【解析版】湖南省张家界市一中2013-2014学年高一下学期第一次月考数学试题

第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是(　　)
A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱
2.如图所示，用符号语言可表达为(　 　)
A． B．
C． D．
3.用、、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：
①若∥，∥，则∥； ②若⊥，⊥，则⊥；③若∥，∥，则∥；
④若⊥，⊥，则∥.其中正确命题的序号是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④
4.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　 ）
A.2 B.1 C. D.
5.点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC＝BD，且AC与 BD所成角的大小为90°，则四边形EFGH是(　 　)
A．梯形 B．空间四边形 C．正方形 D．有一内角为60o的菱形
6.若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确命题是(　 　)
A．若，则 B．若，∥，则∥
C．若，∥，则 D．若则
【答案】C
【解析】
试题分析：分别如图所示：故A不正确；此图显示与相交，故B不正确；
7.以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（　 　　　）
Ａ.　3x-y+8=0 B. 3x+y+4=0 C . 3x-y+6=0 D. 3x+y+2=0
8.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为１的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：根据，等腰梯形的面积为,所以原图像的面积为，故选A.
考点：斜二测画法
9.将边长为的正方形沿对角线折起，使，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
10.已知直线过点且与线段相交，那么直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11.直线的倾斜角的大小为 。
【答案】
【解析】
试题分析：,所以倾斜角为.
考点：1.直线方程；2.倾斜角和斜率.
12.一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为________．
【答案】
【解析】
试题分析：设底面半径,,,.
考点：圆柱表面积
13.如图，已知正方体中，分别是的中点．
则直线和所成的角为__________．
14.如图，二面角的大小是60°，线段，在上， 与所成的角为30°，则 　
【答案】
【解析】
15.棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱的中点，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则
（1）直线被球截得的线段长为__________________．
（2）四面体的体积的最大值是
【答案】(1);(2).
【解析】
试题分析：（1）因为点在圆上，为中点，所以直线被球截得的线段长为正方形的外接圆直径，等于，（2）过做与点，连接∵，，
平面∥平面，为平面与两平行平面的交线，
，又，，平面，
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.(本小题满分12分)
(1)当为何值时，直线与直线平行？
(2)当为何值时，直线与直线垂直？
17.（本小题满分12分）
(1)求经过点A（3，2），B（-2，0）的直线方程。
（2）求过点P(-1，3),并且在两轴上的截距相等的直线方程；
18.（本小题满分12分）
已知圆台的上、下底面半径分别是2、6，且侧面面积等于两底面面积之和。
（Ⅰ）求该圆台的母线长；（Ⅱ）求该圆台的体积。
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得，圆台的高为．8分
∴ ＝＝ 12分
考点：圆台的表面积和体积
19.(本小题满分13分)
如图所示，在三棱柱中，，，点分别是的中点．
(1)求证：平面∥平面；
(2)求证：平面⊥平面；
（3）若，，求异面直线所成的角。
【答案】详见解析
【解析】
试题分析：（1）根据平面几何可证,可证得面面垂直；（2）根据D是AB的中点，可证面，证得面面垂直；（3）异面直线所成的角，转化成相交直线所成的角，然后在所在三角形内解决角的问题.
考点：1.面面垂直的判定；2.面面平行的判定；3.异面直线所成的角.
20.（本小题满分13分）
如图，在等腰直角三角形中， =900 ，=6, 分别是，上的点， 为的中点.将沿折起，得到如图所示的四棱椎，其中
（1）证明：；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
证明: (1)设F为ED的中点，连接OF,A’F,计算得A’F=2，OF=1
∵A’F为等腰△A’DE底边的中线，∴A’F⊥DE
∵OF在原等腰△ABC底边BC的高线上，
∴OF⊥DE
又∵A’F，OF平面A’OF, A’FOF=F,
∴DE⊥平面A’OF
∵A’O平面A’OF, ∴DE⊥A’O
在△A’FO中，A’+=3+1=,∴A’O⊥OF
∵OFDE=F,OF平面BCDE,DE平面BCDE, ∴A’O⊥平面BCDE 6分
21.（本小题满分13分）
如图，是圆的直径,点是圆上异于的点，直线 分别为的中点。
（Ⅰ）记平面与平面的交线为，试判断与平面的位置关系，并加以说明；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线与圆的另一个交点为，且点满足，记直线
平面所成的角为异面直线与所成的锐角为，二面角的大小为
1 求证：
②当点为弧的中点时，，求直线与平面所成的角的正弦值。
【答案】详见解析
【解析】
，且平面平面，所以∥. 因为平面，平面，所以直线∥平面..4分
（Ⅱ）①
证明：如图，
连接，由（Ⅰ）可知交线即为直线，且∥. 因为是的直径，所以，于是.
已知平面，而平面，所以.而，所以平面.连接，，因为平面，所以.故就是二面角的平面角，即. 由，作∥，且. 连接，，因为是的中点，，所以，
从而四边形是平行四边形，∥.连接，因为平面，所以是在平面内的射影，故就是直线与平面所成的角，即. 又平面，有，知为锐角，故为异面直线与所成的角，即， 8 分
于是在△，△，△中，分别可得，，，
从而，即. 9分
②因为∥，所以直线与平面所成的角就为CF与平面所成的角
过点C作CG⊥BF,垂足为G，因为平面所以CG，又所以CG⊥平面
故就是直线与平面所成的角， 故直线与平面所成的角的正弦值为 13分
考点：1.线面平行的判定；2线面平行的性质；3.线面垂直的判定；4.二面角；5.线面角.