第16讲 椭圆
真题展示
2022新高考一卷第16题
已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是 13 ．
【思路分析】根据已知条件，先设出含的椭圆方程，再结合三角形的性质，以及弦长公式，求出的值，最后再根据椭圆的定义，即可求解．
【解析】【解法一】(转化+定义):椭圆的离心率为，
不妨可设椭圆，，
的上顶点为，两个焦点为，，
△为等边三角形，
过且垂直于的直线与交于，两点，
，
由等腰三角形的性质可得，，，
设直线方程为，，，，，
将其与椭圆联立化简可得，，
由韦达定理可得，，，
，解得，
由椭圆的定义可得，的周长等价于．
故答案为：13．
【解法二】 (验证中点)：仿法一得a=2c,b=c,仿法一由DE=6算出c=从而a=.
如图，连接E，D，易知A的中点为M(,DE：y=(x+c)，显然M在直线DE，即DE是A的垂直平分线，从而AE=E，AD=D，故△ADE的周长为AD+AE+DE=D+E+DE= D+E+ D+E=4a=13.
【解法三】(硬算+巧开方)：由椭圆的离心率为可得a=2c，从而b=c，椭圆方程化为3+4=12，A(0, c),取为椭圆的左焦点，为椭圆的右焦点，易得A的斜率为 ，故DE的斜率为，DE的方程为y=(x+c)，代入椭圆方程并整理得13+8cx 32=0，设D(,),E(,),则+=，= ,
于是DE====6，解得c=，
此时13+13x =0，解得x=，取D(,),E(,)，A(0,),
AD==,AE==,
设223+84=，则解得m=14，n=3，故AD=，同理AE=，
故AD+AE=7，△ADE的周长为AD+AE+DE=13.
【解法四】 (硬算+巧平方)：仿上得到AD、AE的长度，设t=+，则=446+2=446+2=446+2×189=784=,故t=28，AD+AE=7.下同法三。
【解法五】(极坐标方程): ，则设，
由焦点弦公式，可知即，
由椭圆的定义可得，的周长等价于．
故答案为：13．
【试题评价】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力，属于中档题．
考查目标
直线、椭圆及相关几何量的计算是中学数学的必备知识.试题巧妙地将直线与椭圆的位置关系及有关度量的计算结合在一起，设计的问题既体现了基础性又具有挑战性.试题对考生的化归与转化、逻辑推理等方面的能力提出了较高的要求，有效地考查了考生的理性思维、数学探索等方面的数学学科素养，考查了考生的运算求解、逻辑思维等方面的关键能力.
试题亮点
试题对解析几何知识综合应用的考查做了很好的设计. 从试题的简单情景中应用椭圆的定义去分析问题、解决问题，可以体现考生思维的灵活性.试题具有较好的创新性与开放性，有诸多亮点. 试题的题设条件简洁，问题深入，既体现了数学之美，又体现了逻辑推理的重要性.考生在判断出△AF，F，为正三角形后进一步选择解题路径，这对考生准确灵活运用所学知识解决问题的能力、运用数形结合以及化归与转化等数学思想方法提出了较高要求．试题有效考查了考生的运算求解能力、逻辑思维能力和创新能力，以及理性思维、数学应用、数学探索等数学科素养.试题具有较好的开放性，给不同思维层次的考生提供了发挥的空间.考生可以采用不同的解题路径和方法.比如，考生可以利用对称性解决。
知识要点整理
知识点一 椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2．焦点：两个定点F1，F2.
3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.
知识点二 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 b2＝a2－c2
知识点三 椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点 (±，0) (0，±)
焦距 |F1F2|＝2
对称性 对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
离心率 e＝∈(0,1)
知识点四 直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立
消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示．
直线与椭圆 解的个数 Δ的取值
两个不同的公共点 两解 Δ>0
一个公共点 一解 Δ＝0
没有公共点 无解 Δ<0
三年真题
一、单选题
1．已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8，
所以，，可得，，
所以，可得，
所以该椭圆的短轴长，
故选：B.
二、多选题
2．已知曲线.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【详解】对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题
3．已知，B是圆（F为圆心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为___________.
【答案】．
【分析】根据椭圆的定义求轨迹方程．
【详解】由题意，在线段的垂直平分线上，则，
所以，又，
所以在以为焦点，长轴长为2的椭圆上，
，，，则，
所以轨迹方程为．
故答案为：．
4．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
【答案】13
【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.
四、解答题
5．已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
【答案】（1）；（2）详见解析.
【详解】（1）由题意可得：，解得：，
故椭圆方程为：.
(2)［方法一］：通性通法
设点，
若直线斜率存在时，设直线的方程为：，
代入椭圆方程消去并整理得：，
可得，，
因为，所以，即，
根据,代入整理可得：
，
所以，
整理化简得，
因为不在直线上，所以，
故，于是的方程为，
所以直线过定点直线过定点.
当直线的斜率不存在时，可得，
由得：，
得，结合可得：，
解得：或（舍）.
此时直线过点.
令为的中点，即，
若与不重合，则由题设知是的斜边，故，
若与重合，则，故存在点，使得为定值.
［方法二］【最优解】：平移坐标系
将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为，设直线的方程为．将直线方程与椭圆方程联立得，即，化简得，即．
设，因为则，即．
代入直线方程中得．则在新坐标系下直线过定点，则在原坐标系下直线过定点．
又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立．
故存在，使得．
［方法三］：建立曲线系
A点处的切线方程为，即．设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．由题意得．
则过A，M，N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线可表示为（其中为系数）．
用直线及点A处的切线可表示为（其中为系数）．
即．
对比项、x项及y项系数得
将①代入②③，消去并化简得，即．
故直线的方程为，直线过定点．又，D在以为直径的圆上．中点即为圆心Q．
经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得．
［方法四］：
设．
若直线的斜率不存在，则．
因为，则，即．
由，解得或（舍）．
所以直线的方程为．
若直线的斜率存在，设直线的方程为，则．
令，则．
又，令，则．
因为，所以，
即或．
当时，直线的方程为．所以直线恒过，不合题意；
当时，直线的方程为，所以直线恒过．
综上，直线恒过，所以．
又因为，即，所以点D在以线段为直径的圆上运动．
取线段的中点为，则．
所以存在定点Q，使得为定值．
6．已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．
（1）求的方程；
（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1），，
根据离心率，解得或(舍)，
的方程为：，即．
（2）［方法一］：通性通法
不妨设,在x轴上方，过点作轴垂线，垂足为，设直线与轴交点为
根据题意画出图形，如图
，， ，
又， ，
，根据三角形全等条件“”，可得：，
，，，
设点为，可得点纵坐标为，将其代入，
可得：，解得：或，点为或，
①当点为时，故，
，，可得：点为，
画出图象，如图
, ，可求得直线的直线方程为：，
根据点到直线距离公式可得到直线的距离为，
根据两点间距离公式可得：，面积为：；
②当点为时，故，，，可得：点为，画出图象，如图
, ，可求得直线的直线方程为：，
根据点到直线距离公式可得到直线的距离为，
根据两点间距离公式可得：，
面积为： ，综上所述，面积为：.
［方法二］【最优解】：
由对称性，不妨设P，Q在x轴上方，过P作轴，垂足为E．设，由题知，．
故，
①因为，如图，所以，．
②因为，如图，所以．
综上有
［方法三］：
由已知可得，直线的斜率一定存在，设直线的方程为，由对称性可设，联立方程消去y得，
由韦达定理得，所以，
将其代入直线的方程得，所以，
则．
因为，则直线的方程为，
则．
因为，所，，
即，故或，即或．
当时，点P，Q的坐标分别为，
直线的方程为，点A到直线的距离为，
故的面积为．
当时，点P，Q的坐标分别为，
直线的方程为，点到直线的距离为，
故的面积为．
综上所述，的面积为．
［方法四］：
由（1）知椭圆的方程为，．
不妨设在x轴上方，如图．
设直线．
因为，所以．
由点P在椭圆上得，所以．
由点P在直线上得，所以．所以，化简得．
所以，即．
所以，点Q到直线的距离．
又．
故．即的面积为．
［方法五］：
由对称性，不妨设P，Q在x轴上方，过P作轴，垂足为C，设，
由题知，所以．
（1）．
则．
（其中）．
（2）．
同理，．
（其中）
综上，的面积为．
7．已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．
（1）求C1的离心率；
（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．
【答案】（1）；（2）：，： .
【详解】解：（1）因为椭圆的右焦点坐标为：,所以抛物线的方程为，其中.
不妨设在第一象限，因为椭圆的方程为：，
所以当时，有，因此的纵坐标分别为，；
又因为抛物线的方程为，所以当时，有，
所以的纵坐标分别为，，故，.
由得，即，解得（舍去），.
所以的离心率为.
（2）由（1）知，，故，所以的四个顶点坐标分别为，，，，的准线为.
由已知得，即.
所以的标准方程为，的标准方程为.
8．已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.
【答案】（1）；（2），.
【详解】（1），轴且与椭圆相交于、两点，
则直线的方程为，
联立，解得，则，
抛物线的方程为，联立，
解得，，
，即，，
即，即，
，解得，因此，椭圆的离心率为；
（2）[方法一]：椭圆的第二定义
由椭圆的第二定义知，则有，
所以，即．
又由，得．
从而，解得．
所以．
故椭圆与抛物线的标准方程分别是．
[方法二]：圆锥曲线统一的极坐标公式
以为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
由（Ⅰ）知，又由圆锥曲线统一的极坐标公式，得，由，得，两式联立解得．
故的标准方程为，的标准方程为．
[方法三]：参数方程
由（1）知，椭圆的方程为，
所以的参数方程为（为参数），
将它代入抛物线的方程并化简得，
解得或（舍去），
所以，即点M的坐标为．
又，所以由抛物线焦半径公式有，即，解得．
故的标准方程为，的标准方程为．
[方法四]【最优解】：利用韦达定理
由（1）知，，椭圆的方程为，
联立，消去并整理得，
解得或（舍去），
由抛物线的定义可得，解得.
因此，曲线的标准方程为，
曲线的标准方程为.
三年模拟
1．已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，P是与在第一象限的交点，当时，双曲线的离心率等于______.
【答案】##
【详解】设椭圆标准方程为，椭圆离心率为，
设双曲线标准方程为，双曲线离心率为，
由题可知：．
设，，
则，
由①②得，，，
代入③整理得，，
两边同时除以得，，
即，
即，
解得，即．
故答案为：
2．如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球，球的半径分别为4和2，球心距离，截面分别与球，球相切于点（是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.
【答案】
【详解】设，
由，解得，
所以，
所以，
设直线与圆锥的母线相交于点， 圆锥的母线与球相切于两点，如图所示，
则，
两式相加得，即，
过作，垂直为，
则四边形为矩形，所以，，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：
3．已知，为椭圆：的左右焦点，A为的上顶点，直线l经过点且与交于B，C两点；若l垂直平分线段，则△ABC的周长是___________.
【答案】##.
【详解】如图，连接，
因为l垂直平分线段，
所以，
所以△ABC的周长为，
由题意得，则
的中点为，，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
因为直线过，
所以，解得，
所以，
所以△ABC的周长为，
故答案为：.
4．如图所示，平面直角坐标系中，四边形满足，，，若点，分别为椭圆：（）的上 下顶点，点在椭圆上，点不在椭圆上，则椭圆的焦距为___________.
【答案】4
【详解】由题意得，，设，.连接，
由，，可知，，，在以为直径的圆上，且，
又原点为圆的弦的中点，
所以圆心在的垂直平分线上，即在轴上，则，又，
所以，
因为，所以，
所以，
当时，则0，
若，则四边形为矩形，则点也在椭圆上，与点不在椭圆上矛盾，
所以，所以，故圆的圆心坐标为，
所以圆的方程为，将代入可得，又，
所以，故椭圆的焦距为.
故答案为：4.
5．已知椭圆的左 右焦点分别为，，点P在椭圆上，且，的延长线交椭圆于点Q，若椭圆的离心率，___________.
【答案】##
【分析】设，利用已知条件及椭圆的定义求，再利用椭圆的定义及勾股定理，设可解得，进而求得.
【详解】设，，因为，所以，，由椭圆的定义，得，即，又，所以，两边同时平方得，即，又，所以，所以，，于是，.
设，则，根据，得，解得.
故.
故答案为：
6．己知椭圆的右焦点和上顶点B，若斜率为的直线l交椭圆C于P，Q两点，且满足，则椭圆的离心率为___________.
【答案】##
【详解】设，线段PQ的中点为，
由，知F为的重心，故，
即，解得，
又M为线段PQ的中点，则，
又P、Q为椭圆C上两点，则，
两式相减得，
所以，
化简得，则
解得或（故舍去）
则，则离心率.
故答案为：
7．已知，是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为__________．
【答案】##.
【详解】因为，
所以，
所以当时，取得最大值，
因为，所以的最小值为，
因为的最大值是它的最小值的2倍，
所以，
所以，所以，
所以椭圆的离心率为，
故答案为：.
8．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，它们的离心率分别为是它们的一个公共点.若，则的最小值为__________.
【答案】
【详解】设椭圆对应，双曲线对应，，
所以，两边平方得①，
，两边平方得②，
①+②并整理得；①-②并整理得.
由余弦定理得，整理得，
所以，，
所以，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
9．已知分别为椭圆的左，右焦点，直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为______.
【答案】##
【分析】由直线过原点及斜率，，可得，再结合椭圆定义，在焦点三角形通过勾股定理构建齐次方程，即可求出离心率
【详解】由题可知，为直角三角形，，直线过原点，，故，
又，则，
在中，，即，
又，解得：或（舍去）.
故答案为：.
10．已知椭圆的离心率为，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上且在以为直径的圆上．线段与轴交于点，，则椭圆的长轴长为_____．
【答案】
【详解】由题意得，
点在以为直径的圆上，则，
因为，，
所以，所以，
所以，可得，
又，所以，
所以椭圆的长轴长为．
故答案为：．
11．已知椭圆的右焦点为F，经过点F的直线l的倾斜角为，且直线l交该椭圆于A，B两点，若，则该椭圆的离心率为______________.
【答案】
【详解】由题意知，，直线的方程为，其中c为椭圆C的半焦距，
联立得.
设，则.
∵，
∴，即，
∴，
∴，
化简得，
∵，
∴，
令，可将上式整理为，
即，解得或，
∴，即，
∴所求椭圆的离心率为.
故答案为：
12．若为椭圆的左、右焦点，点P为C上一点，若对任意的，均存在四个不同的点P满足，则C的离心率e的取值范围为_______．
【答案】
【详解】设O为坐标原点，则，故
，由于，故，
若存在四个不同的点P满足，又，
所以即解得
，即．
故答案为：
13．已知椭圆左 右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与过的直线交于点，点在椭圆上，且.则椭圆的离心率__________.
【答案】##
【详解】在中，，，则，
，则，
由椭圆的定义可得，则.
故答案为：.
14．已知椭圆的左右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线，与以坐标轴原点为圆心，椭圆半焦距为半径的圆交于点（不同于点），与椭圆在第一象限交于点，若，则椭圆的离心率为__________．
【答案】
【详解】，
点A是线段的中点，
为直径所对的圆周角，
，
为线段的垂直平分线，
，，
过的直线的倾斜角为，
，
，
，为椭圆C的焦点，
，
且，
，
，
点B在椭圆C上，
，
，
，即，
故答案为：.
15．已知椭圆的上、下顶点分别为，，点是椭圆C上异于、的点，直线和的斜率分别为、，写出一个满足的椭圆C的方程是________________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据斜率公式可得出、所满足的关系式，即可得出满足条件的一个椭圆的方程.
【详解】由题意可知、，设，则，
所以，
所以，
所以.
所以椭圆的方程可以为（只需满足即可）.
故答案为：（答案不唯一）.
16．如图，己知是椭圆的焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且，则的余弦值为___________.
【答案】##
【详解】解：延长与椭圆交于点，又，
根据对称性可知，，设，则，，
从而，故，
在中，注意到，
，
在中，有．
故答案为：
17．若、是椭圆C：的两个焦点，过的直线l与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，则下列说法中正确的是______．（填序号）
①椭圆C的离心率为； ②存在点A使得；
③若，则； ④面积的最大值为12．
【答案】②④
【详解】对①，由题得a＝5，b＝3，c＝4，离心率为，故①错误．
对②，设，得椭圆的参数方程为（t为参数），，，所以，．若存在点A使，则，即，得有解，故存在点A使，故②正确．
对③，因为，故③错误．
对④，当A位于短轴端点时，此时的面积最大，所以，故④正确．
故答案为：②④
18．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内做往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．记点N的运动轨迹为，点M的运动轨迹为．若，，过上的点P向作切线，则切线长的最大值为______．
【答案】
【详解】以滑槽AB所在的直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示．
因为，所以点N的运动轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，
其方程为．
设点，，，
依题意，，且，
所以，且，
即，且．
由于t不恒等于0，于是，故，，
代入，可得，
故曲线的方程为．设上的点，
则，
则切线长为，故切线长的最大值为．
故答案为：
19．已知椭圆的左 右焦点分别为，点为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则___________.
【答案】
【详解】由，
可得，
如图过点作轴的垂线，垂足为，
所以，
因为，
所以，
所以，
可得点的坐标为，
代入椭圆方程可得，
有，解得.
故答案为：
20．用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线．我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．已知某圆锥的轴截面是正三角形，平面与该圆锥的底而所成的锐二面角为，则平面截该圆锥所得椭圆的离心率为_________．
【答案】
【详解】如图1,不妨令正△ABC边长为,重心G,椭圆中心N,中线BD,底面圆心M.PG与长轴垂直.
则.，所以.所以，.
PG为过G与底面平行的圆的半径,如图2在△AMC,作GE∥MC,由相似可得：
,所以，所以.
如图3,即,代入方程得：,又,解得,
所以，所以，所以离心率.
故答案为：
21．已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为______．
【答案】
【详解】解：设的半焦距为c（），则，又，
所以，又直线与的一条渐近线平行，
所以，所以，
所以，
所以，
所以，
又，
当且仅当，即，时等号成立，
即的最小值为．
故答案为：
22．已知A（3，1），B（－3，0），P是椭圆上的一点，则的最大值为___．
【答案】9
【详解】根据题意可得：
则点B为椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点
∴，即
∵，即点A在椭圆内
，
当且仅当点P在AF的延长线上时，等号成立.
故答案为：9．
23．已知是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，求的最小值为___．
【答案】1
【详解】因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，
所以.
所以，所以（当且仅当时等号成立）.
所以.
即的最小值为1.
故答案为：1
24．设椭圆的左、右两焦点分别为，，是上的点，则使得是直角三角形的点的个数为_________.
【答案】6
【分析】根据椭圆的性质判断为上下顶点时的大小判断直角三角形个数，再加上、对应直角三角形个数，即可得结果.
【详解】由椭圆性质知：当为上下顶点时最大，此时，，
所以，故焦点三角形中最大为，故有2个；
又、对应的直角三角形各有2个；
综上，使得是直角三角形的点的个数为6个.
故答案为：6
25．已知椭圆的一个焦点坐标为，则__________.
【答案】
【详解】由焦点坐标知焦点在轴上，且，解得.
故答案为：.
26．已知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点.若是等边三角形，则的值等于_________.
【答案】
【详解】因为是等边三角形，故，故关于轴对称，故轴.故，，故，又，故，故，即，所以，
故答案为：
27．已知椭圆，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，与y轴交于E点，若，则椭圆的离心率是__________．
【答案】
【详解】若，如下图，则，则，所以设，则，
，所以为的中点，所以，
又因为，所以为的中点，则，
所以因为两点在椭圆上，
则，则，所以，
化简得：，则.
故答案为：.
28．如图，已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，A为C上位于第一象限内的一点，与y轴交于点B，若，则C的离心率为______．
【答案】
【详解】由题意知, ，设，
由，得，,
,,
在中，，，
在中，；
根据椭圆的定义，，
所以．
故答案为：第16讲 椭圆
真题展示
2022新高考一卷第16题
已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是 ．
考查目标
直线、椭圆及相关几何量的计算是中学数学的必备知识.试题巧妙地将直线与椭圆的位置关系及有关度量的计算结合在一起，设计的问题既体现了基础性又具有挑战性.试题对考生的化归与转化、逻辑推理等方面的能力提出了较高的要求，有效地考查了考生的理性思维、数学探索等方面的数学学科素养，考查了考生的运算求解、逻辑思维等方面的关键能力.
试题亮点
试题对解析几何知识综合应用的考查做了很好的设计. 从试题的简单情景中应用椭圆的定义去分析问题、解决问题，可以体现考生思维的灵活性.试题具有较好的创新性与开放性，有诸多亮点. 试题的题设条件简洁，问题深入，既体现了数学之美，又体现了逻辑推理的重要性.考生在判断出△AF，F，为正三角形后进一步选择解题路径，这对考生准确灵活运用所学知识解决问题的能力、运用数形结合以及化归与转化等数学思想方法提出了较高要求．试题有效考查了考生的运算求解能力、逻辑思维能力和创新能力，以及理性思维、数学应用、数学探索等数学科素养.试题具有较好的开放性，给不同思维层次的考生提供了发挥的空间.考生可以采用不同的解题路径和方法.比如，考生可以利用对称性解决。
知识要点整理
知识点一 椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2．焦点：两个定点F1，F2.
3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝ (常数)且2a |F1F2|.
知识点二 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 b2＝a2－c2
知识点三 椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点 (±，0) (0，±)
焦距 |F1F2|＝2
对称性 对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
离心率 e＝∈(0,1)
知识点四 直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立
消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示．
直线与椭圆 解的个数 Δ的取值
两个不同的公共点 两解 Δ>0
一个公共点 一解 Δ＝0
没有公共点 无解 Δ<0
三年真题
一、单选题
1．已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
二、多选题
2．已知曲线.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
三、填空题
3．已知，B是圆（F为圆心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为___________.
4．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
四、解答题
5．已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
6．已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．
（1）求的方程；
（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．
7．已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．
（1）求C1的离心率；
（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．
8．已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.
三年模拟
1．已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，P是与在第一象限的交点，当时，双曲线的离心率等于______.
2．如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球，球的半径分别为4和2，球心距离，截面分别与球，球相切于点（是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.
3．已知，为椭圆：的左右焦点，A为的上顶点，直线l经过点且与交于B，C两点；若l垂直平分线段，则△ABC的周长是___________.
4．如图所示，平面直角坐标系中，四边形满足，，，若点，分别为椭圆：（）的上 下顶点，点在椭圆上，点不在椭圆上，则椭圆的焦距为___________.
5．已知椭圆的左 右焦点分别为，，点P在椭圆上，且，的延长线交椭圆于点Q，若椭圆的离心率，___________.
6．己知椭圆的右焦点和上顶点B，若斜率为的直线l交椭圆C于P，Q两点，且满足，则椭圆的离心率为___________.
7．已知，是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为__________．
8．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，它们的离心率分别为是它们的一个公共点.若，则的最小值为__________.
9．已知分别为椭圆的左，右焦点，直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为______.
10．已知椭圆的离心率为，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上且在以为直径的圆上．线段与轴交于点，，则椭圆的长轴长为_____．
11．已知椭圆的右焦点为F，经过点F的直线l的倾斜角为，且直线l交该椭圆于A，B两点，若，则该椭圆的离心率为______________.
13．已知椭圆左 右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与过的直线交于点，点在椭圆上，且.则椭圆的离心率__________.
15．已知椭圆的上、下顶点分别为，，点是椭圆C上异于、的点，直线和的斜率分别为、，写出一个满足的椭圆C的方程是________________．
16．如图，己知是椭圆的焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且，则的余弦值为___________.
17．若、是椭圆C：的两个焦点，过的直线l与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，则下列说法中正确的是______．（填序号）
①椭圆C的离心率为； ②存在点A使得；
③若，则； ④面积的最大值为12．
18．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内做往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．记点N的运动轨迹为，点M的运动轨迹为．若，，过上的点P向作切线，则切线长的最大值为______．
19．已知椭圆的左 右焦点分别为，点为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则___________.
20．用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线．我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．已知某圆锥的轴截面是正三角形，平面与该圆锥的底而所成的锐二面角为，则平面截该圆锥所得椭圆的离心率为_________．
21．已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为______．
22．已知A（3，1），B（－3，0），P是椭圆上的一点，则的最大值为___．
23．已知是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，求的最小值为___．
24．设椭圆的左、右两焦点分别为，，是上的点，则使得是直角三角形的点的个数为_________.
25．已知椭圆的一个焦点坐标为，则__________.
26．已知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点.若是等边三角形，则的值等于_________.
28．如图，已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，A为C上位于第一象限内的一点，与y轴交于点B，若，则C的离心率为______．
