试题既注重基础，又能使考生主动探究的能力得到展示.试题着重考查考生的理性思维素养和数学探究素养，为高校选拔人才提供有效依据.
知识要点整理
一、 函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负 f(x)的单调性
f′(x)>0 单调递增
f′(x)<0 单调递减
二、 利用导数判断函数的单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求出导数f′(x)的零点；
(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
三、 函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 快 比较“陡峭”(向上或向下)
越小 慢 比较“平缓”(向上或向下)
四、 函数极值的定义
1．极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
五、 函数极值的求法与步骤
1．求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
2．求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)列表；
(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
六、 函数最值的定义
1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．
思考 如图所示，观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，找出函数f(x)在区间[a，b]上的最大值、最小值．若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？
答案 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是f(x3)．
若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值．
七、 求函数的最大值与最小值的步骤
函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；
(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
三年真题
一、单选题
1．是定义在上的非负可导函数，且满足．对任意正数a，b，若，则必有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：令，，
所以在上为常函数或递减,
若在上为单调递减，所以，
即①，②
①②两式相乘得：
所以，
若在上为常函数，且，则，
即③，④，
③④两式相乘得：
所以，
综上所述，
故选：A
2．设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，．且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】令，则，因此函数在上是奇函数．
①当时，，在时单调递增，
故函数在上单调递增．
，
，
．
②当时，函数在上是奇函数，可知：在上单调递增，且（3），
，的解集为．
③当时，，不符合要求
不等式的解集是，，．
故选：D
3．用计算器验算函数的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是（ ）
A．在上是单调减函数 B．的值域为
C．有最小值 D．
【答案】D
【详解】由得，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，A错误
，B错误；
在上单调递增，在上单调递减，其在上无最小值，C错误；
综上，可排除,
故选：D.
4．已知，在下列不等式中成立的一个是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】A.令 ，则，函数在上单调递增，所以，即.故选项A不正确.
B.当时，，当时，.故选项B不正确.
C. 时，.故选项C不正确.
D.由C选项知选项D正确.
故选：D.
5．设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由导函数的图象可得当时，,函数单调递增；
当时，,函数单调递减；
当时，,函数单调递增.
只有C选项的图象符合.
故选:C.
6．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【详解】解：由导函数在区间内的图象可知，函数在内的图象与轴有四个公共点，
在从左到右第一个交点处导数左正右负，它是极大值点；在从左到右第二个交点处导数左负右正，它是极小值点；在从左到右第三个交点处导数左正右正，它不是极值点；在从左到右第四个交点处导数左正右负，它是极大值点.所以函数在开区间内的极小值点有个.
故选：A.
7．当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
8．函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：D
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
10．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵球的体积为，所以球的半径,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以当且仅当取到，
当时，得，则
当时，球心在正四棱锥高线上，此时，
，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是
二、多选题
11．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
【答案】AC
【详解】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：AC.
12．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
三年模拟
一、单选题
1．设定义R在上的函数，满足任意，都有，且时，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】依题意，任意，都有，所以是周期为的周期函数.
所以.
构造函数，
所以在区间上单调递增，所以，
即，也即.
故选：A
2．设是函数的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令，则，
因为，
所以，
所以函数在上为增函数，
不等式即不等式，
又，，
所以不等式即为，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
3．已知函数，下列说法中，正确的是（ ）
A．函数不是周期函数
B．点是函数图象的一个对称中心
C．函数的增区间为
D．函数的最大值为
【答案】C
【详解】对于A，，
故函数是周期函数，A错；
对于B，
，
所以，点不是函数图象的一个对称中心，B错；
对于C，由，
可得，解得，
所以，函数的增区间为，C对；
对于D，由可得，解得，
所以，函数的单调递减区间为.
由A知，函数为周期函数，且为函数的一个周期，
不妨考虑函数在区间上的最大值，
由题意知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，，D错.
故选：C.
4．已知函数有两个极值点，若，则关于x的方程的不同实根个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】解：，
由题意知是函数的两个极值点，即是方程的两根，
从而关于的方程有两个根，或，
若，所以根据题意画图，
由图可看出有两个不等实根，只有一个不等实根，
综上方程的不同实根个数为3个.
故选：B.
5．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设，.
则，设，.
，所以在单调递增，.
所以，即在单调递增，
所以，即，即，.
设，，
所以在单调递增，，即.
所以，即，即，
所以.
故选：A
6．的最小值是，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】当时，，令，得，则在上单调递减，上单调递增，即函数在处取得最小值，
所以问题转化为在上恒成立，
令，则在上恒成立
当时，不符合.
当时，对称轴，则或
解得或，
所以
故选：A.
7．已知函数在上存在导函数，对于任意的实数x都有，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令，∵当时，，则，所以当时，函数单调递减．
因为对于任意的实数x都有，所以，即为偶函数，
所以当时，函数单调递增．
又，，，
又，所以，即，
故选:C．
8．给出定义：若函数在区间D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数.记，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.若在上是凸函数，则实数a可取的最大整数值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】因为，
由凸函数的定义可得，在恒成立，
即在恒成立，
且当时，，
所以，则实数a可取的最大整数值为
故选:C.
9．已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，定义域关于原点对称，
，
所以为上的偶函数，
当时,，设，
则，，，
所以即在上单调递减,所以,
所以在上单调递减,又因为为偶函数,
所以在上单调递增，
又因为,,
又因为,
因为,，所以,
所以，即,
所以,
所以,
即.
故选：D.
10．已知，且，则下列说法正确的有（ ）
①； ② ；③； ④.
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④
【答案】B
【详解】令，则，
当时，；当时，；
故在上为增函数，在上为减函数，
而，，故，
而，故，故①错误.
又，故，
故②正确， 此时，故④正确.
设，
则（不恒为零），
故在上为增函数，
故，必有即，
所以，即，
由的单调性可得即，故③成立.
故选：B.
二、多选题
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数在定义域内是减函数
B．存在一个实数，使得函数满足
C．对于任意的实数，函数无极值点
D．当时，若曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，则
【答案】BC
【详解】A选项：当时，，定义域为，显然函数在定义域内不具有单调性，故A不正确；
B选项：当时，，此时满足，故B正确；
C选项：当时，，此时函数是常函数，无极值点；当时，函数，在和上都是单调的，因此不存在极值点，故C正确；
D选项：当时，由，，，因此曲线在点处的切线方程为，即，则切线与坐标轴交点坐标为：，，所以，解得或，故D不正确.
故选：BC.
12．已知函数，则（ ）
A．在上有7个零点 B．的图象关于直线对称
C．的最小正周期为 D．的值域为
【答案】AD
【详解】A选项：令，得或.由，得，因为，所以或；由，得，因为，所以或或或或.故在上有7个零点，故A正确.
B选项：因为，，所以，则的图象不关于直线对称，故B错误.
C选项：，故C错误.
D选项：，令，则，令，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.而，，所以，，即的值域为，故D正确.
故选：AD
【点睛】关键点睛：利用换元法，结合导数的性质是解题的关键.
13．已知函数（，，），则下列说法正确的是（ ）
A．若实数是的两个不同的极值点，且满足，则或
B．函数的图象过坐标原点的充要条件是
C．若函数在上单调，则
D．若函数的图象关于点中心对称，则
【答案】ABD
【分析】对于A：由题意知实数是的两个不等实根，得到，，再由得，最后由可求得的取值范围；对于B：从充分性和必要性两方面分别进行证明即可；对于C：由函数在上单调，则一定有恒成立，显然C不正确；对于D：由题意知恒成立，可求得，D正确.
【详解】A选项：，由题意知实数是方程的两个不等实根，（注意：极值点与导函数的零点之间的关系）
所以，且，，由，得，所以，解得或，所以A正确；
B选项：若函数的图象过坐标原点，则，故必要性成立；反之，若，则，故函数的图象过坐标原点，充分性成立，所以B正确；
C选项：若函数在上单调，则恒成立，所以，即，所以C不正确；
D选项：因为函数的图象关于点中心对称，所以，即，整理得，所以，所以D正确.
故选：ABD.
14．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极大值点为
B．有且仅有3个零点
C．点是的对称中心
D．
【答案】BCD
【分析】求出，得到函数的单调区间，即可求得极值，要注意极值点是一个数，可判断A项；根据极大值、极小值的正负，可得到函数零点的个数，即判断B项；根据的解的情况，可判断C项；由对称中心可推得，用倒序相加法即可求得式子的和，判断D项.
【详解】由题意知.
令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递增；
令，解得，所以在上单调递减.
又，.
所以，在处有极大值，在处有极小值.
所以的极大值点为-2，A项错误；
又极大值，极小值，作出的图象，
有图象可知，有且仅有3个零点，故B正确；
，令，解得，
又，由题意可知，点是的对称中心，故C正确；
因为点是的对称中心，所以有，即.
令，
又，
所以
，，所以.故D正确.
故选：BCD.
15．已知为坐标原点，抛物线：（）的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，点为抛物线上的动点，则（ ）
A．的最小值为
B．的准线方程为
C．
D．当时，点到直线的距离的最大值为
【答案】BCD
【分析】根据抛物线的焦点坐标以及标准方程，结合抛物线的定义，利用图象，可得A、B的正误；设出直线的方程，联立直线与抛物线，写出韦达定理，根据数量积的坐标运算，整理函数关系，可得C的正误；利用两平行线之间的距离公式，结合导数求得范围，可得D的正误.
【详解】对于A、B，由抛物线的焦点，则，即，其准线方程为，
设点到准线的距离为，则，
设点到准线的距离为，易知，如下图：
故A错误，B正确；
对于C，由题意可知，过点的直线可设为，代入抛物线，可得，
设，则，
，
将代入上式，可得，故C正确；
对于D，由C可得直线的方程为，可设直线的方程为，
易知点到直线的距离等于两平行线与的距离，
令，，
当时，，当时，，
则在和上单调递减，在上单调递增，
由当时，，当时，，则，，可得，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】直线与圆锥曲线的位置问题，常用思路，联立直线与圆锥曲线，写出韦达定理，解得题目中其他条件，整理方程，可求得参数的值或者参数之间的等量关系，也可整理函数关系，求解范围.
16．已知函数则下列结论正确的有（ ）
A．当时，是的极值点
B．当时，恒成立
C．当时，有2个零点
D．若是关于x的方程的2个不等实数根，则
【答案】ABD
【分析】对于A，代入后对求导，利用导数与函数极值的关系即可得证；对于B，构造函数，利用导数求得，从而可证得；对于C，举反例排除即可；对于D，利用极值点偏移的证明方法即可证得.
【详解】对于A，当时，，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，故A正确；
对于B，令，得，
令，则，
令，解得，
故当，，单调递增；当，，单调递减；
所以，
因为，所以，故，整理得，即恒成立，故B正确；
对于C，令，则，令，解得，故只有1个零点，故C错误；
对于D，因为是关于的方程的2个不等实数根，
所以，即，
所以问题等价于有两个零点，证明，
不妨设，则由得到，
要证，只需要证明，
即只需证明：，
只需证明：，即，
令，
只需证明：，
令，
则，即在上单调递增，
又，所以，即恒成立，
综上所述，原不等式成立，即成立，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
17．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上是增函数
B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为
C．若有两个零点，则
D．若，且，则的最大值为
【答案】ABD
【分析】A选项中，令，利用导数可求得单调性，根据复合函数单调性的基本原则可知A正确；B选项中，利用导数可求得在上单调递增，由此可将恒成立的不等式化为，令，利用导数可求得，由可知B正确；C选项中，利用导数可求得的单调性，由此确定，若，可等价转化为，令，利用导数可求得单调性，从而得到，知，可得C错误；D选项中，采用同构法将已知等式化为，从而可确定，结合单调性得到，由此化简得到，令，利用导数可求得最大值，知D正确.
【详解】对于A，当时，，令，则，，
，当时，恒成立，在上单调递增；
在上单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上为增函数，A正确；
对于B，当时，，又为正实数，，
，当时，恒成立，在上单调递增，
则由得：，即，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
，则正实数的最小值为，B正确；
对于C，，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；，则；
不妨设，则必有，
若，则，等价于，
又，则等价于；
令，则，
，，，，即，
在上单调递增，，即，
，可知不成立，C错误；
对于D，由，得：，即，
由C知：在上单调递减，在上单调递增；
，，则，，
，即，；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
即的最大值为，D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：本题C选项考查了导数中的极值点偏移问题；处理极值点偏移中的类似于（）的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导后可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.第10讲 用导数研究函数性质
真题展示
2022新高考一卷第10题
已知函数，则
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
试题亮点
试题通过设计适当的函数，将函数的单调性、极值、零点、切线、函数图像等概念和性质有机地整合到所创设的问题情境中，设问简洁，考查点全面.试题既注重基础，又能使考生主动探究的能力得到展示.试题着重考查考生的理性思维素养和数学探究素养，为高校选拔人才提供有效依据.
知识要点整理
一、 函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负 f(x)的单调性
f′(x)>0 单调递增
f′(x)<0 单调递减
二、 利用导数判断函数的单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求出导数f′(x)的零点；
(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
三、 函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 快 比较“ ”(向上或向下)
越小 慢 比较“ ”(向上或向下)
四、 函数极值的定义
1．极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数y＝f(x)的极小值点， 叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
五、 函数极值的求法与步骤
1．求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是 ；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是 ．
2．求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；
(2)求方程 根；
(3)列表；
(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
六、 函数最值的定义
1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．
思考 如图所示，观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，找出函数f(x)在区间[a，b]上的最大值、最小值．若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？
答案 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是f(x3)．
若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值．
七、 求函数的最大值与最小值的步骤
函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；
(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
三年真题
一、单选题
1．是定义在上的非负可导函数，且满足．对任意正数a，b，若，则必有（ ）
A． B．
C． D．
2．设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，．且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
3．用计算器验算函数的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是（ ）
A．在上是单调减函数 B．的值域为
C．有最小值 D．
4．已知，在下列不等式中成立的一个是（ ）
A． B． C． D．
5．设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
8．函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
12．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
三年模拟
一、单选题
1．设定义R在上的函数，满足任意，都有，且时，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．设是函数的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，下列说法中，正确的是（ ）
A．函数不是周期函数
B．点是函数图象的一个对称中心
C．函数的增区间为
D．函数的最大值为
4．已知函数有两个极值点，若，则关于x的方程的不同实根个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．的最小值是，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数在上存在导函数，对于任意的实数x都有，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，且，则下列说法正确的有（ ）
①； ② ；③； ④.
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④
二、多选题
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数在定义域内是减函数
B．存在一个实数，使得函数满足
C．对于任意的实数，函数无极值点
D．当时，若曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，则
12．已知函数，则（ ）
A．在上有7个零点 B．的图象关于直线对称
C．的最小正周期为 D．的值域为
13．已知函数（，，），则下列说法正确的是（ ）
A．若实数是的两个不同的极值点，且满足，则或
B．函数的图象过坐标原点的充要条件是
C．若函数在上单调，则
D．若函数的图象关于点中心对称，则
14．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极大值点为
B．有且仅有3个零点
C．点是的对称中心
D．
15．已知为坐标原点，抛物线：（）的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，点为抛物线上的动点，则（ ）
A．的最小值为
B．的准线方程为
C．
D．当时，点到直线的距离的最大值为
16．已知函数则下列结论正确的有（ ）
A．当时，是的极值点
B．当时，恒成立
C．当时，有2个零点
D．若是关于x的方程的2个不等实数根，则
17．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上是增函数
B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为
C．若有两个零点，则
D．若，且，则的最大值为
