安徽省滁州市定远县育才学校2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题（含解析）

定远育才学校2022-2023学年度第二学期3月考试
九年级数学试题
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 中国华为麒麟处理器是采用纳米制程工艺的手机芯片，在的尺寸上塞进了亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理，亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 由个相同的小正方体组成的几何体如图所示，从正面看该几何体得到的平面图形是( )
A. B.
C. D.
5. 若关于的分式方程的解是负数，则的取值范围为( )
A. 且 B.
C. 且 D.
6. 如图，将钝角绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，若，则的大小为( )
A. B. C. D.
7. 本学期某校举行了四次数学测试，李娜同学四次的成绩单位：分分别为，，，，王玥同学四次的成绩分别为，，，，且李娜同学四次成绩的中位数比王玥同学四次成绩的中位数少分，则下列说法正确的是( )
A. 的值为
B. 两位同学成绩的平均数相同
C. 李娜同学成绩的众数比王玥同学成绩的众数大
D. 王玥同学的成绩比李娜同学的成绩稳定
8. 某轮船在静水中的速度为，水流速度为，该船从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用时不计停留时间，设甲、乙两码头之间的距离为，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
9. 如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于点、再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧．两弧交于点作射线交边于点过点作于点，若，，，则的长度为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标是，与轴的一个交点是，点在抛物线上，且在直线上方，则下列结论正确的是( )
A.
B. 方程有两个相等的实数根
C.
D. 点到直线的最大距离
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11. 因式分______．
12. 如图，半径为的两个等圆，外切于点，切于点，弦，连接，，则图中阴影部分的面积等于______结果保留
13. 如图，、是第二象限内双曲线上的点，、两点的横坐标分别是、，线段的延长线交轴于点，若，则的值为______ ．
14. 如图，在矩形中，，点为射线上一点，且，点为的中点，连接，，将沿直线折叠，若点的对应点恰好落在上，则的长为______．
三、解答题（本大题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
计算：；
化简：．
16. 本小题分
如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，且点的坐标为．
作出关于轴对称的点与点对应；
已知与关于直线对称点与点对应，试作出直线；
在的条件下，观察与各对对应点的坐标之间的关系，若是内部任意一点，请直接写出这点在内部的对应点的坐标为______．
在的条件下，在直线上作出一点，使的值最小，并简要描述作法．
17. 本小题分
为了有效阻击“新冠肺炎”病毒传播，某小区响应政府号召实施封闭管理．在封闭管理期间，为了保障人们生活需要，该社区组织了辆汽车运送食品、药品和生活日用品三种应急物资到一些居民小区．按计划每辆汽车只能装运一种应急物资，并且辆汽车都必须装运、装满．设运送食品的汽车辆，运送药品的汽车数是运送食品的汽车数的还少辆．根据表中提供的信息解答下列问题：
应急物资种类 食品 药品 生活用品
每辆汽车的运载量吨
运送每吨物资的运费元
辆汽车一共运送了多少吨应急物资？用含的代数式表示
如果运送的药品总量与生活用品总量之比：，则有多少辆汽车运送食品？
在的条件下，若运送这批应急物资所需要的总运费是元，则运送吨生活用品的运费是多少元？
18. 本小题分
新修订的未成年人保护法是一部全方位保障未成年人权益的综合性、基础性法律某中学为了让学生学习并进行测试，现分别从七、八两个年级各随机抽取名学生的测试成绩分，并对其统计、整理如下：
七年级名学生测试成绩扇形统计图如下，其测试成绩在之间的是：、、、、；
八年级名同学测试成绩统计如下：、、、、、、、、、；
两个年级测试成绩的平均数、中位数、众数如表：
统计量 平均数 中位数 众数
七年级
八年级
根据以信息，回答下列问题：
填空：______；______；
若该校八年级共有年学生，请根据上述调查结果估计八年级测试成绩在之间的人数；
已知七年教本次测试成绩中排在前四名的学生是名男生和名女生，若从他们中任选两人作为代表进行普法演讲，试求恰好选中两个男生的概率．
19. 本小题分
如图，、是两个核酸检测点，点、、是附近的在同一条直线上的三个小区的物业服务中心，在处测得点在正北处，点在北偏东，在处测得点在北偏东，点在北偏西，，求、两个小区的物业服务中心距离．结果保留整数，参考数据：
20. 本小题分
阅读下列材料：
，，，，，
．
解答下列问题：
在和式中，第项为______，第项是______．
上述求和的想法是：将和式中的各分数转化为两数之差，使得除首末两项外的中间各项可以抵消，从而达到求和的目的，受此启发，请你解下面的方程：．
21. 本小题分
如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．
求证：是的切线；
若，，求的长．
22. 本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方抛物线上的动点的横坐标为．
求该抛物线的解析式及顶点的坐标；
连接、，当为何值时，；
在直线上是否存在一点使为等腰直角三角形，若存在请直接写出点的坐标，不存在请说明理由．
23. 本小题分
已知为等边三角形，点、分别是、上一点．
如图，，连接、，交于点，在的延长线上取点，使得，连接，若，求的面积；
如图，、相交于点，点为延长线上一点，连接、、，已知，，，探究、、之间的数量关系并说明理由；
如图，已知，过点作于点，点是直线上一点，以为边，在的下方作等边，连，当取最小值时请直接写出的长．
答案和解析
1. 【解析】的相反数是，故选：．
2. 【解析】，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；故选：．
3. 【解析】亿．故选：．
4. 【解析】这个组合体从正面看到的图形如下：
故选：．
5. 【解析】分式方程去分母得：，
整理得：，
移项合并得：，
解得：，
分式方程的解为负数，
且，
解得：且．故选：．
6. 【解析】由旋转的性质可得，，
，
，
，
，故A正确．故选：．
7. 【解析】李娜同学四次的成绩的中位数为分，
由题意知王玥同学四次的成绩的中位数为分，
则分，故A选项错误；
李娜成绩的平均数为分，王玥成绩的平均数为分，故B选项错误；
李娜同学成绩的众数为分，王玥同学成绩的众数为分，故C选项错误；
王玥同学的成绩的方差为，
李娜同学的成绩的方差为，
王玥同学的成绩比李娜同学的成绩稳定，故D选项正确；故选：．
8. 【解析】由题意得，
，故选D．
9.
【解析】如图，延长交的延长线于点，作于点，于点，
，，，
，，
，
，
设，则，
由作图可知平分，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
故选：．
10. 【解析】由图象可知开口向下，
，
函数与轴的交点在轴的正半轴上，
，
对称轴为直线，
，
，
故A不符合题意；
抛物线的顶点坐标是，
时，方程的解为，
方程有且只有一个实数根，
故B不符合题意；
当时，，
，即，
故C符合题意；
设直线的解析式为，
，
解得，
，
设抛物线，将点代入，
，
解得，
，
过点作轴交于点，
设点坐标为，则，
，
当时，的面积有最大值，
，
，
点到直线的最大距离，
故D不符合题意；故选：．
11.
【解析】原式
．故答案为：．
12.
【解析】连接，，
，，
，，，
是正三角形
阴影部分的面积．
13.
【解析】分别过点、作轴于点，轴于点，轴于点，轴于点，
反比例函数的图象在第二象限，
，
点是反比例函数图象上的点，
，
、两点的横坐标分别是、，
，
点是的二等分点，
，，
，解得，
故答案为：．
14.或
【解析】分两种情况：
设，
当在边上时，如图，连接，则，
四边形是矩形，
，，
，，
，
由折叠得：，，，
点为的中点，
，
，
，
在和中
≌，
，
，
，
，
；
当点在的延长线上时，如图，连接，则，
，
，
，
，
综上，的长是或．
15.
；
．
16.
【解析】如图所示，即为所求；
如图所示，直线即为所求；
点；故答案为：；
如图所示，连接或交直线于点，则点即为所求．
17.由题意可知，运送药品的汽车有辆，则运送生活日用品的汽车有辆，
辆汽车一共运送的应急物资有：
吨，
辆汽车一共运送了吨应急物资；
依题意有：：：，
解得．
故有辆汽车运送食品；
当时，一共运送的应急物资为：
吨，
运送这批应急物资的总费用是：
依题意有：，
解得．
故运送吨生活用品的运费是元．
18.
【解析】的人数为人，的人数为人，
七年级中位数在中，
由题意知七年级中位数，
八年级众数，
故答案为：，；
估计八年级测试成绩在之间的人数为人；
列表如下：
男 男 男 女
男 男，男 男，男 女，男
男 男，男 男，男 女，男
男 男，男 男，男 女，男
女 男，女 男，女 男，女
由表知，共有种等可能结果，其中恰好选中两个男生的有种结果，
所以恰好选中两个男生的概率为．
19.如图，
过作于点，过作于点，
则四边形是矩形，
，，
由题意得：，，，
是等腰直角三角形，
，
在中，，，
，，
，，
，
在中，，，
，
，
，
答：、两个小区的物业服务中心距离约为．
20. ；
【解析】，
故答案为：；；
将分式方程变形为，
整理得，方程两边都乘以，
得，
解得．
经检验，是原分式方程的根．
21.连接，
是的直径，
，
，
又，
，
又．
，
，
即，
是的切线；
，，
，
在中，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
设，则，，
又，
即，
解得或舍去，
．
22.，，
点的坐标为，点的坐标为，
设抛物线的表达式为，将点的坐标代入，得，
解得，
抛物线的表达式为，
，
抛物线的顶点坐标为：．
联立，
解得：，，
点的坐标为，
如图，过点作轴的平行线，交于点，设点，则点，
，
解得：或．
存在；
设点，点，，而点，
当时，如图，过点作轴的平行线，过点，点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点，，
，，
，
，，
≌，
，，
即，，
解得：或，
当时，，解得，舍去
点；
当时，如图所示，
此时，则点、关于抛物线对称轴对称，即垂直抛物线的对称轴，而对称轴与轴垂直，故轴，则，
同理可得，舍去，
故点坐标为．
当时，
Ⅰ当点在抛物线对称轴右侧时，如图所示：
点在下方，与题意不符，故舍去；
Ⅱ当点在抛物线对称轴左侧时，同理可得，
解得：舍去，，
点；
综上可得，点的坐标为或．
23.是等边三角形，
，，
又，
≌，
，
，
又，
是等边三角形，
；
，理由如下：
由可知：≌，，，
又，
是等边三角形，
，，
，
又，
≌，
，
，
，，
，，
≌，
，
，
，
；
如图，连接，
是等边三角形，，
，，，，
是等边三角形，
，，
，
≌，
，，
点在过点且与成度的直线上移动，
当时，有最小值，
此时，的最小值，
，
，
，
．