专题：平面向量与圆锥曲线的综合应用
向量问题与圆锥曲线的综合也是高考常考的题型；
本专题分为五个模块练习：
1、向量共线证明的判断；①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；③向量法：利用向量共线定理证明三点共线；④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上;⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.
2、向量夹角与圆锥曲线的综合；
向量垂直的综合应用；
向量的定值计算；
向量的范围应用；
一、 共线证明与圆锥曲线的综合
【典例】平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．（I）求的取值范围；II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
举一反三
1.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若，求l的方程；
（2）若，求．
二、向量夹角与圆锥曲线的应用
【典例】知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）若P是第一象限内该数轴上的一点，，求点P的作标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角（其中O为作标原点），求直线的斜率的取值范围.
解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．
举一反三
1.已知椭圆的长轴长为，短轴长为2.
（1）求椭圆的焦点坐标；
（2）直线与椭圆相交于两点，点为椭圆的左焦点，若为锐角，求实数的取值范围.
2：如图所示，椭圆：()的左右顶点分别为、，上下顶点分别为、，四边形的面积为，周长为．直线：与椭圆交于不同的两点和．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求的值．
（3）若为锐角，求的取值范围．
三、向量垂直（圆的应用）与圆锥曲线的应用
典例已知抛物线：，过点的直线交与，两点，圆是以线段为直径的圆．
(1)证明：坐标原点在圆上；
(2)设圆过点，求直线与圆的方程．
举一反三
1.已知点为椭圆的两个焦点，其中左焦点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，为椭圆上一点。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，且点在第一象限，求点的坐标；
（3）若线段中点在轴上，求的值.
2.在平面直角坐标系中，为坐标原点.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数2，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程.
四、向量中的定值计算
【典例】如图，已知满足条件（其中为虚数单位）的复数在复平面上的对应点的轨迹为圆（圆心为），定直线的方程为，过斜率为的直线与直线相交于点，与圆相交于两点，是弦中点.
（1）若直线经过圆心，求证：与垂直；
（2）当时，求直线的方程；
（3）设，试问是否为定值？若为定值，请求出的值，若不为定值，请说明理由.
举一反三
1.已知抛物线：经过点．过点的直线与抛物线 有两个不
同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．
(1)求直线的斜率的取值范围；
(2)设为原点，，，求证：为定值．
2.已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．
(1)证明：；
(2)设为的右焦点，为上一点，且．证明：．
3.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作直线交抛物线于两点，设，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
向量与圆锥曲线的范围应用
【典例】已知椭圆的两个焦点分别为，，过点且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，的面积为，椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于，两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围．
举一反三
1.已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为原点)，求的取值范围．
2.已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线，直线：与轴交于点，与曲线交于，两个相异点，且.
（1）求曲线的方程；
（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.专题：平面向量与圆锥曲线的综合应用
向量问题与圆锥曲线的综合也是高考常考的题型；
本专题分为五个模块练习：
1、向量共线证明的判断；①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；③向量法：利用向量共线定理证明三点共线；④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上;⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.
2、向量夹角与圆锥曲线的综合；
向量垂直的综合应用；
向量的定值计算；
向量的范围应用；
一、 共线证明与圆锥曲线的综合
【典例】平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．（I）求的取值范围；II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，
代入椭圆方程得．
整理得 ①
直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，
解得或．即的取值范围为．
（Ⅱ）设，则，
由方程①，． ②
又． ③
而．
所以与共线等价于，
将②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．
举一反三
1.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若，求l的方程；
（2）若，求．
【解析】设直线．
（1）由题设得，故，由题设可得．
由，可得，则．
从而，得．所以的方程为．
（2）由可得．由，可得．
所以．从而，故．
代入的方程得．故．
二、向量夹角与圆锥曲线的应用
【典例】知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）若P是第一象限内该数轴上的一点，，求点P的作标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角（其中O为作标原点），求直线的斜率的取值范围.
解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．
（Ⅰ）易知，，．
∴，．设．则
，又，
联立，解得，．
（Ⅱ）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．
联立
∴，由
，，得．①又为锐角，∴
又
∴
∴．②
综①②可知，∴的取值范围是
举一反三
1.已知椭圆的长轴长为，短轴长为2.
（1）求椭圆的焦点坐标；
（2）直线与椭圆相交于两点，点为椭圆的左焦点，若为锐角，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
解析：（1）∵椭圆的长轴长为，短轴长为2
∴
即可得：，
∴焦点坐标为.
（2）设A B坐标为，椭圆的左焦点F(-1,0),
联立，消去的：
∴
∴
∵为锐角，∴，即
∴
解得：.
∴实数的范围
2：如图所示，椭圆：()的左右顶点分别为、，上下顶点分别为、，四边形的面积为，周长为．直线：与椭圆交于不同的两点和．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求的值．
（3）若为锐角，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
解析：（1）四边形的面积为，周长为，
又，解得，，故椭圆的方程为；
（2）将代入椭圆方程，整理得①，
，解得，
设、，由方程①，得，②，
又③，
，
即，
解得，显然满足，故；
（3）由（2）知，为锐角，即，
解得，又，，∴．
三、向量垂直（圆的应用）与圆锥曲线的应用
典例已知抛物线：，过点的直线交与，两点，圆是以线段为直径的圆．
(1)证明：坐标原点在圆上；
(2)设圆过点，求直线与圆的方程．
【解析】（1）设，，：
由可得，则
又，，故=4
因此的斜率与的斜率之积为，所以．
故坐标原点在圆上．
（2）由（1）可得，
故圆心的坐标为，圆的半径
由于圆过点，因此，
故
即
由（1）可得，．
所以，解得或．
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为．
举一反三
1.已知点为椭圆的两个焦点，其中左焦点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，为椭圆上一点。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，且点在第一象限，求点的坐标；
（3）若线段中点在轴上，求的值.
【答案】（1）；(2)；（3）7
【解析】（1），；
（2）设 因为
（3）因为线段中点在轴上，所以轴，因为点在第一象限，所以设，
代入椭圆方程，得，所以，因为，所以
所以
2.在平面直角坐标系中，为坐标原点.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数2，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程.
【答案】(1)；(2)或
解析：(1)设点，由题意得，
式子左右同时平方，并化简得，.所以曲线的方程为.
(2)当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线与曲线的交点坐标为.
所以与不垂直，即，不符合题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，得
由和，得.，
因为，所以.所以，解得
所以直线的方程为，即或.
四、向量中的定值计算
【典例】如图，已知满足条件（其中为虚数单位）的复数在复平面上的对应点的轨迹为圆（圆心为），定直线的方程为，过斜率为的直线与直线相交于点，与圆相交于两点，是弦中点.
（1）若直线经过圆心，求证：与垂直；
（2）当时，求直线的方程；
（3）设，试问是否为定值？若为定值，请求出的值，若不为定值，请说明理由.
【答案】（1）证明见详解；（2）或；（3）为定值且
【解析】（1）证明如下：
因为，所以，所以圆心，半径；
又因为，所以且，所以，所以与垂直；
（2）当直线的斜率不存在时，，此时，所以，所以，满足题意；
当的斜率存在且为时，，，所以，解得：，此时；
综上：直线的方程为或；
（3）当直线的斜率不存在时，可知：，所以，所以，即；
当直线的斜率存在且为时，设，，联立可得：，
所以，，即，所以；
又由可得：，所以，故，
综上可知：为定值，且.
举一反三
1.已知抛物线：经过点．过点的直线与抛物线 有两个不
同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．
(1)求直线的斜率的取值范围；
(2)设为原点，，，求证：为定值．
【解析】(1)因为抛物线经过点，
所以，解得，所以抛物线的方程为．
由题意可知直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为（）．
由得．
依题意，解得或．
又，与轴相交，故直线不过点．从而．
所以直线斜率的取值范围是．
(2)设，．
由(1)知，．
直线的方程为．
令，得点的纵坐标为．
同理得点的纵坐标为．
由，得，．
所以．
所以为定值．
2.已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．
(1)证明：；
(2)设为的右焦点，为上一点，且．证明：．
【解析】(1)设，，则，．
两式相减，并由得．
由题设知，，于是．①
由题设得，故．
(2)由题意得，设，则．
由(1)及题设得，．
又点在上，所以，从而，．
于是．
同理．
所以．
故
3.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作直线交抛物线于两点，设，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【答案】(1)；(2)是，0
解析：(1)由题意，设抛物线的方程为：，
所以点的坐标为，点的坐标为，
因为，所以，即，解得.
所以抛物线的方程为：
(2)设直线的方程为，则联立方程得，
所以，，因为，
所以
.所以为定值.
向量与圆锥曲线的范围应用
【典例】已知椭圆的两个焦点分别为，，过点且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，的面积为，椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于，两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围．
【答案】(1):；(2)
解析：（1）设椭圆的焦距为2c，，代入椭圆方程可得，解得，所以，所以，解得，又，所以，又，所以，所以椭圆的标准方程为
（2）当m=0时，则，由椭圆的对称性得,所以，所以当m=0时，存在实数，使得；当时，由，得，因为A、B、P三点共线，所以，解得，所以，设，由，得，由题意得，则，且，由，可得，所以，解得，又，整理得，显然不满足上式，所以，因为，所以，即，解得或，综上，的取值范围为
举一反三
1.已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为原点)，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
解析：(1)设双曲线的方程为，
则，再由，得故的方程为
(2)将代入，得
由直线与双曲线交于不同的两点，得
①设则
又，得，，即，解得②
由①②得，故的取值范围
2.已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线，直线：与轴交于点，与曲线交于，两个相异点，且.
（1）求曲线的方程；
（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）
解析：（1）如图，由题意可得：，则，
点的轨迹曲线是以，为焦点的椭圆，其中，，，则．
曲线的方程为；
（2）联立，可得．
由，得．
设，，，．
则，①，②
，，，
由，．
，所以．，则，③
联立①③，得，，
代入②，得，即，得，
代入，得，解得，解得或．
存在实数，使，的取值范围是．
