2023届高考数学复习专题★★ 圆锥曲线中的证明与探索性问题 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
圆锥曲线中的证明与探索性问题
2023届高考数学复习专题★★
技法一 代数运算巧证明
【模型解法】
圆锥曲线证明问题,常见的有位置关系和数量关系,位置关系证明有相切、垂直、过定点等；数量关系证明有存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等.其解题策略为：
例1 （2022·新高考卷Ⅱ）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ．
（1）求 的方程；
【解】由题意得 ①.
因为双曲线的渐近线方程为 ，
所以 ②.
又 ③，所以联立①②③得 ， ．
所以双曲线 的方程为 .
（2）过 的直线与 的两条渐近线分别交于 ， 两点，点 ,
在 上，且 , ．过 且斜率为 的直线与过 且斜率为 的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
① 在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【解】由题意知直线 的斜率存在且不为0，设直线 的方程为 ，将直线 的方程代入 的方程，整理得 ,
则 ， ，
所以 ，
所以 .
设点 的坐标为 ，
则
两式相减，得 ，
又 ，
所以 ,
解得 ；
两式相加，得 ，
又 ，
所以 ，
解得 .
因此，点 的轨迹为直线 ，其中 为直线 的斜率.
若选择①②：因为 ，所以直线 的方程为 ，设
， ，
不妨令点 在直线 上，
则由 解得 ， ，
同理可得 ， ，
所以 ， .
点 的坐标满足
得 ， ,
故 为 的中点，即 .
若选择①③：当直线 的斜率不存在时，点 即为点 ，此时
不在直线 上，矛盾.
当直线 的斜率存在时，易知直线 的斜率不为0，设直线 的方程为 ， ， ，
不妨令点 在直线 上，
则由 解得 ， ，
同理可得 ， ,
因为 在 上，且 ，
所以 , ,
又点 在直线 上，所以 ，
解得 ，因此 .
若选择②③：因为 ，所以直线 的方程为 ，设
， ，
不妨令点 在直线 上，
则由 解得 ， ，
同理可得 ， .
设 的中点为 ，则 ， .
因为 ，所以 在 的垂直平分线上，
即点 在直线 ，即 上，
与 联立，得 ， ,
即点 恰为 的中点，故点 在直线 上.
圆锥曲线中证明问题的求解策略
处理圆锥曲线中的证明问题常采用直接法证明，证明时常借助于等价转化思想，化几何关系为数量关系，然后借助函数方程思想、数形结合思想解决.
（2022·高三名校联考信息卷（二））已知动点 到点 的距离等于它到直线 的距离，记点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
解：根据抛物线的定义知，点 的轨迹 为抛物线，
设 的方程为 ， ，
易知抛物线 的焦点为 ，
准线为直线 ，所以 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）过 上一点 作圆 的两条斜率都存在的切线，分别与 交于异于点 的 ， 两点.证明：直线 与圆 相切.
证明：因为圆 ，
所以圆心 的坐标为 ，半径 ，
设 ， ， ， ，
则直线 的方程为 ，
即 .
（2022·高三名校联考信息卷（二））已知动点 到点 的距离等于它到直线 的距离，记点 的轨迹为 .
因为直线 与圆 相切，所以 ，
整理得 ，
同理可得 ，
所以 ， 是关于 的方程 的两根，
所以 , .
又直线 的方程为 ，
所以圆 的圆心到直线 的距离

，
所以直线 与圆 相切.
技法二 假设存在探求存在性
【模型解法】
圆锥曲线中的是否存在问题一般采用假设存在法破解,即先假设所探究的元素存在,在这个假设下探究其是否符合题目中所给信息,从而得到结论.解决问题的策略:
例2 （2022·广东广州综合测试（一））在平面直角坐标系 中，已知点
， ，点 满足直线 与直线 的斜率之积为 ，点 的轨迹为曲线 .
（1）求 的方程；
【解】设点 的坐标为 ，依题意得 ，化简得 .
所以 的方程为 .
（2）已知点 ，直线 与 轴交于点 ，直线 与 交于点 ，是否存在常数 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由.
【解】存在.根据椭圆的对称性，不妨设点 在 轴的上方，此时点 也在
轴的上方.
①当点 的横坐标为1时，可得 ，直线 轴， .直线 的方程为 ，令 ，得 ，则 .
由于直线 的斜率为 ，
则直线 的倾斜角为 ，即 .
所以 .
②当点 的横坐标不为1时，
设直线 的方程为 ， ，
由 消去 ，
得 ，
，依题意得 ，
得 ， ，
得 .
由 ，令 ，得 ，则 .
直线 的斜率为 ，
直线 的斜率为 ，
因为 ，
所以 .
综上所述，存在 ，使得 .
求解探索性问题的注意点
（1）当条件和结论不唯一时,要分类讨论；
（2）当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;
（3）当条件和结论都不确定,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取别的合适的方法.
（2022·贵州贵阳五校联考（三））已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过椭圆 的右焦点 且垂直于长轴的弦的长为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
解：设椭圆 的焦距为 ，则 .
因为过椭圆 的右焦点 且垂直于长轴的弦的长为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 （负值舍去）， ，
故椭圆 的标准方程为 .
（2）是否存在斜率为2的直线 ，使得当直线 与椭圆 有两个不同交点 ， 时，能在直线 上找到一点 ，在椭圆 上找到一点 ，满足 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
[答案] 假设存在满足条件的直线 .
设直线 的方程为 ， ， ， ，
， 的中点为 .
由 得 ，
所以 ，且 ，
故 ，且 .
连接 ， ， （图略），由 知四边形 为平行四边形，
而 为线段 的中点，因此 也是线段 的中点，
所以 ，可得 ，又 ，所以
，
此时点 不在椭圆 上，故假设不成立，即不存在满足条件的直线 .