2023年陕西省铜川新区九年级下册第一次阶段性测试数学试题(含答案)

铜川新区2023年九年级第一次阶段性测试
数学试题
考生注意：
1．本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟。
2．请考生一律使用0.5mm黑色签字笔将答案填写在答题卡相对应的位置，交卷时，只交答题卡。
第一部分（选择题共21分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．计算：3－2＝
A． B． C．－6 D．
2．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是
A． B． C． D．
3．下列因式分解正确的是
A． B．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b（a2－6a＋9）
C．x2－2x＋4＝（x－2）2 D．4x2－y2＝（4x＋y）（4x－y）
4．一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为
A．∠α＋∠β＝180° B．∠α＋∠β＝225° C．∠α＋∠β＝270° D．∠α＝∠β
5．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是
A．2 B．3 C． D．4
6．已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋2和直线y＝x＋2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的是
A．y＝x＋2 B．y＝x＋2 C．y＝4x＋2 D．y＝x＋2
7．已知二次函数y＝（a－2）x2－（a＋2）x＋1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（a－2）x2－（a＋2）x＋1＝0的两根之积为
A． B．－1 C． D．0
第二部分（非选择题共99分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
8．如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，则a＋b 0（填“＞”、“＝”或“＜”）．
9．如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为 ．
10．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为 ．
11．如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为 ．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA＋PB的最小值为 ．
三、解答题（共14小题，计84分，解答应写出过程）
13．（本题4分）
计算：．
14．（本题4分）
化简：（x＋y）2－（x－y）2
15．（本题4分）解不等式组，请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为 ．
16．（本题4分）
如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹，不写作法）
17．（本题4分）
先化简，再求值：，其中．
18．（本题5分）
如图，E是□ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．求证：△ABC≌△DCE．
19．（本题5分）
“两果问价”问题出自我国古代算书《四元玉鉴》，原题如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？又问各该几个钱？将题目译成白话文，内容如下：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？
20．（本题5分）
从2021年起，某省高考采用“3＋1＋2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．
（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是 ；
（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2”中选择化学、生物的概率．
21．（本题6分）
每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计整理如下：
八年级抽取的学生的竞赛成绩：
4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
七年级抽取的学生的竞赛成绩条形统计图
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 7.4 7.4
中位数 a b
众数 7 c
合格率 85% 90%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异．
22．（本题7分）
如图，小丽站在电子显示屏正前方5m远的A1处看“防溺水六不准”，她看显示屏顶端B的仰角为60°，看显示屏底端C的仰角为45°，已知小丽的眼睛与地面的距离AA1＝1.6m，求电子显示屏高BC的值．（结果保留一位小数，参考数据：，）
23．（本题7分）
某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃．气温T（℃）和高度h（百米）的函数关系如图所示，请根据图象解决下列问题：
（1）求高度为5百米时的气温；
（2）求T关于h的函数表达式；
（3）测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度．
24．（本题8分）
如图，AB是⊙O的直径，D是AB的延长线上一点，点C在⊙O上，BC＝BD，AE⊥CD交DC的延长线于点E，AC平分∠BAE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝6，求⊙O的直径．
25．（本题8分）
如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（－9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标．
26．（本题10分）
问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D，过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，则图①中与线段CE相等的线段是 ；
问题探究
（2）如图②，AB是半圆O的直径，AB＝8，P是上一点，且，连接AP、BP，∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，求线段CF的长；
问题解决
（3）如图③是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图，已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且AC＝BC，P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D，连接AD、BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分别为点E、F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区，设AP的长为x米，阴影部分的面积为y平方米．求y与x之间的函数关系式．
铜川新区2022年九年级第一次阶段性测试
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．B 2．D 3．A 4．B 5．C 6．C 7．A
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
8．＜ 9．（2，4，2） 10．十 11． 12．
三、解答题（共14小题，计84分，解答应写出过程）
13．（本题4分）
解：原式
．
14．（本题4分）
解：原式＝x2＋2xy＋y2－x2＋2xy－y2
＝4xy
15．（本题4分）
解：
（1）x≤1；
（2）x≥－3；
（3）不等式①和②的解集在数轴上表示如图；
（4）－3≤x≤1．
16．（本题4分）
解：如图所示，点P即为所求．
17．（本题4分）
解：原式
，
当时，原式．
18．（本题5分）
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠B＝∠DCE．
在△ABC和△DCE中，
∴△ABC≌△DCE（SAS）．
19．（本题5分）
解：设甜果买了x个，苦果买了y个，由题意得
，
解得．
∴，，
答：甜果买了657个，需要803文钱；苦果买了343个，需要196文钱．
20．（本题5分）
解：
（1）；
（2）画树状图如图，
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中选化学、生物的结果有2种，
∴P（在“2”中选择化学、生物）．
21．（本题6分）
解：
（1）7.5，8，8；
（2）七年级抽取的学生成绩达到9分及以上的有5人，八年级抽取的学生成绩达到9分及以上的有5人，假设七年级共有m人，则八年级共有（800－m）人，
则七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数为（人）．
答：估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的有200人；
（3）八年级学生竞赛成绩更优异．
理由：七、八年级学生成绩的平均数相同，从中位数分析，八年级学生成绩的中位数高于七年级学生成绩的中位数，因此八年级学生竞赛成绩更优异．（合理即可）
22．（本题7分）
解：过点A作AD⊥BC，交BC延长线于点D．
由题意可知∠BAD＝60°，∠CAD＝45°，AD＝5m．
在Rt△ADB中，由tan∠BAD＝，得
BD＝ADtan60°＝5×≈8.66m．
在Rt△ADC中，∠CAD＝45°．
∴∠ACD＝45°，
∴∠CAD＝∠ACD．
∴CD＝AD＝5m．
∵BC＝BD－CD，∴BC＝8.66－5≈3.7m．
答：电子显示屏BC的高约为3.7m．
23．（本题7分）
解：
（1）由题意得，高度增加2百米，则气温降低2×0.6＝1.2℃，
∴13.2－1.2＝12℃，
∴高度为5百米时的气温大约是12℃；
（2）设T＝kh＋b（k≠0），
由题意，得k＝－0.6，即T＝－0.6h＋b，
当h＝3时，T＝13.2，
∴13.2＝－0.6×3＋b，解得b＝15，
∴T关于h的函数表达式为T＝－0.6h＋15；
（3）当T＝6时，6＝－0．6h＋15，解得h＝15．
∴该山峰的高度大约为15百米，即1500米．
24．（本题8分）
解：
（1）证明：如图，连接OC，
则OC＝OA．∴∠OAC＝∠OCA．
∵AC平分∠BAE，
∴∠EAC＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠OCA．∴AE∥OC．
∴∠AEC＝∠OCD．
∵AE⊥CD，∴∠AEC＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝∠D＋∠BCD．
∵BC＝BD，∴∠D＝∠BCD，
∴∠OCB＝2∠BCD．
∵∠OCD＝90°，
∴∠OCB＋∠BCD＝90°．
∴2∠BCD＋∠BCD＝90°，即∠D＝∠BCD＝30°．
在Rt△OCD中，由tan∠D＝，得
OC＝CDtan30°＝6×＝．
∴AB＝2OC＝．
即⊙O的直径是．
25．（本题8分）
解：
（1）∵点A（0，1），B（－9，10）在抛物线上，
∴
解得
∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x＋1；
（2）∵AC∥x轴，A（0，1），∴点C的纵坐标为1．
∴x2＋2x＋1＝1．∴x1＝－6，x2＝0．
又∵当x2＝0时，点C与点A重合，
∴点C的坐标（－6，1）．
∵点A（0，1），B（－9，10），
∴直线AB的解析式为y＝－x＋1．
设点P（m，m2＋2m＋1），∴E（m，－m＋1）．
∴PE＝－m＋1－（m2＋2m＋1）＝－m2－3m．
∵AC⊥EP，AC＝6，
∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC
＝AC·EF＋AC·PF
＝AC·（EF＋PF）
＝AC·PE
＝×6×（－m2－3m）
＝－m2－9m
＝－（m＋）2＋，
∵－6＜m＜0，
∴当m＝－时，S四边形AECP的最大值是，此时点．
26．（本题10分）
解：
（1）CF，FD，DE；
（2）如图①，连接OP．
∵AB是⊙O的直径，，
∴∠AOP＝60°，图①
∴∠B＝30°．
由题意知，矩形PECF为正方形．
在Rt△APB中，PB＝AB·cos30°＝．
在Rt△CBF中，BF＝＝CF．
∵PF＝CF，
∴CF＋CF＝．
∴CF＝6－；
（3）如图②，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°．
∵AC＝BC，∴∠ADC＝∠BDC．
∴PE＝PF．∴四边形PEDF为正方形．
∴∠APE＋∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°．
∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A＇PF，A′P＝AP，则A′、F、B三点共线，△PA′B为直角三角形，∠A′PB＝90°．
∴S△PAE＋S△PBF＝S△PA′B＝A′P·PB＝x（70－x）．
在Rt△ABC中，AC＝BC＝（米），
∴S△ABC＝AC2＝1225（平方米）．
∴y＝S△PA′B＋S△ABC
＝x（70－x）＋1225
＝－x2＋35x＋1225．