第15讲 用导数的几何意义研究曲线的切线
真题展示
2022新高考一卷第15题
若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ，， ．
【思路分析】设切点坐标为，，利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由△即可求出的取值范围．
【解析】【解法一】(切线方程)，设切点坐标为，，
切线的斜率，
切线方程为，
又切线过原点，，
整理得：，
切线存在两条，方程有两个不等实根，
△，解得或，
即的取值范围是，，，
故答案为：，，．
【解法二】法二(切线斜率)：设切点为(m,(m+a))，易得=(x+a+1)，则切线的斜率k=(m+a+1)=，即m(m+a+1)=m+a,+am a=0，依题意其有两个不等实根，故△=+4a>0，解得a< 4或a>0.
【试题评价】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．
知识要点整理
用导数求切线方程的四种类型
求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
下面例析四种常见的类型及解法．
类型一：已知切点，求曲线的切线方程
此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可．
例1 曲线在点处的切线方程为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：由则在点处斜率，故所求的切线方程为，即，因而选Ｂ．
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程
此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．
例2 与直线的平行的抛物线的切线方程是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：设为切点，则切点的斜率为．
．
由此得到切点．故切线方程为，即，故选Ｄ．
评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，代入，得，又因为，得，故选Ｄ．
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．
例3求过曲线上的点的切线方程．
解：设想为切点，则切线的斜率为．
切线方程为．
．
又知切线过点，把它代入上述方程，得．
解得，或．
故所求切线方程为，或，即，或．
评注：可以发现直线并不以为切点，实际上是经过了点且以为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．
例4 求过点且与曲线相切的直线方程．
解：设为切点，则切线的斜率为．
切线方程为，即．
又已知切线过点，把它代入上述方程，得．
解得，即．
评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．
例5 已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程．
解：曲线方程为，点不在曲线上．
设切点为，
则点的坐标满足．
因，
故切线的方程为．
点在切线上，则有．
化简得，解得．
所以，切点为，切线方程为．
评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点．
2、求圆锥曲线的切线
在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。例如，圆的切线定义为与圆只有一个交点的直线，但把这一定义用到其他曲线上就不行了。如直线与抛物线只有一个交点，是的切线，但与抛物线也只有一个交点，但却不是的切线，由此可见，用“一个交点”来定义切线并不能用于所有曲线。而学了微积分的知识后，就可以给出曲线切线的一般定义了。
切线的定义：设是曲线上一定点，是该曲线上的一动点，从而有割线，令沿着曲线无限趋近于，则割线的极限位置就是曲线在的切线（如果极限存在的话）。
这一定义与初等数学中圆的切线定义是一致的（用于讨论圆的切线时），用这一定义也容易证明是的切线，而不是的切线，这一切线定义可用于任何曲线。
导数的几何意义就是曲线在点的切线斜率。故运用上述切线的一般定义和结论，可以处理与切线有关的许多问题。
例6求曲线在时的切线方程。
解：
当时，
又当时，
当时，所求的切线方程为：
即
反思：由此可见，用微积分法解此类问题是多么的简单容易，可是在初等数学中，曲线的切线定义都难得给出，更别说讨论与的切线有关的问题了。
例7已知函数在处取得极值，过点作曲线的切线，求此切线方程。
解：由例4，曲线方程为，点不在曲线上。
设切点为则点的坐标满足，
由于，故切线的方程为.注意到点在切线上,有化简得,解得.因此,切点为,切线方程为.
要点：1.导数是如何定义
2.如何求曲线在点处的切线方程与法线方程。
三年真题
1.已知函数，对于上的任意，有如下条件：①；②；③．其中能使恒成立的条件序号是____________．
【答案】②
【详解】当时，函数，所以在单调递增；
又因为，
所以函数是偶函数，
所以函数在单调递减；
①：当时，取时，显然成立，但是，所以本条件不符合题意，
②：当时，因为时，由单调性知自变量距离y轴越远，函数值越大，所以，所以本条件符合题意；
③：当时，当时，显然成立，但是，所以本条件不符合题意，
故答案为：②.
2．某日中午12时整，甲船自A处以的速度向正东行驶，乙船自A的正北处以的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之距离对时间的变化率是___________．
【答案】-1.6
【详解】中午12时整，甲船自处以的速度向正东行驶，乙船自的正北处以的速度向正南行驶，当日12时30分时，乙船没有到达处，故甲乙两船之间的距离函数是
当日12时30分时，，
此时两船之间距离对时间的变化率是
故答案为：．
3．曲线与在交点处切线的夹角是____________．（用弧度数作答）
【答案】
【详解】由消元可得，，解得，
所以两曲线只有一个交点,
由可得，所以，
由可得，所以，
由直线的夹角公式可得，
由知，.
故答案为：
4．已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
【答案】
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为，所以方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，即图象在上方
当时，，即图象在下方
，图象显然不符合题意，所以．
令，则，
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，故切线方程为，
则有，解得，则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
设函数，则，
若，则在上单调递增，此时若，则在
上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数
且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；
若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.
5．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【答案】
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
6．函数的最大值为______.
【答案】##0.25
【详解】当时，求导得：，令，得，
当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，
则当时，y取得最大值，即，
所以函数的最大值为.
故答案为：
7．曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为，则________.
【答案】
【详解】解：，
，
，
曲线在点处的切线方程为，
即，令，得，
切线与轴，直线所围成的三角形的面积为，解得．
故答案为：．
8．曲线在点(0，1)处的切线方程为________．
【答案】
【详解】解：，
切线的斜率为
则切线方程为，即
故答案为：
9．已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
【答案】
【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.
【详解】由题意，，则，
所以点和点，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案为：
10．写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时，；③是奇函数．
【答案】（答案不唯一，均满足）
【详解】取，则，满足①，
，时有，满足②，
的定义域为，
又，故是奇函数，满足③.
故答案为：（答案不唯一，均满足）
11．已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
12．曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【详解】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
13．函数的最小值为______.
【答案】1
【详解】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
14．在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________．
【答案】
【详解】
设圆心到直线距离为，则，
所以点P到AB的距离为或，且
所以
令（负值舍去）
当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为，
故答案为：
15．设函数．若，则a=_________．
【答案】1
【详解】由函数的解析式可得：，
则：，据此可得：，
整理可得：，解得：.
故答案为：.
16．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
【答案】
【详解】设切线的切点坐标为，
，所以切点坐标为，
所求的切线方程为，即.
故答案为：.
三年模拟
1．已知，则曲线在处的切线方程是___________.
【答案】
【详解】因为，，所以，
即切点为，斜率为，代入点斜式直线方程中
则曲线在处的切线方程是.
故答案为：.
2．若过点只可以作曲线的一条切线，则的取值范围是__________.
【答案】
【详解】解：函数的定义域为，则，设切点坐标为，
则切线斜率为，故切线方程为：，
又切线过点，则，
设，则得，或，
则当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，
又时，，时，，
所以有且只有一个根，且，则，故的取值范围是.
故答案为：.
3．若直线是曲线和的公切线，则实数的值是______.
【答案】1
【详解】设直线与曲线分别相切于点,
对函数求导得,则，
曲线在点处的切线方程为,
即,
对函数求导得,则,
曲线在点处的切线方程为,
即,
所以，化简可得，
故答案为：1.
4．函数的图象在处的切线方程为______.
【答案】
【详解】∵，∴，，∴函数在处的切线方程为.
故答案为：.
5．设曲线的斜率为3的切线为，则的方程为______．
【答案】
【详解】设切线与函数的切点为
又因为，所以在处的导数值为
所以，又因为切点在函数上，即
所以切点为，所以切线方程，即
故答案为：
6．已知函数，则曲线在点处的切线方程是______.
【答案】
【详解】解：因为，
所以，
所以曲线在点处的切线的斜率，
所以切线方程为：，
即或.
故答案为：
7．已知定义在R上的函数满足：①曲线上任意一点处的切线斜率均不小于1；②曲线在原点处的切线与圆相切，请写出一个符合题意的函数______．
【答案】（答案不唯一）
【详解】由②可设过原点且与圆相切的直线为，则，
解得或（舍），结合①知曲线在原点处的切线为．
当时，（答案不唯一，只要符合题意即可）
，满足①．因为，所以曲线在原点处的切线为，满足②．故符合题意．
故答案为：（答案不唯一）
8．已知曲线在某点处的切线的斜率为，则该切线的方程为______.
【答案】
【分析】对函数求导后，利用导数的几何意义列方程求出切点坐标，从而可求出切线方程.
【详解】设切点坐标为（），
由，得（），
因为曲线在处的切线的斜率为，
所以，解得（舍去），或，
所以，
所以切线方程为，即，
故答案为：.
9．若函数在处的切线方程为，则_________．
【答案】
【详解】，所以，所以切线的斜率为3，
又因为，所以切点的坐标为，
所以切线方程为即，
所以，所以.
故答案为:.
10．已知函数的图像与直线相切，则____________
【答案】1
【详解】解：由得
，
设切点坐标为，
则，
解得．
故答案为：1．
11．若曲线的图象总在曲线的图象上方，则的取值范围是______.
【答案】
【详解】∵的图象与关于直线对称，即问题转化为曲线总在直线下方，当直线与曲线相切时，设切点，则切线斜率，又，∴，解得，要满足题意，，
故答案为：
12．已知曲线与曲线有相同的切线，则这条切线的斜率为___________.
【答案】##0.5
【详解】设曲线与曲线的切点分别为，，
又，，
所以，，
所以切线为，即，
，即，
所以，
所以，，即这条切线的斜率为.
故答案为：.
13．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数______．
【答案】
【详解】直线的斜率为：，故切线的斜率为2，
，解得．
故答案为：
14．已知函数，过点作曲线的切线，则的方程为___________.
【答案】
【分析】根据导数的几何意义设切点坐标，利用导数求切线斜率，从而可得切线方程表达式，利用切线过点，解出，即可求得切线方程.
【详解】解：由题意可设切点坐标为，因为，所以，所以切线的斜率，
则的方程为，又点在切线上，所以
解得，所以切线方程为：，即.
故答案为：.
15．已知函数 ，若函数有三个零点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】由题意，函数有三个零点即有三个解，即与的交点个数为3.
作出与的图象，易得当时不成立，故.
当时与必有一个交点，则当有2个交点.
当时，因为恒过定点，此时与或有2个交点.
①当与有2个交点时，考虑临界条件，当与相切时，.
设切点，则，解得，此时切点，；
又最高点为，故此时.
故.
②当与有2个交点时，考虑临界条件，当与相切时，，即，此时，即，解得，由图可得，故.
此时
综上
故答案为：.
16．过点作曲线的切线，则切线方程是__________．
【答案】
【分析】求解导函数，设切点坐标，求解，从而设出切线方程，代入点计算，即可求出答案.
【详解】函数定义域为，，
设切点为，，
所以切线方程为，
代入，得，
解得：，所以切线方程为，
整理得：．
故答案为：
17．已知函数满足，当，若在区间内，函数有三个不同零点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据题意得到画出函数图像，计算直线与函数相切和过点时的斜率，根据图像得到答案
【详解】函数满足，当，
所以当，
故， ，
画出函数图像，如图所示，观察图像可知，要使函数有三个不同零点，则直线应在图中的两条虚线之间，上方的虚线为直线与 相切时，下方的虚线是直线经过点时，
当直线与相切时，
，设切点为，则斜率 ，
此时 ，
当直线经过点时，，
故答案为：
18．写出a的一个值，使得直线是曲线的切线，则a=______.
【答案】（答案不唯一）
【分析】首先设切点，并求切点处的导数，然后确定直线恒过定点，利用导数的几何意义，列式求参数的值.
【详解】设切点为，直线恒过定点，
，则，
则，可得其中一个根，
，此时，得.
故答案为： （答案不唯一）第15讲 用导数的几何意义研究曲线的切线
真题展示
2022新高考一卷第15题
若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ．
知识要点整理
用导数求切线方程的四种类型
求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
下面例析四种常见的类型及解法．
类型一：已知切点，求曲线的切线方程
此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可．
例1 曲线在点处的切线方程为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程
此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．
例2 与直线的平行的抛物线的切线方程是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．
例3求过曲线上的点的切线方程．
评注：可以发现直线并不以为切点，实际上是经过了点且以为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．
例4 求过点且与曲线相切的直线方程．
评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．
例5 已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程．
评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点．
2、求圆锥曲线的切线
在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。例如，圆的切线定义为与圆只有一个交点的直线，但把这一定义用到其他曲线上就不行了。如直线与抛物线只有一个交点，是的切线，但与抛物线也只有一个交点，但却不是的切线，由此可见，用“一个交点”来定义切线并不能用于所有曲线。而学了微积分的知识后，就可以给出曲线切线的一般定义了。
切线的定义：设是曲线上一定点，是该曲线上的一动点，从而有割线，令沿着曲线无限趋近于，则割线的极限位置就是曲线在的切线（如果极限存在的话）。
这一定义与初等数学中圆的切线定义是一致的（用于讨论圆的切线时），用这一定义也容易证明是的切线，而不是的切线，这一切线定义可用于任何曲线。
导数的几何意义就是曲线在点的切线斜率。故运用上述切线的一般定义和结论，可以处理与切线有关的许多问题。
例6求曲线在时的切线方程。
反思：由此可见，用微积分法解此类问题是多么的简单容易，可是在初等数学中，曲线的切线定义都难得给出，更别说讨论与的切线有关的问题了。
例7已知函数在处取得极值，过点作曲线的切线，求此切线方程。
要点：1.导数是如何定义
2.如何求曲线在点处的切线方程与法线方程。
三年真题
1.已知函数，对于上的任意，有如下条件：①；②；③．其中能使恒成立的条件序号是____________．
2．某日中午12时整，甲船自A处以的速度向正东行驶，乙船自A的正北处以的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之距离对时间的变化率是___________．
3．曲线与在交点处切线的夹角是____________．（用弧度数作答）
4．已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
5．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
6．函数的最大值为______.
7．曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为，则________.
8．曲线在点(0，1)处的切线方程为________．
9．已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
10．写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时，；③是奇函数．
11．已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
12．曲线在点处的切线方程为__________．
13．函数的最小值为______.
14．在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________．
15．设函数．若，则a=_________．
16．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
三年模拟
1．已知，则曲线在处的切线方程是___________.
2．若过点只可以作曲线的一条切线，则的取值范围是__________.
3．若直线是曲线和的公切线，则实数的值是______.
4．函数的图象在处的切线方程为______.
5．设曲线的斜率为3的切线为，则的方程为______．
6．已知函数，则曲线在点处的切线方程是______.
7．已知定义在R上的函数满足：①曲线上任意一点处的切线斜率均不小于1；②曲线在原点处的切线与圆相切，请写出一个符合题意的函数______．
8．已知曲线在某点处的切线的斜率为，则该切线的方程为______.
9．若函数在处的切线方程为，则_________．
10．已知函数的图像与直线相切，则____________
11．若曲线的图象总在曲线的图象上方，则的取值范围是______.
12．已知曲线与曲线有相同的切线，则这条切线的斜率为___________.
13．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数______．
14．已知函数，过点作曲线的切线，则的方程为___________.
15．已知函数 ，若函数有三个零点，则实数的取值范围是___________.
17．已知函数满足，当，若在区间内，函数有三个不同零点，则实数的取值范围是__________．
