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专题五 函数的图象与性质
考点突破
考点一 函数及其表示(基础型)
分段函数问题的5种常见类型及解题策略
(1)求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．
(2)求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．
(3)解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围是大前提．
(4)求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程．
(5)奇偶性：利用奇函数(偶函数)的定义判断．
[考法全练]
1.函数f(x)＝是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是( )
A.－≤a<0 B.a≤－ C.－1≤a≤－ D.a≤－1
答案：D
解析：因为f(x)＝是R上的单调递减函数，所以其图象如图所示，则解得a≤－1，故选D.
2.若函数f(x)＝的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是( )
A. [－1，2] B. [－1，0] C. [1，2] D. [0，2]
答案：D
解析：当x≤0时，因为f(x)min＝f(0)，所以f(x)＝(x－a)2在(－∞，0]上单调递减，故a≥0.
当x>0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a(当且仅当x＝1时取等号)，因为f(x)min＝f(0)，所以2＋a≥f(0)＝a2，解得－1≤a≤2.综上可知，0≤a≤2.故选D.
3.已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则a的取值范围是( )
A.[－1，0) B.[0，1] C.[－1，1] D.[－2，2]
答案：C
解析：函数y＝f(x)的图象如图所示，由图可知f(x)为偶函数，所以f(－a)＝f(a)，则不等式f(－a)＋f(a)≤2f(1)等价为2f(a)≤2f(1)，即f(a)≤f(1)，再由图象可得|a|≤1，即－1≤a≤1.故选C.
4.已知函数f(x)＝若f[f(0)]＝4a，则实数a＝________．
答案：2
解析：由题意知，f(0)＝20＋1＝2，则f[f(0)]＝f(2)＝4＋2a，即4＋2a＝4a，所以a＝2.
5.已知函数f(x)＝则不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1的解集是________．
答案：(－∞，－1＋]
解析：解析：当x＋1<0，即x<－1时，f(x＋1)＝－(x＋1)＋1＝－x，不等式变为x－x(x＋1)≤1，即－x2≤1，解得x∈R，故x∈(－∞，－1)．当x＋1≥0，即x≥－1时，f(x＋1)＝x＋1－1＝x，不等式变为x＋x(x＋1)≤1，即x2＋2x－1≤0，解得－1－≤x≤－1＋，故x∈[－1，－1＋]．综上可知，所求不等式的解集为(－∞，－1＋]．
考点二 函数的图象及其应用(综合型)
函数图象变换的4种形式
(1)平移变换(上加下减，左加右减)
y＝f(x)的图象y＝f(x＋a)(y＝f(x－a))的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(x)＋a(y＝f(x)－a)的图象．
(2)伸缩变换
y＝f(x)的图象y＝kf(x)的图象；
y＝f(x)的图象eq \o(―――――――――――――→,\s\up7(y不变，x变为原来的倍))y＝f(kx)的图象．
(3)对称变换
y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(2a－x)的图象．
(4)翻折变换
y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象，
y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象．
[典型讲解]
角度一 函数图象的识别
例1(1)函数f(x)＝的图象大致为( )
答案：B
解析：当x<0时，因为ex－e－x<0，所以此时f(x)＝<0，故排除A、D；又f(1)＝e－>2，故排除C，选B.
(2)(一题多解)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为关于x的函数f(x)，则f(x)的图象大致为( )
答案：B
解析：法一：当点P位于边BC上时，∠BOP＝x，0≤x≤，则＝tan x，所以BP＝tan x，所以AP＝，所以f(x)＝tan x＋，可见y＝f(x)图象的变化不可能是一条直线或线段，排除A，C.当点P位于边CD上时，∠BOP＝x，≤x≤，则BP＋AP＝＋＝＋.当点P位于边AD上时，∠BOP＝x，≤x≤π，则＝tan(π－x)＝－tan x，所以AP＝－tan x，所以BP＝，所以f(x)＝－tan x＋，根据函数的解析式可排除D，故选B.
法二：当点P位于点C时，x＝，此时AP＋BP＝AC＋BC＝1＋，当点P位于CD的中点时，x＝，此时AP＋BP＝2<1＋，故可排除C，D，当点P位于点D时，x＝，此时AP＋BP＝AD＋BD＝1＋，而在变化过程中不可能以直线的形式变化排除A，故选B.
(3)已知定义域为[0，1]的函数f(x)的图象如图所示，则函数f(－x＋1)的图象可能是( )
答案：B
解析：因为f(－x＋1)＝f[－(x－1)]，先将f(x)的图象沿y轴翻折，y轴左侧的图象即为f(－x)的图象，再将所得图象向右平移1个单位长度就得到函数f(－x＋1)的图象，故选B.
题后总结：(1)由函数解析式识别函数图象的策略
(2)根据动点变化过程确定其函数图象的策略
①先根据已知条件求出函数解析式后再判断其对应的函数的图象．
②采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征，从而做出选择．
③根据动点中变量变化时，对因变量变化的影响，结合选项中图象的变化趋势做出判断．
角度二 函数图象的应用
例2 若关于x的不等式2－x2>|x－a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是________．
答案：
解析：在同一坐标系中画出函数f(x)＝2－x2，g(x)＝|x－a|的图象，如图所示，若a≤0，则其临界情况为折线g(x)＝|x－a|与抛物线f(x)＝2－x2相切．由2－x2＝x－a可得x2＋x－a－2＝0，由Δ＝1＋4·(a＋2)＝0，解得a＝－；若a>0，则其临界情况为两函数图象的交点为(0，2)，此时a＝2.结合图象可知，实数a的取值范围是.
题后反思：对于一些函数与方程、不等式等问题，可通过转化为相应函数，再借助函数图象的特点和变化规律求解有关问题，这样非常直观简洁，也是数形结合思想的充分体现．
[考法全练]
1.函数f(x)＝cos x的图象的大致形状是( )
答案：B
解析：因为f(x)＝cos x，所以f(－x)＝cos(－x)＝－cos x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A，C，又当x∈时，ex>e0＝1，－1<0，cos x>0，所以f(x)<0，可排除选项D，故选B.
2.设函数f(x)＝，则满足f(x＋1)
A.(－∞，－1] B.(0，＋∞) C.(－1，0) D.(－∞，0)
答案：D
解析：当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数，则f(x)≥f(0)＝1.作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f(x＋1)3.某地一年的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10 ℃，令C(t)表示时间段[0，t]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C(t)与t之间的函数关系的是( )
答案：A
解析：若增加的数大于当前的平均数，则平均数增大；若增加的数小于当前的平均数，则平均数减小．因为12个月的平均气温为10 ℃，所以当t＝12时，平均气温应该为10 ℃，故排除B；因为在靠近12月份时其温度小于10 ℃，因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10 ℃，排除C；6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值，故平均气温不可能出现先减小后增加的情况，故排除D，故选A.
4.若不等式(x－1)2答案：(1，2]
解析：要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)21时，如图，要使x∈(1，2)时y＝(x－1)2的图象在y＝logax的图象的下方，只需(2－1)2≤loga2，即loga2≥1，解得1考点三 函数的性质及其应用(综合型)
1.与函数周期性有关的5条结论
(1)若f(x＋T)＝f(x)，则T是f(x)的一个周期．
(2)若f(x＋T)＝，则2T是f(x)的一个周期．
(3)若f(x＋T)＝－，则2T是f(x)的一个周期．
(4)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a(5)若对于定义域内的任意x都有f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.
2.与函数对称性有关的3条结论
(1)函数y＝f(x)关于x＝a对称 f(a＋x)＝f(a－x) f(x)＝f(2a－x)．
(2)函数y＝f(x)关于x＝对称 f(a＋x)＝f(b－x) f(x)＝f(b＋a－x)．
(3)y＝f(x＋a)是偶函数 函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．
[典型讲解]
角度一 函数单调性的应用
例3 (1)已知函数f(x)＝(a－2)ax(a>0且a≠1)，若对任意x1，x2∈R，x1≠x2，都有>0，则a的取值范围是________．
答案：(0，1)∪(2，＋∞)
解析：当02时，a－2>0，y＝ax单调递增，所以f(x)单调递增．又由题意知f(x)单调递增，故a的取值范围是(0，1)∪(2，＋∞)．
(2)函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2(x1x1f(x2)，记a＝f(2)，b＝f(1)，c＝－f(－3)，则a，b，c之间的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．a>c>b
答案：B
解析：因为对任意两个正数x1，x2(x1x1f(x2)，所以>，得函数g(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，又c＝－f(－3)＝f(3)，所以g(1)>g(2)>g(3)，即b>a>c，故选B.
题后反思：(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决；(2)对于x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，若(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0，则f(x)在闭区间[a，b]上是增函数；(3)若函数f(x)在定义域(或某一区间)上是增函数，则f(x1)角度二 函数的奇偶性与周期性
例4 (1)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 B．0 C．2 D．50
答案：C
解析：因为f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0.因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x)＝f(2－x)，f(－x)＝f(2＋x)，所以f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期函数，且一个周期为4，所以f(4)＝f(0)＝0，f(2)＝f(1＋1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝－f(1)＝－2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2，故选C.
(2)已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于( )
A．0 B．2 C．4 D．8
答案：C
解析：f(x)＝＝2＋，设g(x)＝，因为g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0.因为M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，所以M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4.
题后反思：(1)任何时候研究函数定义域优先，定义域是函数的灵魂；(2)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f(x)的性质f(|x|)＝f(x)；(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．
[考法全练]
1.定义在R上的函数f(x)对任意00的解集是( )
A.(－2，0)∪(0，2) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－∞，－2)∪(0，2) D.(－2，0)∪(2，＋∞)
答案：C
解析：由<1，可得<0.令F(x)＝f(x)－x，由题意知F(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，且是奇函数，F(2)＝0，F(－2)＝0，所以结合图象，令F(x)>0，得x<－2或02.已知函数y＝f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：①对任意的x1，x2∈[4，8]，当x10恒成立；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函数．若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2 017)，则a，b，c的大小关系正确的是( )
A.a答案：B
解析：由①知函数f(x)在区间[4，8]上为单调递增函数；由②知f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，所以c＝f(2 017)＝f(252×8＋1)＝f(1)，b＝f(11)＝f(3)；由③可知函数f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以b＝f(3)＝f(5)，c＝f(1)＝f(7)．因为函数f(x)在区间[4，8]上为单调递增函数，所以f(5)3.已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f＝________．
答案：
解析：解析：因为f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f＝f，又2≤x≤3时，f(x)＝x，所以f＝，所以f＝.
考点四 新定义类问题(创新型)
新定义函数问题主要包括两类：(1)概念型，即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素(定义域、对应法则、值域)作为重点，考查考生对函数概念的深入理解；(2)性质型，即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等性质及有关性质的延伸，旨在考查学生灵活应用函数性质的能力．
[典型讲解]
例5 若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1) x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；(2) x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0.①f(x)＝sin x；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x；④f(x)＝ln(＋x)．以上四个函数中，“优美函数”的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：B
解析：由条件(1)，得f(x)是奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的单调减函数．对于①，f(x)＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.
题后反思：解决此类新定义问题首先要准确理解给出的新定义，然后把其转化为熟悉的数学问题求解．如本例通过对“优美函数”的理解，将问题转化为判定函数是否满足条件．
[考法全练]
1.若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是( )
A.f(x)＝2－x B.f(x)＝x2 C.f(x)＝3－x D.f(x)＝cos x
答案：A
解析：对于选项A，f(x)＝2－x＝，则exf(x)＝ex·＝，因为>1，所以exf(x)在R上单调递增，所以f(x)＝2－x具有M性质．对于选项B，f(x)＝x2，exf(x)＝exx2，[exf(x)]′＝ex(x2＋2x)，令ex(x2＋2x)>0，得x>0或x<－2；令ex(x2＋2x)<0，得－22.对于使f(x)≤M成立的所有常数M，我们把M的最小值称为f(x)的上确界，若a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝1，则－－的上确界为( )
A.－ B. C. D.－4
答案：A
解析：因为a＋b＝1，所以－－＝－－＝－－，因为a>0，b>0，所以＋≥2，当且仅当b＝2a时取等号，所以－－≤－－2＝－，所以－－的上确界为－，故选A.
习题精练
一、选择题
1．已知函数f(x)＝则满足f(a)≥2的实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(0，＋∞) B．(－1，0) C．(－2，0) D．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
答案：D
解析：因为函数f(x)＝且f(a)≥2，所以或，解得a≤－1或a≥0.
2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ B．y＝|x|－1 C．y＝lg x D．y＝
答案：B
解析：选项A中函数y＝不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；B中函数满足题意，故B正确；C中函数不是偶函数，故C错误；D中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.
3．已知函数f(x)＝的图象关于原点对称，g(x)＝ln(ex＋1)－bx是偶函数，则logab＝( )
A．1 B．－1 C．－ D.
答案：B
解析：由题意得f(0)＝0，所以a＝2.因为g(1)＝g(－1)，所以ln(e＋1)－b＝ln＋b，所以b＝，所以logab＝log2＝－1.
4．函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为( )
答案：D
解析：当x＝0时，y＝2，排除A，B.由y′＝－4x3＋2x＝0，得x＝0或x＝±，结合三次函数的图象特征，知原函数在(－1，1)上有三个极值点，所以排除C，故选D.
5.若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)等于( )
A．－ B．－
C．－1 D．－2
答案：C
解析：解析：选C.由图象可得a(－1)＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，所以a＝2，b＝5，所以f(x)＝故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.
6．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 015)＝( )
A．5 B. C．2 D．－2
答案：D
解析：由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2，故选D.
7．已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)单调递增，且f(1)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为( )
A．{x|02} B．{x|x<0或x>2} C．{x|x<0或x>3} D．{x|x<－1或x>1}
答案：A
解析：由于函数f(x)是奇函数，且当x>0时f(x)单调递增，f(1)＝0，故由f(x－1)>0，得－11，所以02，故选A.
8．下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x) C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
答案：B
解析：法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x)．故选B.
法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.
9.如图，动点P在正方体ABCD A1B1C1D1的体对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体的表面相交于M，N两点．设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
答案：B
解析：设正方体的棱长为1，显然，当P移动到体对角线BD1的中点E时，函数y＝MN＝AC＝取得唯一的最大值，所以排除A、C；当P在BE上时，分别过M，N，P作底面的垂线，垂足分别为M1，N1，P1，则y＝MN＝M1N1＝2BP1＝2xcos∠D1BD＝x，是一次函数，所以排除D.故选B.
10．已知函数f(x)是偶函数，f(x＋1)是奇函数，且对于任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，设a＝f，b＝－f，c＝f，则下列结论正确的是( )
A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b
答案：B
解析：因为函数f(x)是偶函数，f(x＋1)是奇函数，所以f(－x)＝f(x)，f(－x＋1)＝－f(x＋1)，所以f(x－1)＝－f(x＋1)，所以f(x)＝－f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以a＝f＝f＝f，b＝－f＝f，c＝f＝f，又对于任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，所以f(x)在[0，1]上是减函数，因为<<，所以b>a>c，故选B.
11．已知奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，若函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＋n＝( )
A．3 B．7 C．10 D．14
答案：C
解析：由题中函数图象知f(±1)＝0，f(0)＝0，g＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，f＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，所以f(g(x))有7个零点，即m＝7.又g(f(0))＝g(0)＝0，g(f(±1))＝g(0)＝0，所以g(f(x))有3个零点，即n＝3.所以m＋n＝10，选择C.
12．已知函数f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当h(x)A．有最小值－1，最大值1 B．有最大值1，无最小值
C．有最小值－1，无最大值 D．有最大值－1，无最小值
答案：C
解析：作出函数g(x)＝1－x2和函数|f(x)|＝|2x－1|的图象如图①所示，得到函数h(x)的图象如图②所示，由图象得函数h(x)有最小值－1，无最大值．
二、填空题
13．已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，若f(x＋2 017)＝则f·f(－7 983)＝________．
答案：4
解析：解析：由题意得，f＝sin ＝1，f(－7 983)＝f(2 017－10 000)＝lg 10 000＝4，所以f·f(－7 983)＝4.
14．定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)的值等于________．
答案：405
解析：解析：定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1.f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝403＋0＋1＋1＝405.
15．定义新运算 ：当a≥b时，a b＝a；当a答案：6
解析：由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当116．已知函数f(x)＝的图象上有两对关于y轴对称的点，则实数k的取值范围是________．
答案：(0，2e2)
解析：将函数y＝ln(－2x)(x<0)的图象沿y轴翻折，得函数g(x)＝ln(2x)(x>0)的图象，由题意可得g(x)的图象和y＝kx－3(x≥0)的图象有两个交点．设y＝kx－3(x≥0)的图象与曲线y＝g(x)相切的切点为(m，ln(2m))，由g′(x)＝，得k＝.又ln(2m)＝km－3，解得m＝，则k＝2e2.由图象可得021世纪教育网(www.21cnjy.com)
2023版高考二轮专题复习学案 专题五 函数的图象与性质 1/12中小学教育资源及组卷应用平台
专题五 函数的图象与性质
考点突破
考点一 函数及其表示(基础型)
分段函数问题的5种常见类型及解题策略
(1)求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．
(2)求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．
(3)解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围是大前提．
(4)求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程．
(5)奇偶性：利用奇函数(偶函数)的定义判断．
[考法全练]
1.函数f(x)＝是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是( )
A.－≤a<0 B.a≤－ C.－1≤a≤－ D.a≤－1
2.若函数f(x)＝的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是( )
A. [－1，2] B. [－1，0] C. [1，2] D. [0，2]
3.已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则a的取值范围是( )
A.[－1，0) B.[0，1] C.[－1，1] D.[－2，2]
4.已知函数f(x)＝若f[f(0)]＝4a，则实数a＝________．
5.已知函数f(x)＝则不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1的解集是________．
考点二 函数的图象及其应用(综合型)
函数图象变换的4种形式
(1)平移变换(上加下减，左加右减)
y＝f(x)的图象y＝f(x＋a)(y＝f(x－a))的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(x)＋a(y＝f(x)－a)的图象．
(2)伸缩变换
y＝f(x)的图象y＝kf(x)的图象；
y＝f(x)的图象eq \o(―――――――――――――→,\s\up7(y不变，x变为原来的倍))y＝f(kx)的图象．
(3)对称变换
y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(2a－x)的图象．
(4)翻折变换
y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象，
y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象．
[典型讲解]
角度一 函数图象的识别
例1(1)函数f(x)＝的图象大致为( )
(2)(一题多解)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为关于x的函数f(x)，则f(x)的图象大致为( )
(3)已知定义域为[0，1]的函数f(x)的图象如图所示，则函数f(－x＋1)的图象可能是( )
题后总结：(1)由函数解析式识别函数图象的策略
(2)根据动点变化过程确定其函数图象的策略
①先根据已知条件求出函数解析式后再判断其对应的函数的图象．
②采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征，从而做出选择．
③根据动点中变量变化时，对因变量变化的影响，结合选项中图象的变化趋势做出判断．
角度二 函数图象的应用
例2 若关于x的不等式2－x2>|x－a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是________．
题后反思：对于一些函数与方程、不等式等问题，可通过转化为相应函数，再借助函数图象的特点和变化规律求解有关问题，这样非常直观简洁，也是数形结合思想的充分体现．
[考法全练]
1.函数f(x)＝cos x的图象的大致形状是( )
2.设函数f(x)＝，则满足f(x＋1)A.(－∞，－1] B.(0，＋∞) C.(－1，0) D.(－∞，0)
3.某地一年的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10 ℃，令C(t)表示时间段[0，t]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C(t)与t之间的函数关系的是( )
4.若不等式(x－1)2考点三 函数的性质及其应用(综合型)
1.与函数周期性有关的5条结论
(1)若f(x＋T)＝f(x)，则T是f(x)的一个周期．
(2)若f(x＋T)＝，则2T是f(x)的一个周期．
(3)若f(x＋T)＝－，则2T是f(x)的一个周期．
(4)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a(5)若对于定义域内的任意x都有f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.
2.与函数对称性有关的3条结论
(1)函数y＝f(x)关于x＝a对称 f(a＋x)＝f(a－x) f(x)＝f(2a－x)．
(2)函数y＝f(x)关于x＝对称 f(a＋x)＝f(b－x) f(x)＝f(b＋a－x)．
(3)y＝f(x＋a)是偶函数 函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．
[典型讲解]
角度一 函数单调性的应用
例3 (1)已知函数f(x)＝(a－2)ax(a>0且a≠1)，若对任意x1，x2∈R，x1≠x2，都有>0，则a的取值范围是________．
(2)函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2(x1x1f(x2)，记a＝f(2)，b＝f(1)，c＝－f(－3)，则a，b，c之间的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．a>c>b
题后反思：(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决；(2)对于x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，若(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0，则f(x)在闭区间[a，b]上是增函数；(3)若函数f(x)在定义域(或某一区间)上是增函数，则f(x1)角度二 函数的奇偶性与周期性
例4 (1)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 B．0 C．2 D．50
(2)已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于( )
A．0 B．2 C．4 D．8
题后反思：(1)任何时候研究函数定义域优先，定义域是函数的灵魂；(2)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f(x)的性质f(|x|)＝f(x)；(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．
[考法全练]
1.定义在R上的函数f(x)对任意00的解集是( )
A.(－2，0)∪(0，2) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－∞，－2)∪(0，2) D.(－2，0)∪(2，＋∞)
2.已知函数y＝f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：①对任意的x1，x2∈[4，8]，当x10恒成立；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函数．若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2 017)，则a，b，c的大小关系正确的是( )
A.a3.已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f＝________．
考点四 新定义类问题(创新型)
新定义函数问题主要包括两类：(1)概念型，即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素(定义域、对应法则、值域)作为重点，考查考生对函数概念的深入理解；(2)性质型，即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等性质及有关性质的延伸，旨在考查学生灵活应用函数性质的能力．
[典型讲解]
例5 若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1) x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；(2) x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0.①f(x)＝sin x；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x；④f(x)＝ln(＋x)．以上四个函数中，“优美函数”的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
题后反思：解决此类新定义问题首先要准确理解给出的新定义，然后把其转化为熟悉的数学问题求解．如本例通过对“优美函数”的理解，将问题转化为判定函数是否满足条件．
[考法全练]
1.若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是( )
A.f(x)＝2－x B.f(x)＝x2 C.f(x)＝3－x D.f(x)＝cos x
2.对于使f(x)≤M成立的所有常数M，我们把M的最小值称为f(x)的上确界，若a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝1，则－－的上确界为( )
A.－ B. C. D.－4
习题精练
一、选择题
1．已知函数f(x)＝则满足f(a)≥2的实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(0，＋∞) B．(－1，0) C．(－2，0) D．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ B．y＝|x|－1 C．y＝lg x D．y＝
3．已知函数f(x)＝的图象关于原点对称，g(x)＝ln(ex＋1)－bx是偶函数，则logab＝( )
A．1 B．－1 C．－ D.
4．函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为( )
5.若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)等于( )
A．－ B．－
C．－1 D．－2
6．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 015)＝( )
A．5 B. C．2 D．－2
7．已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)单调递增，且f(1)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为( )
A．{x|02} B．{x|x<0或x>2} C．{x|x<0或x>3} D．{x|x<－1或x>1}
8．下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x) C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
9.如图，动点P在正方体ABCD A1B1C1D1的体对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体的表面相交于M，N两点．设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
10．已知函数f(x)是偶函数，f(x＋1)是奇函数，且对于任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，设a＝f，b＝－f，c＝f，则下列结论正确的是( )
A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b
11．已知奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，若函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＋n＝( )
A．3 B．7 C．10 D．14
12．已知函数f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当h(x)A．有最小值－1，最大值1 B．有最大值1，无最小值
C．有最小值－1，无最大值 D．有最大值－1，无最小值
二、填空题
13．已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，若f(x＋2 017)＝则f·f(－7 983)＝________．
14．定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)的值等于________．
15．定义新运算 ：当a≥b时，a b＝a；当a16．已知函数f(x)＝的图象上有两对关于y轴对称的点，则实数k的取值范围是________．
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2023版高考二轮专题复习学案 专题五 函数的图象与性质 1/12