第14讲 圆与圆的位置关系
真题展示
2022新高考一卷第14题
写出与圆和都相切的一条直线的方程 （填，都正确） ．
【思路分析】由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．分别求出三条切线方程，则答案可求．
【解析】【解法一】(特殊点对称法)圆的圆心坐标为，半径，
圆的圆心坐标为，半径，
如图：
，两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．
，的斜率为，设直线，即，
由，解得（负值舍去），则；
由图可知，；与关于直线对称，
联立，解得与的一个交点为，在上取一点，
该点关于的对称点为，，则，解得对称点为，．
，则，即．
与圆和都相切的一条直线的方程为：
（填，都正确）．
故答案为：（填，都正确）．
【解法二】(转化过点的圆切线)：显然两圆的圆心距为5=1+4，即两圆相外切，故两圆有三条公切线。
设两圆的圆心分别为O，M，易得OM：3y=4x，与圆O方程联立解得x=，y=(只取第一象限)，从而两圆的公切点为N(，)，过N与OM垂直的直线方程为y =(x )，即3x+4y 5=0.此为过N的两圆的一条公切线。
延长MO到P，使得4=，则P为另两条公切线的交点，且==( 1, )，
当切线的斜率不存在时，过P与圆O相切的直线为x+1=0，适合题意；
当切线斜率存在时，设切线方程为y+=k(x+1)，则由点到直线的距离公式得=1，解得k=，故切线方程为y+=(x+1)，即7x 24y 25=0.
综上，两圆的三条公切线方程为：3x+4y 5=0，x+1=0，7x 24y 25=0。
【解法三】(硬算)：当两圆的公切线斜率不存在时，设切线为x=m，则|m|=1且|m 3|=4，解得m= 1，故两圆的一条公切线为x= 1；
当两圆的公切线斜率存在时，设两圆的公切线为y=kx+b，则=1，且=4,联立解得或故两圆的公切线方程为y=x+，y=x。
综上，两圆的三条公切线方程为：x= 1，y=x+，y=x。
【试题评价】本题考查圆的切线方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
考查目标
试题以两个已知圆为背景，通过圆的方程可知两个圆的基本信息以及两个圆的位置关系，由此可以求出所求公共切线的方程. 试题考查了圆与圆、直线和圆的位置关系等基本概念，重点考查了考生逻辑推理能力、运算求解能力和综合运用知识解决问题的能力.试题的解法以通性通法为基础，为不同能力水平的考生提供了展示空间．如果考生能够将数与形相结合，那么运算过程将更为简捷.
试题亮点
试题背景来源于教材，考查了直线和圆的基本性质，对平面几何与解析几何等知识综合应用的考查作了较好的设计.若考生从问题的简单情景中能应用圆的定义去分析问题，则解答过程会更加简捷，从而体现出考生思维的灵活性．试题为考生提供的思考角度是多样的，考生可以根据自己的能力水平想到不同的解题路径和方法．试题对考生的数学运算、逻辑推理等数学学科素养的考查有较好的体现.
此外，试题具有很好的开放性.考生可以用通性通法求解，但相对而言有些方法计算会复杂一些．因此，试题突出考查考生的逻辑推理能力，通过"看一看""推一推""想一想""算一算"，能够对不同思维水平的考生进行区分，全面系统地考查考生对核心概念、基本原理、基本方法的掌握程度．试题基于数学的基础知识，但又打破了固有的命题模式.
知识要点整理
知识点一 圆的标准方程
(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.
(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.
知识点二 点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内 |CM|知识点三 圆的一般方程
1．圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件 图形
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点
D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆
知识点四 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ dr
代数法： 由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
归纳要点
解决实际问题的一般程序
仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案．
知识点二 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线，将平面几何问题转化为代数问题．
第二步：通过代数运算，解决代数问题．
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．
知识点五 两圆的位置关系及其判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|< d(2)代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含
三年真题
一、单选题
1．若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选：A．
2．已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题可得圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离，
则弦长为，
则当时，弦长取得最小值为，解得.
故选：C.
3．直线关于点对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为，
则其关于点对称的点的坐标为，
因为点在直线上，
所以即.
故选：D.
4．已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.
故选：B.
5．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【详解】设圆心，则，
化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，
故选：A.
6．已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即．
故选：D.
7．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D.
8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
9．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
10．点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【详解】由可知直线过定点，设，
当直线与垂直时，点到直线距离最大，
即为.
故选：B.
11．已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，
设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时
根据弦长公式得最小值为.
故选：B.
二、多选题
12．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【详解】圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
13．已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
三、填空题
14．若直线与圆相交所得的弦长为，则_____．
【答案】
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理可得，因为，解得.
故答案为：.
15．设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
16．设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
【答案】
【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为.
故答案为：
17．过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】或或或．
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为，
（1）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（2）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（3）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；
故答案为：或 或 或．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，
则，所以圆的方程为；
（2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；
（3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为；
（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为．
故答案为：或 或 或．
18．写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【答案】或或
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，
于是，
故①，于是或，
再结合①解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，
填一条即可
[方法二]：
设圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
则，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，
直线OC与直线的交点为，
设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
[方法三]：
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
19．若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
【答案】
【详解】设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，
因为，故.
故答案为：.
20．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．
【答案】5
【详解】因为圆心到直线的距离，
由可得，解得．
故答案为：．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________．
【答案】
【详解】
设圆心到直线距离为，则，
所以点P到AB的距离为或，且
所以
令（负值舍去）
当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为，
故答案为：
22．设直线与圆和圆均相切，则_______；b=______．
【答案】
【详解】设，，由题意，到直线的距离等于半径，即，，
所以，所以（舍）或者，
解得.
故答案为：
三年模拟
一、单选题
1．已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由圆方程得：圆心，半径；
直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，
圆心到直线的距离，
即，解得：，的最小值为.
故选：D.
2．已知圆的弦AB的中点为，直线AB交y轴于点M，则的值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】A
【详解】由题设可得，圆心，则．
根据圆的性质可知，，
∴AB所在直线的方程为，即．
联立方程，可得：，
设，，则，故，
中，令，得，
∴.
故选：A．
3．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为直线分别与轴，轴交于两点，
所以令，得，所以，
令，得，所以，
所以，
因为圆的方程为，
所以圆心坐标为，半径为，
所以圆心到直线的距离为
,
设点到直线的距离为，
所以，即，于是有，
所以，
故面积的取值范围为.
故选: A.
4．已知，，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．相离
【答案】B
【详解】设,由题意可知,
整理得,点的轨迹方程为,
其图形是以为圆心，以2为半径的圆，
而圆的圆心坐标为,半径为1,
可得两圆的圆心距为3,等于,
则动点的轨迹与圆的位置关系是外切.
故选：B.
5．已知圆的半径为3，圆的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（ ）
A．0 B．4 C．8 D．12
【答案】C
【详解】因为两圆相交，所以两圆的圆心距即，仅有C满足，
故选：C
6．设，已知直线与圆，则“”是“直线与圆相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为直线与圆，
由点到直线的距离公式可得:，解得：且，
因为成立，则且一定成立，
但且成立，则不一定成立，
所以“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件，
故选：A.
7．直线：和圆：在同一坐标系的图形只能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】∵圆的方程可化为：，
∴圆心，半径，
又直线的方程可化为：.
由4个选项的圆心都在第三象限，
∴，∴，∴排除选项C，D.
又圆心到直线的距离，
∴直线与圆相切，故选项A正确，选项B错误．
故选：A．
8．已知点P是曲线上的动点，则点P到直线的距离的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由得，所以曲线C是以为圆心，的圆，
因为点到直线的距离为，
所以点P到直线的距离的最大值为.
故选：B．
9．已知斜率存在的直线l与圆C：相交于P，Q两点，点A为圆C与y轴正半轴的交点，记直线AP，AQ的斜率分别为，，当时，直线l恒过点（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设直线l的方程为，，
联立直线与圆的方程可得，消去可得
结合韦达定理可得
由题知，由，得，
整理得，
所以，
化简得，所以直线l的方程为，即，
由，得，故直线l恒过点，
故选:A．
10．已知直线与圆相切，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，得，
所以圆心，半径.
因为直线与圆相切，
所以，解得，
故选:A.
二、多选题
11．如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点，以x轴非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，P，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．扇形的面积为
C．
D．当时，四边形的面积为
【答案】AD
【详解】由题意圆的半径
选项A：由题意得
所以
所以，故A正确；
选项B：因为，
所以扇形的面积，
故B错误；
选项C，
故C错误；
选项D：
因为，
所以
故D正确
故选：AD.
12．己知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则（ ）
A．直线l恒过点 B．当时，圆C关于直线l对称
C．的取值范围为 D．若，则
【答案】ABD
【详解】选项A：直线l的方程可化为，令，得，故直线l恒过点， A正确；
选项B：当时，直线l的方程可化为，圆C的标准方程为，圆心在直线l上，故圆C关于直线l对称，B正确.
选项C：当直线l经过圆心时，最大，为直径；易知点是圆C内的一点，所以当直线l与直线CM垂直时，最小，为，所以的取值范围为，C错误.
选项D：若，则，又当时，圆心C到直线l的距离为3，所以，解得，D正确，
故选：ABD
三、填空题
13．已知正实数满足，则的取最小值___________.
【答案】
【详解】设直线，点在直线上，且在第一象限，
设点，
所以，
如图所示，
点A关于直线对称的点设为，
则有解得，
所以，由图可知，当在直线时，
最小，最小值为，
即的最小值为，
故答案为：.
14．在平面直角坐标系中，，两点绕定点按顺时针方向旋转角后，分别到，两点位置，则的值为______．
【答案】##
【详解】依题意，点P在线段的中垂线上，点P也在线段的中垂线上，
连，而，，，，因此，
而，即，有，于是得，
直线过中点，而直线斜率为1，则直线的斜率为-1，方程为，直线的方程为，
于是得点，令直线交于点，，，，
所以.
故答案为：
15．设．若直线与曲线仅有一个公共点，则______．
【答案】
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，由题意可得，解得.
故答案为：.
16．直线与直线的夹角大小为________.
【答案】##
【详解】因为直线的斜率不存在，倾斜角为，
直线的斜率为，倾斜角为，
故直线与直线的夹角为，
故答案为：．
17．已知方程组无解，则实数的值等于______.
【答案】
【详解】由题知，方程组无解，
所以直线与直线平行，
所以，解得，
当时，两直线重合，方程组有无数解，不满足题意，
当时，两直线平行，方程组有无解，满足题意，
故答案为：
18．已知圆的方程为，是圆上一动点，点，为线段的中点，则的最小值为__________.
【答案】##
【详解】设，，点为线段的中点，有，得，
在圆上，满足圆的方程，则有，化简得点轨迹方程为，
点轨迹为以为圆心，1为半径的圆，如图所示，
，所以的最小值为.
故答案为：
19．若直线过，且被圆截得的弦长为，则直线方程为______
【答案】或
【详解】由，得，
所以圆的标准方程为，即圆的圆心坐标为，半径为，
因为直线被圆截得的弦长为，
所以圆心到直线的距离为，
当斜率不存在时，直线的方程为，也符合题意；
当斜率存在时，设直线的方程为，即，
因为圆心到直线：的距离为，
所以，解得 ，
所以直线方程为 ．
即所求直线 的方程为或．
故答案为：或．
20．由直线上的点向圆：引两条切线和（为切点），设，则的最小值为___________，此时点的坐标为___________.
【答案】 ##
【详解】圆：的圆心为，半径，
则点到直线的距离.
连接，设，则，
∵，，则，
∴，当且仅当时等号成立，
故最小值为；
当与直线垂直时，取到最小值时，
设直线的方程为，
代入得，解得，
即直线的方程为，
联立方程，解得，
故点的坐标为.
故答案为：，.第14讲 圆与圆的位置关系
真题展示
2022新高考一卷第14题
写出与圆和都相切的一条直线的方程 ______________
考查目标
试题以两个已知圆为背景，通过圆的方程可知两个圆的基本信息以及两个圆的位置关系，由此可以求出所求公共切线的方程. 试题考查了圆与圆、直线和圆的位置关系等基本概念，重点考查了考生逻辑推理能力、运算求解能力和综合运用知识解决问题的能力.试题的解法以通性通法为基础，为不同能力水平的考生提供了展示空间．如果考生能够将数与形相结合，那么运算过程将更为简捷.
试题亮点
试题背景来源于教材，考查了直线和圆的基本性质，对平面几何与解析几何等知识综合应用的考查作了较好的设计.若考生从问题的简单情景中能应用圆的定义去分析问题，则解答过程会更加简捷，从而体现出考生思维的灵活性．试题为考生提供的思考角度是多样的，考生可以根据自己的能力水平想到不同的解题路径和方法．试题对考生的数学运算、逻辑推理等数学学科素养的考查有较好的体现.
此外，试题具有很好的开放性.考生可以用通性通法求解，但相对而言有些方法计算会复杂一些．因此，试题突出考查考生的逻辑推理能力，通过"看一看""推一推""想一想""算一算"，能够对不同思维水平的考生进行区分，全面系统地考查考生对核心概念、基本原理、基本方法的掌握程度．试题基于数学的基础知识，但又打破了固有的命题模式.
知识要点整理
知识点一 圆的标准方程
(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.
(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.
知识点二 点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内 |CM|知识点三 圆的一般方程
1．圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件 图形
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点
D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆
知识点四 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ dr
代数法： 由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
归纳要点
解决实际问题的一般程序
仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案．
知识点二 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线，将平面几何问题转化为代数问题．
第二步：通过代数运算，解决代数问题．
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．
知识点五 两圆的位置关系及其判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|< d(2)代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含
三年真题
一、单选题
1．若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
2．已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则
A． B． C． D．
3．直线关于点对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
6．已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）
A． B． C． D．
7．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
10．点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
11．已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
二、多选题
12．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
13．已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
三、填空题
14．若直线与圆相交所得的弦长为，则_____．
15．设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
16．设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
17．过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
18．写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
19．若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
20．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________．
22．设直线与圆和圆均相切，则_______；b=______．
三年模拟
一、单选题
1．已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆的弦AB的中点为，直线AB交y轴于点M，则的值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
3．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．相离
5．已知圆的半径为3，圆的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（ ）
A．0 B．4 C．8 D．12
6．设，已知直线与圆，则“”是“直线与圆相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．直线：和圆：在同一坐标系的图形只能是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知点P是曲线上的动点，则点P到直线的距离的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知斜率存在的直线l与圆C：相交于P，Q两点，点A为圆C与y轴正半轴的交点，记直线AP，AQ的斜率分别为，，当时，直线l恒过点（ ）
A． B．
C． D．
10．已知直线与圆相切，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点，以x轴非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，P，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．扇形的面积为
C．
D．当时，四边形的面积为
12．己知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则（ ）
A．直线l恒过点 B．当时，圆C关于直线l对称
C．的取值范围为 D．若，则
三、填空题
13．已知正实数满足，则的取最小值___________.
14．在平面直角坐标系中，，两点绕定点按顺时针方向旋转角后，分别到，两点位置，则的值为______．
15．设．若直线与曲线仅有一个公共点，则______．
16．直线与直线的夹角大小为________.
17．已知方程组无解，则实数的值等于______.
18．已知圆的方程为，是圆上一动点，点，为线段的中点，则的最小值为__________.
19．若直线过，且被圆截得的弦长为，则直线方程为______
20．由直线上的点向圆：引两条切线和（为切点），设，则的最小值为___________，此时点的坐标为___________.
