第18讲 解三角形
真题展示
2022新高考一卷第 题
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，求；
（2）求的最小值．
【思路分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出．
（2）利用诱导公式把用表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论．
【解析】（1）【解法一】(交叉相乘)：，，
化为：，，
，，，
，．
【解法二(半角公式)：由诱导公式及二倍角公式可得
，
由二倍角公式得，∵，∴tan=tanB，
又∈( )，B∈(0,π)，∴=B，即A=2B，从而C=+B，又C=，∴+B=，解得B=.
（2）【解法一】(统一为C)：由（1）可得：，，，，
为钝角，，都为锐角，．A=>0，得，
，
，当且仅当时取等号．
的最小值为．
【解法二】法二(统一为B)：由(1)知A= 2B∈(0,π)，B∈(0,π)，C=+B∈(0,π)，解得，B∈(0, )，从而cosB∈(,1),
由正弦定理得= 5≥4 5,当且仅当4=，=时取等号。
故的最小值为4 5。
【试题评价】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
考查目标
试题将考生熟悉的解三角形作为命题情境.解三角形本质上是在三角形内蕴方程（三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理）的基础上，把试题设定的条件（方程）与内蕴方程建立联系，从而求得三角形的全部或者部分度量关系.试题考查正弦定理、三角函数两角和公式、二倍角公式等基础知识；同时以三角函数为载体，考查了均值不等式的应用．试题考查内容强调基础，服务"双减".
试题考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，以及理性思维、数学探索等学科素养．试题考查的内容是解三角形的重点知识，涉及的最值求解问题也是学生常见的形式，符合基础性、综合性的考查要求.
知识要点整理
知识点一 余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C
推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝
知识点二 解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
知识点三 正弦定理
条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
结论 ＝＝
文字叙述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
知识点四 三角形中边与角之间的关系
1．利用余弦定理和正弦定理进行边角转化
(1)cos A＝；cos B＝；cos C＝.
(2)2Rsin A＝a，2Rsin B＝b，2Rsin C＝c，(其中R为△ABC外接圆的半径)
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a2>b2＋c2，则cos A＝<0，△ABC为钝角三角形；
(2)若a2＝b2＋c2，则cos A＝＝0，△ABC为直角三角形；
(3)若a2
0，cos B＝>0，cos C＝>0，△ABC为锐角三角形．
三年真题
1．在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：．
（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．
（3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，
故．
2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
3．在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
5．记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
（2）因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
7．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
8．在，角所对的边分别为，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
【答案】（I）；（II）；（III）
【详解】（I）因为，由正弦定理可得，
，；
（II）由余弦定理可得；
（III），，
，，
所以.
9．在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，且.
【详解】（1）因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故.
10．在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
【详解】（1），则由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，
与矛盾，故这样的不存在；
若选择②：由（1）可得，
设的外接圆半径为，
则由正弦定理可得，
，
则周长，
解得，则，
由余弦定理可得边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得，即，
则，解得，
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：
.
11．记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.
【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，
得，
因为，所以，即．
又因为，所以．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为，如图，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因为，所以，解得或，
当时，（舍去）．
当时，．
所以．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知，则，
即，
而，即，
故有，从而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
则．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化简得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作，交于点E，则．
由，得．
在中，．
在中．
因为，
所以，
整理得．
又因为，所以，
即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为，所以．
以向量为基底，有．
所以，
即，
又因为，所以．③
由余弦定理得，
所以④
联立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则．
由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设，则．⑤
由知，，
即．⑥
联立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
12．在中，角所对的边分别为．已知 ．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【详解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得
，
又因为，所以；
（Ⅱ）在中，由， 及正弦定理，可得；
（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得 ，
进而，
所以.
13．在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ）和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）, ；
选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, .
【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得,再根据正弦定理求,最后根据三角形面积公式求结果；
选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求，再根据三角形面积公式求结果.
【详解】选择条件①（Ⅰ）
（Ⅱ）
由正弦定理得：
选择条件②（Ⅰ）
由正弦定理得：
（Ⅱ）
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.
14．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【答案】（I）；（II）
【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；
（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围.
【详解】（I）
[方法一]：余弦定理
由，得，即.
结合余弦定，
∴，
即，
即，
即，
即，
∵为锐角三角形，∴，
∴，
所以，
又B为的一个内角，故.
[方法二]【最优解】：正弦定理边化角
由，结合正弦定理可得：
为锐角三角形，故.
（II） [方法一]：余弦定理基本不等式
因为，并利用余弦定理整理得，
即.
结合，得.
由临界状态（不妨取）可知.
而为锐角三角形，所以.
由余弦定理得，
，代入化简得
故的取值范围是.
[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质
结合(1)的结论有：
.
由可得：，，
则，.
即的取值范围是.
【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.
15．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】详见解析
【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.
【详解】［方法一］【最优解】：余弦定理
由可得：，不妨设，
则：，即.
若选择条件①：
据此可得：，，此时.
若选择条件②：
据此可得：，
则：，此时：，则：.
若选择条件③：
可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.
［方法二］：正弦定理
由，得．
由，得，即，
得．由于，得．所以．
若选择条件①：
由，得，得．
解得．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时．
若选择条件②：
由，得，解得，则．
由，得，得．
所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时．
若选择条件③：
由于与矛盾，所以，问题中的三角形不存在．
【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题的通性通法,也是最优解；
方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角，可求出角，从而可得，再根据选择条件即可解出．
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.
（2）方法一：根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.
【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法
由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
[方法二]【最优解】：几何法
过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以．
在中，，因此．
（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
由于，，所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以.
所以.
[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法
在（1）的方法二的图中，由，可得，从而．
又由（1）可得，所以．
[方法三]：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得．
在中，，
所以．
在中，由正弦定理可得，
由此可得．
[方法四]：构造直角三角形法
如图，作，垂足为E，作，垂足为点G．
在（1）的方法二中可得．
由，可得．
在中，．
由（1）知，所以在中，，从而．
在中，．
所以．
【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法.
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面积；
（2）若sinA+sinC=，求C.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）已知角和边，结合关系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面积公式，即可得出结论；
（2）方法一 ：将代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关角的三角函数值，结合的范围，即可求解.
【详解】（1）由余弦定理可得，
的面积；
（2）[方法一]：多角换一角
，
，
，
.
[方法二]：正弦角化边
由正弦定理及得．故．
由，得．
又由余弦定理得，所以，解得．
所以．
18．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式
由余弦定理得：，
即.
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为.
[方法二]：正弦化角（通性通法）
设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．
[方法三]：余弦与三角换元结合
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，
所以周长的最大值为．
19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，证明：△ABC是直角三角形．
【答案】（1）；（2）证明见解析
再根据勾股定理或正弦定理即可证出．
【详解】（1）因为，所以，
即，
解得，又，
所以；
（2）因为，所以，
即①，
又②， 将②代入①得，，
即，而，解得，
所以，
故，
即是直角三角形．
三年模拟
一、单选题
1．双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意如图所示：
由双曲线，知，
所以，
所以，
所以过作垂直于轴的直线为，
代入中，解出，
由题知的内切圆的半径相等，
且，的内切圆圆心
的连线垂直于轴于点，
设为，在中，由等面积法得：
由双曲线的定义可知：
由，所以，
所以，
解得：，
因为为的的角平分线，
所以一定在上，即轴上，令圆半径为，
在中，由等面积法得：
，
又
所以，
所以，
所以，
，
所以
，
故选：A.
二、解答题
2．在中，设角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，
得
即，
从而，
由，得.
（2）由得，
从而，即
又因为，得
所以，即，
从而，
而，故
解得，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
3．在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.
(1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？
(2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
【答案】(1)247.4m
(2)应使得，来修建观赏步道.
【详解】（1），
解得：，
因为C是钝角，所以.
由余弦定理得：
，
故需要修建247.4m的隔离防护栏；
（2）解法一：，
当且仅达时取到等号，此时m，设，，
在中，，
解得：，
故
，
因为，所以，
故当，即时，取的最大值为1，
，
当且仅当时取到等号，此时
答：修建观赏步道时应使得，.
解法二：，
当且仅达时取到等号，此时，
设，.则由余弦定理，
，
故由平均值不等式，，
从而，
等号成立当且仅当.
答：修建观赏步道时应使得，.
4．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小及a的值；
(2)求面积的最大值，并求此时的周长．
【答案】(1)，
(2)面积的最大值为，此时的周长为
【详解】（1）∵，
∴由正弦定理得，∴，
又∵，∴．∵，∴，
∵（舍去），∴，∵，∴．
（2）由（1）知，，．由余弦定理得，
∴，∴，∴，
当且仅当时取等号，此时的周长为．
5．的内角的对边分别为,已知,
(1)若为边上一点,,且,求;
(2)若为平面上一点,,其中,求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由可得,
即,
,,
,.
,
即,
则,
,,
在中,由正弦定理可得,
即,
解得.
（2）,
即,
则,
,
(*),
根据已知条件,
,
代入(*)式得:,
当时,取得最小值为.
6．在中，内角的对边分别为，.
(1)求；
(2)若的面积为，求边上的中线的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
即，
所以，
由余弦定理及得：
，
又，
所以，
即，
所以，
所以.
（2）由，
所以，
由（1），
所以，
因为为边上的中线，
所以，
所以
，
所以，
所以边上的中线的长为：.
7．已知分别为内角的对边，且
(1)求角；
(2)若的面积为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：，
由正弦定理得，
所以
由于，所以，则，又，所以；
（2）解：由（1）得，
由余弦定理得，
，
.
8．在中，角所对的边分别为，，，已知，，且.
(1)求的面积；
(2)若是线段的中点，求的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
在中，由余弦定理得，
因为，所以，又，，
故的面积.
（2）因为是线段的中点，
所以，则，
所以，
所以，即的长为.
9．近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以中点A为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设.
(1)如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度;
(2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少 （精确到1万元）
【答案】(1)(米)
(2)2022万元
【详解】（1）解:由题,
,同理,故,
由于点P位于弧BC的中点,所以点P位于的角平分线上,
则,
,
因为,,
所以为等边三角形,
则,
因此三条街道的总长度为（米）.
（2）由图可知,
,
,
,
在中由余弦定理可知:
,
则,
设三条步行道每年能产生的经济总效益,则
,
当即时取最大值,
最大值为.
答:三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为2022万元.
10．在中，，，.
(1)求的值.
(2)求的周长和面积.
【答案】(1)
(2)周长为；面积为
【详解】（1）因为并且，
所以，又因为，所以，所以
因为由正弦定理得：
即即
所以或，又因为，所以与只能同正，所以，故，又因为，所以,.
（2）由（1）得，根据正弦定理得：，所以，
又因为
根据正弦定理：
所以的周长为：
的面积为：
11．在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量，，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）已知，，
，，得，，.
（2）已知，根据正弦定理得，即.
根据余弦定理得，
将代入得，解得，即得.
.
12．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c；
(1)若△ABC的面积，求B；
(2)若，求；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理，通过化简整理可求出，即可求出角的值；
（2）首先由根据正弦定理得，利用角的余弦定理得，最后联立方程组，解方程组即可求出的值.
【详解】（1）已知，化简得，
即得，又，故.
（2）已知，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
由，得，即，
由，解得.
故得.第18讲 解三角形
真题展示
2022新高考一卷第 题
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，求；
（2）求的最小值．
考查目标
试题将考生熟悉的解三角形作为命题情境.解三角形本质上是在三角形内蕴方程（三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理）的基础上，把试题设定的条件（方程）与内蕴方程建立联系，从而求得三角形的全部或者部分度量关系.试题考查正弦定理、三角函数两角和公式、二倍角公式等基础知识；同时以三角函数为载体，考查了均值不等式的应用．试题考查内容强调基础，服务"双减".
试题考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，以及理性思维、数学探索等学科素养．试题考查的内容是解三角形的重点知识，涉及的最值求解问题也是学生常见的形式，符合基础性、综合性的考查要求.
知识要点整理
知识点一 余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C
推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝
知识点二 解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 ．
知识点三 正弦定理
条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
结论 ＝＝
文字叙述 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等
知识点四 三角形中边与角之间的关系
1．利用余弦定理和正弦定理进行边角转化
(1)cos A＝；cos B＝；cos C＝.
(2)2Rsin A＝a，2Rsin B＝b，2Rsin C＝c，(其中R为△ABC外接圆的半径)
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a2>b2＋c2，则cos A＝<0，△ABC为 三角形；
(2)若a2＝b2＋c2，则cos A＝＝0，△ABC为 三角形；
(3)若a20，cos B＝>0，cos C＝>0，△ABC为 三角形．
三年真题
1．在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
3．在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
5．记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
7．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
8．在，角所对的边分别为，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
9．在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
10．在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
11．记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
12．在中，角所对的边分别为．已知 ．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
13．在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ）和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
14．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
15．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面积；
（2）若sinA+sinC=，求C.
三年模拟
一、单选题
1．双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
2．在中，设角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求的最大值.
3．在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.
(1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？
(2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
4．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小及a的值；
(2)求面积的最大值，并求此时的周长．
6．在中，内角的对边分别为，.
(1)求；
(2)若的面积为，求边上的中线的长.
7．已知分别为内角的对边，且
(1)求角；
(2)若的面积为，求的值.
8．在中，角所对的边分别为，，，已知，，且.
(1)求的面积；
(2)若是线段的中点，求的长.
9．近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以中点A为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设.
(1)如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度;
(2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少 （精确到1万元）
10．在中，，，.
(1)求的值.
(2)求的周长和面积.
12．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c；
(1)若△ABC的面积，求B；
(2)若，求；