2023年新高考数学重难点突破- 专题2 基本不等式及其应用（讲义）（含解析）

专题2：基本不等式及其应用
基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式，在高考中，基本不等式是作为求多变元的最值的工具，利用均值不等式求最值需要把握准确“一正、二定、三相等”的含义，并要掌握相应的技巧.
配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．
例1(2021·湖南省株洲市模拟)若，，且，
则恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【思路点拨】
首先恒成立问题转化为最值问题，本题实质是求的最小值，表达式为“和式”结构，因此可将条件转化为“积式”结构，也即因式分解为，进而利用均值不等式求解.
练1(2023·安徽省合肥市模拟)若，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
练2(2023·江苏省无锡市模拟)已知正实数，满足，则的最小值为 ．
常数代换是指利用某些带有常数项的恒等式，把常量化为变量代入到所求证的式子中，并进行代数变形，进而利用均值不等式来求最值.常见的有“1”的代换.
例2(2023·湖北省武汉市模拟)若，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【思路点拨】
通过换元将题设条件简化为，然后将目标转化为关于的表达式，然后进行“1”的代换.
练3(2021·浙江省杭州市模拟)已知，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
利用条件将其中一个变量用另一个变量表示，将多变量的问题转化为单变量的问题，再利用均值不等式求解，也可以通过齐次化转化，利用比值换元转化为单变量问题.
例3(2021·江苏省南通市模拟)已知正数，满足，则的最大值为 ．
【思路点拨】
先根据得到，将代入然后化简得到，然后再利用均值不等式求解最大值即可．
练4(2023·江苏省无锡市模拟)若对任意实数，，不等式恒成立，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
连续使用均值不等式的关键在于取等条件是否成立，可以根据变量的个数以及方程的个数来确定可使用均值不等式的次数，或者需要保证所用均值不等式等号成立的条件不冲突.
例4(2023·天津市模拟)已知正数，，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【思路点拨】
本题变量为3个，方程1个，因此可以“自由”使用两次均值不等式，根据题干条件，可以先将目标中的利用均值不等式转化为，转化为单变量后进行化简，继续使用均值不等式求解即可.
练5(2023·福建省莆田市模拟)已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
练6(2022·湖北省襄阳市模拟)已知，，则的最小值为______．
柯西不等式的二维形式是：，当且仅当等号成立；
其向量形式为：，则
根据柯西不等式的结构，即，其实质是将数平方和的形式与一次求和形式之间的转化.也就是说如果不等式题中给出的已知是平方和的形式，要求一次方和的形式的情况时，就可以使用柯西不等式；反过来不等式题中如果给出的已知是一次方和的形式，要求平方和的形式，也可以使用柯西不等式.
例5(2021·安徽省合肥市模拟)已知，均为正实数，，则的最大值为______．
【思路点拨】
题干条件相当于目标的平方和的形式，因此可以通过配凑系数，利用柯西不等式求解.
练7(2022·北京市期末)已知，则的最小值为_________．
练8(2021·湖北省鄂州市模拟)已知，则以下式子成立的是( )
A． B．
C． D．
1.(2021·湖北省鄂州市模拟)若正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
2.(2021·江苏省无锡市模拟)实数满足,,,则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3.(2022·四川省绵阳市模拟)设，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4.(2022·湖北省武汉市模拟)已知正实数,,,满足,,则的最小值是( )
A. B. C. D.
5.(2021·天津市期末)已知实数,,,则的最小值是 ．
6.(2022·安徽省安庆市期末)已知均为正实数,且,则的最小值为 ．
7.(2022·江苏省南京市联考)已知正实数则的最小值为 ．
8.(2022·山东省青岛市模拟)已知实数满足，则的取值范围为___________.
专题2 不等式及其应用--答案解析
【专题探究】
例1【解析】因为，，，且
则
所以
即，当且仅当，即时，取等号．
则恒成立，等价于，
解得： ．
故选D．
练1【解析】法一：，即
从而
当且仅当，代入可得
法二：，，，，
，
，，
当且仅当即时取，故选D．
练2【解析】因为正实数，满足，则，
因为，则，
所以，
当且仅当且时取等号，
所以的最小值为，故答案为．
例2【解析】设，则，且，
题目转化为已知，求的最小值，，
而，
当且仅当，即时等式成立．
则．故选：．
练3【解析】由，可得，
又由，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，所以，即的最大值为.
法二：（齐次化）
故选：D.
例3【解析】因为，所以，即，所以，
所以，
因为、都是正数，所以，所以，所以，
所以，
当且仅当，即，等号成立，所以的最大值为．
练4【解析】由题知，，对任意实数恒成立，
即，对任意实数恒成立．令，则，
，对任意实数恒成立，令，则，
，对任意实数恒成立，，
又，当且仅当时等号成立，
，，
，实数的最小值为．故选D．
例4【解析】由题意可得又，
，当且仅当时取等号，
，，即，，
注意到，，，
当且仅当，即时取等号，当且仅当且时取等号，
的最小值为．故选C．
练5【解析】设，则，所以
当且仅当且时取得“”，此时，，
所以的最小值为．
练6【解析】注意到，，等号当且仅当，即时取得，
有，等号当且仅当，即时取得，
因此，当且仅当取得.
故的最小值为
例5【解析】由柯西不等式有，
，
当且仅当，即，时取等号．
故答案为：．
练7【解析】由柯西不等式有，当且仅当时等号成立，
即所以的最小值为．
练8【解析】由柯西不等式可得，
当且仅当时，上式取等号，所以，
即，
故．故选B．
【专题训练】
1.【解析】由题意，设，解得，，其中，，
，，整理得，
又由，
当且仅当，即，
即时，等号成立，
的最小值为．故选：．
2.【解析】令，，则，，
且，，，
所以，
当且仅当时取等号.故选：D.
3.【解析】
,
当且仅当和，即时取等号，故选：D.
4.【解析】，，，，
当且仅当时，取等号．
则，
当且仅当时，且，时，的最小值为，故选：．
5.【解析】，，且，，
，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值是.
6.【解析】，，，，
，
即，当且仅当时等号成立，
，
当且仅当，即，，时等号成立，
的最小值为．
7.【解析】 ，
当且仅当，时，等号成立．
故 的最小值为 .
8.【解析】由柯西不等式可得，
，
当且仅当，即时，等号成立，故，
又，
当且仅当，即时，等号成立，故，
所以.故答案为：
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