第17讲 数列的通项、求和及数列不等式的证明
真题展示
2022新高考一卷第17题
记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
【思路分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．
【解析】（1）解：【解法一】(隔项累乘法)：已知，是公差为的等差数列，
所以，整理得，①，
故当时，，②，
①②得：，
故，
化简得：，，，，，，；
所以，
故（首项符合通项）．所以．
【解法二】(王安寓补解)(相邻累乘)：仿法一得,
∴=1×=,
显然 n=1时=1适合上式，故=.
【解法三】(王安寓补解)(构造常数列)：仿法一得(n 1)=(n+1),
即n(n 1)=(n+1)n,,故{}是常数列，∴=，∴=.
（2）证明：由于，
所以，
所以．
【试题评价】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
试题亮点
试题以考生熟悉的等差数列为载体而设计，但不是通常的给定等差数列求通项、求和等常规操作，而是将等差数列的性质融合在前n项和与通项的关系之中，特别是第（2）问中的数列的求和运算涉及裂项相消．试题源于教材、其创新思想又高于教材，充分体现高考的选拔功能.试题对高中数学教学具有指导作用，要求考生在强化基本功的同时，加强对知识的灵活运用，形成学科素养.
知识要点整理
数列求和问题
数列求和是数列问题中的基本题型，是数列部分的重点内容，在高考中也占据重要地位，它具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点．数列求和的方法主要有公式法、分组转化法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、并项求和法等．
一、公式法求和
例1 求数列1,3＋5,7＋9＋11,13＋15＋17＋19，…的前n项和．
解 所求数列的前n项中共有1＋2＋3＋4＋…＋n＝个连续的奇数，这些奇数组成等差数列，首项为1，公差为2，故该数列的前n项和
Sn＝×1＋×××2
＝＋
＝2
＝.
反思感悟 公式法求和中的常用公式有
(1)等差、等比数列的前n项和
①等差数列：Sn＝na1＋d(d为公差)或Sn＝.
②等比数列：Sn＝其中q为公比．
(2)四类特殊数列的前n项和
①1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)．
②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
③12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
④13＋23＋33＋…＋n3＝n2(n＋1)2.
二、分组转化法求和
例2 求和：Sn＝2＋2＋…＋2(x≠0)．
解 当x≠±1时，
Sn＝2＋2＋…＋2
＝＋＋…＋
＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋
＝＋＋2n
＝＋2n；
当x＝±1时，Sn＝4n.
综上可知，
Sn＝
反思感悟 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．
三、倒序相加法求和
例3 设F(x)＝，求F＋F＋…＋F.
解 ∵F(x)＋F(1－x)＝＋＝1，
∴F＋F＝F＋F＝…＝1.
设F＋F＋…＋F＝S，
∴S＝×2S＝×2 020＝1 010.
反思感悟 (1)倒序相加法类比推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1＋an)．
(2)如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求其和可以用倒序相加法．
四、裂项相消法求和
例4 求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N*.
解 ∵＝＝，
∴原式＝＝
＝－(n≥2，n∈N*)．
延伸探究
求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N*.
解 ∵＝＝1＋，
∴原式＝＋＋＋…＋
＝(n－1)＋
以下同例4解法．
∴原式＝ n－－(n≥2，n∈N*)
反思感悟 (1)对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法，可用待定系数法对通项公式拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．
(2)常见的拆项公式有
①＝－.
②＝.
③＝.
④＝－.
⑤＝.
五、错位相减法求和
例5 已知{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝1，b1＝3，a2＋b2＝7，a3＋b3＝11.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Tn.
解 (1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，等差数列{bn}的公差为d，
依题意有
即解得或(舍去)．
所以an＝2n－1，n∈N*，bn＝3＋2(n－1)＝2n＋1，n∈N*.
(2)由(1)得cn＝＝，
所以Tn＝＋＋…＋，①
所以Tn＝＋＋…＋＋，②
由①－②，得Tn＝3＋2－＝3＋2×－＝5－，
所以Tn＝10－.
反思感悟 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
六、并项求和法求和
例6 求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)．
解 当n为奇数时，
Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)
＝2·＋(－2n＋1)＝－n.
当n为偶数时，
Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝2·＝n.
∴Sn＝(－1)n·n (n∈N*)．
反思感悟 通项中含有(－1)n的数列求前n项和时可以考虑使用奇偶并项法，分项数为奇数和偶数分别进行求和．
三年真题
1．设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），
所以；
（2）证明：因为所以要证，
即证，即证，
即证，
而显然成立，所以；
（3）因为
，
所以
，
设
所以，
则，
作差得
，
所以，
所以.
2．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
3．已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
（2）因为，，成等比数列，
所以，
，
，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又
所以
4．已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
【答案】(1)的减区间为，增区间为.
(2)
(3)见解析
【详解】（1）当时，，则，
当时，，当时，，
故的减区间为，增区间为.
（2）设，则，
又，设，
则，
若，则，
因为为连续不间断函数，
故存在，使得，总有，
故在为增函数，故，
故在为增函数，故，与题设矛盾.
若，则，
下证：对任意，总有成立，
证明：设，故，
故在上为减函数，故即成立.
由上述不等式有，
故总成立，即在上为减函数，
所以.
当时，有，
所以在上为减函数，所以.
综上，.
（3）取，则，总有成立，
令，则，
故即对任意的恒成立.
所以对任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.
5．记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
6．已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．
(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若为连续可表数列，且，求证：．
【答案】(1)是连续可表数列；不是连续可表数列．
(2)证明见解析．
(3)证明见解析．
【详解】（1），，，，，所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表数列．
（2）若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾；
当时,数列，满足，，，，，，，， ．
（3），若最多有种，若，最多有种，所以最多有种，
若，则至多可表个数，矛盾,
从而若,则，至多可表个数，
而，所以其中有负的，从而可表1~20及那个负数（恰 21个），这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为 ，
则所有数之和，，
，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个，
（仅一种方式），
与2相邻，
若不在两端,则形式，
若，则（有2种结果相同，方式矛盾），
， 同理 ，故在一端，不妨为形式，
若,则 （有2种结果相同，矛盾），同理不行，
，则 （有2种结果相同，矛盾），从而，
由于,由表法唯一知3,4不相邻,、
故只能，①或，②
这2种情形，
对①：，矛盾，
对②：，也矛盾，综上，
当时，数列满足题意，
．
【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从到中间的任意一个值．本题第二问时，通过和值可能个数否定；第三问先通过和值的可能个数否定，再验证时，数列中的几项如果符合必然是的一个排序，可验证这组数不合题．
7．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
8．已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【详解】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以，所以，
所以；
设等比数列的公比为，
所以，解得（负值舍去），
所以；
（II）（i）由题意，，
所以，
所以，且，
所以数列是等比数列；
（ii）由题意知，，
所以，
所以，
设，
则，
两式相减得，
所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：
最后一问考查数列不等式的证明，因为无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证.
9．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【答案】(1)；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
10．设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列：
①，且；
②；
③，．
（1）如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由；
（2）若数列是数列，求；
（3）设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）不可以是数列；理由见解析；（2）；（3）存在；．
【详解】(1)因 为 所以，
因 为所 以
所以数列，不可能是数列.
(2)性质①，
由性质③，因此或，或，
若，由性质②可知，即或，矛盾；
若，由有，矛盾.
因此只能是.
又因为或，所以或.
若，则，
不满足，舍去.
当，则前四项为:0，0，0，1，
下面用数学归纳法证明：
当时，经验证命题成立，假设当时命题成立，
当时：
若，则，利用性质③：
，此时可得：；
否则，若，取可得：，
而由性质②可得：，与矛盾.
同理可得：
，有；
，有；
，又因为，有
即当时命题成立，证毕.
综上可得：，.
(3)令，由性质③可知：
，
由于，
因此数列为数列.
由（2）可知:
若；
，，
因此，此时，，满足题意.
11．记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
【答案】证明见解析.
【详解】∵数列是等差数列，设公差为
∴，
∴，
∴当时，
当时，，满足，
∴的通项公式为，
∴
∴是等差数列.
12．已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）当时，，
，
当时，由①，
得②，①②得
，
又是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以.
【点睛】易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号.
13．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因为，所以，所以．
在中，当时，．
故数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．
下面用数学归纳法证明．
当时显然成立．
假设当时成立，即．
那么当时，．
综上，猜想对任意的都成立．
即数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；
方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解；
方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论．
（2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式；
14．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】证明过程见解析
【详解】选①②作条件证明③：
[方法一]：待定系数法+与关系式
设，则，
当时，；
当时，；
因为也是等差数列，所以，解得；
所以，，故.
[方法二] ：待定系数法
设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，
则，将代入，
化简得对于恒成立．
则有，解得．所以．
选①③作条件证明②：
因为，是等差数列，
所以公差，
所以，即，
因为，
所以是等差数列.
选②③作条件证明①：
[方法一]：定义法
设，则，
当时，；
当时，；
因为，所以，解得或；
当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；
当时，，不合题意，舍去.
综上可知为等差数列.
[方法二]【最优解】：求解通项公式
因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意.
【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，平方后得到的关系式，利用得到的通项公式，进而得到，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出与的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，，进而得到；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出及，进而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；法二：利用是等差数列即前两项的差求出公差，然后求出的通项公式，利用，求出的通项公式，进而证明出结论.
15．设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设， ⑧
则． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
16．已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然为偶数，则，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知，所以．
由（为奇数）及（为偶数）可知，
数列从第一项起，
若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以，则．
[方法三]：累加法
由题意知数列满足．
所以，
，
则．
所以，数列的通项公式．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列满足，
所以．
所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列的前20项和为：
．
三年模拟
一、单选题
1．已知角的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A，令，则，
所以，即，故A错误；
对于B，令，则，即，故B错误；
对于C，令，则，
所以，即，故C错误；
对于D，因为角的终边不在坐标轴上，所以，，，
所以，即，则，
所以一定成等比数列，故D正确.
故选：D.
2．已知数列的前项和为，首项，且满足，则的值为（ ）
A．4093 B．4094 C．4095 D．4096
【答案】A
【解答】，故，又，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以，
则
故选：A
3．已知数列为等差数列，为等比数列的前n项和，且，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设等差数列的公差为d，由得，解得，
则，所以，，
设等比数列的公比为q，则，
则，
故选：D．
二、填空题
4．设是由正整数组成且项数为的增数列，已知，，数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于中任意序数不同的两项和，在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】因为数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，，所以，
又是由正整数组成且项数为的增数列，所以或，
当时，，此时，
这与在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得矛盾，
所以，类似地，必有，，，，
由得前6项任意两项之和小于等于3时，均符合，
要最小，则每项尽可能小，且值要尽量小，
则，，
同理，，，…，，当中间各项为公差为1的等差数列时，可使得值最小，且满足已知条件.
由对称性得最后6项为，，
则的最小值.
【点睛】对于数列的新定义题，关键在于读懂题意.根据题意，可得出当时，或，根据已知，可推出数列的前6项以及后6项， 进而推得中间项和取的最小值应满足的条件.
5．已知项数为m的有限数列是1，2，3，…，m的一个排列.若，且，则所有可能的m值之和为______.
【答案】9
【详解】当时，显然不合题意;
当时,因为,
所以,不符合题意;
当时,数列为，此时,
符合题意，
当时,数列为.
此时,符合题意;
下证当时,不存在满足题意.
令,
则,且,
所以有以下三种可能: ①；
②； ③
当时,因为,
即.
所以或.
因为数列的各项互不相同,所以.
所以数列是等差数列.
则是公差为1(或的等差数列.
当公差为1时,由得或,
所以或,与已知矛盾.当公差为时,
同理得出与已知矛盾.
所以当时,不存在满足题意.
其它情况同理可得.
综上，的所有取值为4或5，故所有可能的值之和为9.
故答案为：9.
6．数列满足，，则__________
【答案】
【详解】由得：，
；
设，
则，
，
，
，即，
，，
.
故答案为：.
7．已知等差数列中，，则的值等于__________.
【答案】14
【详解】解：由题意得：
等差数列，所以设等差数列的首项为： ，公差为：
又，
故答案为：
8．已知公差为且各项均为正数的等差数列的前项和为，且，则的最小值为__________.
【答案】9
【详解】因为，则，化简得，
因为数列的各项均为正数，则，
则
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为9.
故答案为：9.
9．已知数列满足，且，表示数列的前n项和，则使不等式成立的正整数n的最小值是______．
【答案】10
【详解】因为数列满足且，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，
所以，所以，所以
．令，解得．
故答案为：10．
三、解答题
10．已知数列的前项和为，且成等比数列．
(1)求数列 的通项公式;
(2)设数列 的前项和，求证:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为 ，所以，即，所以数列是首项为，公差为 1 的等差数列，其公差.
由 成等比数列，得，
则 ，所以，
所以;
（2）由题可知 ，所以，
所以 ，
两式相减得 ，
所以 .
所以 ，又，
所以 是递增数列，，故.
11．已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数.
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【详解】（1）由，可得，
，又，
故数列是以3为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）可知，故.
.
令
易知随的增大而增大.
，故满足的最大整数为4.
12．近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达，每年年底把除运营成本万元，再将剩余资金继续投入直播平合.
(1)若，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？
(2)每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底 除运营成本后资金达到3000万元？（结果精确到万元）
【答案】(1)936万元
(2)3000万元
【详解】（1）记为第年年底扣除运营成本后直播平台的资金，
则，
故第3年年底扣除运营成本后直播平台的资金为936万元.
（2），
由，得，
故运营成本最多控制在万元，
才能使得直播平台在第6年年底扣除运营成本后资金达到3000万元.
13．若函数是其定义域内的区间上的严格增函数，而是上的严格减函数，则称是上的“弱增函数”.若数列是严格增数列，而是严格减数列，则称是“弱增数列”.
(1)判断函数是否为上的“弱增函数”，并说明理由（其中是自然对数的底数）；
(2)已知函数与函数的图像关于坐标原点对称，若是上的“弱增函数”，求的最大值；
(3)已知等差数列是首项为4的“弱增数列”，且公差d是偶数.记的前项和为，设是正整数，常数，若存在正整数和，使得且，求所有可能的值.
【答案】(1)是上的“弱增函数”，理由见解析
(2)1
(3)所有可能的值为和
【详解】（1）函数是上的“弱增函数”，理由如下：
显然，是上的严格增函数，
对于函数，，
当时，恒成立，
故是上的严格减函数，
从而是上的“弱增函数”.
（2）记，
由题意得，
，
由是上的“弱增函数”可得函数是上的严格增函数，而是上的严格减函数，
函数图像的对称轴为，且是区间上的严格增函数，
令，则，
当，即时，解得或，
当时，，则函数在上单调递减，
即函数是区间上的严格减函数，
由是上的“弱增函数”，得，
所以，
所以的最大值为1.
（3），
由是“弱增数列”得，即.
又因为d是偶数，所以，
从而.
故，
由得，所以当时，，即，
故若，则不存在和，使得.
从而.
若，解得，满足；
若，解得，满足；
若，解得，不满足.
当时，，故不存在大于5的正整数，使得.
综上，所有可能的值为和.
14．已知数列满足，记，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的正项等比数列，若数列中的第项是数列中的第项.
(1)求数列及的通项公式.
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为，所以，因为，
所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列，
所以.所以.由题意知.所以，即，
又，则.
所以.又，则，则.
（2）
，①
，②
①-②得，
.
所以.
15．已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求当n为何值时，数列的前n项和取得最大值.
【答案】(1)；
(2)或时，取得最大值.
【详解】（1）设数列的公差为d，，由，，成等比数列，得，即，解得.
所以数列的通项公式为.
（2）由
得，，
当或5时，取得最大值，最大值为10.
16．已知是数列的前项和，已知目，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，.
(2)，其中.
【详解】（1）由题，又由，.
可得，.
故.
则当，时，.
又时，，故数列的通项公式是，.
（2）由（1）可知，，
则.
则当为偶数时，
.
当为奇数时，.
综上：，其中.第17讲 数列的通项、求和及数列不等式的证明
真题展示
2022新高考一卷第17题
记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
试题亮点
试题以考生熟悉的等差数列为载体而设计，但不是通常的给定等差数列求通项、求和等常规操作，而是将等差数列的性质融合在前n项和与通项的关系之中，特别是第（2）问中的数列的求和运算涉及裂项相消．试题源于教材、其创新思想又高于教材，充分体现高考的选拔功能.试题对高中数学教学具有指导作用，要求考生在强化基本功的同时，加强对知识的灵活运用，形成学科素养.
知识要点整理
数列求和问题
数列求和是数列问题中的基本题型，是数列部分的重点内容，在高考中也占据重要地位，它具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点．数列求和的方法主要有公式法、分组转化法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、并项求和法等．
一、公式法求和
例1 求数列1,3＋5,7＋9＋11,13＋15＋17＋19，…的前n项和．
反思感悟 公式法求和中的常用公式有
(1)等差、等比数列的前n项和
①等差数列：Sn＝na1＋d(d为公差)或Sn＝.
②等比数列：Sn＝其中q为公比．
(2)四类特殊数列的前n项和
①1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)．
②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
③12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
④13＋23＋33＋…＋n3＝n2(n＋1)2.
二、分组转化法求和
例2 求和：Sn＝2＋2＋…＋2(x≠0)．
反思感悟 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．
三、倒序相加法求和
例3 设F(x)＝，求F＋F＋…＋F.
反思感悟 (1)倒序相加法类比推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1＋an)．
(2)如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求其和可以用倒序相加法．
四、裂项相消法求和
例4 求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N*.
延伸探究
求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N*.
反思感悟 (1)对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法，可用待定系数法对通项公式拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．
(2)常见的拆项公式有
①＝－.
②＝.
③＝.
④＝－.
⑤＝.
五、错位相减法求和
例5 已知{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝1，b1＝3，a2＋b2＝7，a3＋b3＝11.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Tn.
反思感悟 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
六、并项求和法求和
例6 求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)．
反思感悟 通项中含有(－1)n的数列求前n项和时可以考虑使用奇偶并项法，分项数为奇数和偶数分别进行求和．
三年真题
1．设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
2．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
3．已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
4．已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
5．记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
6．已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．
(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若为连续可表数列，且，求证：．
7．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
8．已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
9．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
10．设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列：
①，且；
②；
③，．
（1）如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由；
（2）若数列是数列，求；
（3）设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．
11．记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
12．已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
13．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
14．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
15．设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
16．已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
三年模拟
一、单选题
1．已知角的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知数列的前项和为，首项，且满足，则的值为（ ）
A．4093 B．4094 C．4095 D．4096
3．已知数列为等差数列，为等比数列的前n项和，且，，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．设是由正整数组成且项数为的增数列，已知，，数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于中任意序数不同的两项和，在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得，则的最小值为___________.
5．已知项数为m的有限数列是1，2，3，…，m的一个排列.若，且，则所有可能的m值之和为______.
6．数列满足，，则__________
7．已知等差数列中，，则的值等于__________.
8．已知公差为且各项均为正数的等差数列的前项和为，且，则的最小值为__________.
9．已知数列满足，且，表示数列的前n项和，则使不等式成立的正整数n的最小值是______．
三、解答题
10．已知数列的前项和为，且成等比数列．
(1)求数列 的通项公式;
(2)设数列 的前项和，求证:.
11．已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数.
12．近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达，每年年底把除运营成本万元，再将剩余资金继续投入直播平合.
(1)若，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？
(2)每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底 除运营成本后资金达到3000万元？（结果精确到万元）
13．若函数是其定义域内的区间上的严格增函数，而是上的严格减函数，则称是上的“弱增函数”.若数列是严格增数列，而是严格减数列，则称是“弱增数列”.
(1)判断函数是否为上的“弱增函数”，并说明理由（其中是自然对数的底数）；
(2)已知函数与函数的图像关于坐标原点对称，若是上的“弱增函数”，求的最大值；
(3)已知等差数列是首项为4的“弱增数列”，且公差d是偶数.记的前项和为，设是正整数，常数，若存在正整数和，使得且，求所有可能的值.
14．已知数列满足，记，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的正项等比数列，若数列中的第项是数列中的第项.
(1)求数列及的通项公式.
(2)求数列的前项和.
16．已知是数列的前项和，已知目，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
