必修第一册模块测试-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册（含答案）

（一）
高一数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．若实数，满足，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
6．2022年7月1日，迎来了香港回归祖国25周年，为了迎接这一历史性时刻，某商占购进一批 港回归25周年纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若，都是正数，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
8．已知实数，关于的不等式的解集为，则实数，，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列各式中关系符号运用正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知或，，若是的充分不必要条件，则的取值可以是（ ）
A． B． C．2 D．1
11．已知，，且，，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．对任意集合，，记且，则称为集合，的对称差．例如，若，，则，下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，且，则
B．若，且，则
C．存在，，使得
D．若，且，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，则与的大小关系为__________．
14．已知全集，集合，，则实数的值为__________．
15．命题“，”为假命题，则实数的取值范围是__________．
16．疫情期间，某社区因疫情防控需要招募志愿者进行连续3天的核酸采样工作，第一天有19人参加，第二天有13人参加，第三天有18人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人．则这三天参加的最少人数为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
18．（本小题满分12分）
设，．
（1）若，求同时满足条件，的实数构成的集合；
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围．
19．（本小题满分12分）
（1）已知，，均为正数，求证：；
（2）已知，求证：的充要条件是．
20．（本小题满分12分）
已知关于的不等式的解集为．
（1）求，的值；
（2）当，，且满足时，有恒成立，求实数的取值范围．
21．（本小题满分12分）
第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销 量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
22．（本小题满分12分）
已知集合，．
（1）用区间表示集合；
（2）若，，求，的取值范围．
（一）·高一数学
参考答案、提示及评分细则
1．A 集合，，．故选A．
2．B 命题“，”为全称量词命题，其否定为：，．故选B．
3．C 对于A，因为，所以，故A错误；
对于B，因为，当时，，故B错误；
对于C，因为，所以，，所以，即，即，故C正确；
对于D，若，显然有，故D错误．故选C．
4．D 由，解得，
所以是的既不充分也不必要条件．故选D．
5．D 当时，，满足题意；当时，由题意得，得，
综上，的取值范围是或．故选D．
6．B 由题意，得，即，，解得．
又每枚的最低 价为15元，．故选B．
7．C 若，都是正数，且，，
当且仅当时等号成立．故选C．
8．A 由题可得，．由，，设，则．
所以，所以，．
又．所以，所以．故，．又，故．故选A．
9．BC 根据元素和集合的关系知，所以A错误，B正确；
根据集合与集合的关系知C正确，D错误．故选BC．
10．AB 或，，是的充分不必要条件，故，
对比选项知AB满足条件．故选AB．
11．BD ，，A错；，，
，
当且仅当时等号成立，又，成立，即B正确；
当，时，，C错误；
，，当且仅当时取等号．同理，，
当且仅当时取等号，又，即，不同时等于1，
，D正确．故选BD．
12．ABC 对于A，因为．所以且，即与是相同的，所以，即A是真命题；
对于B，因为，所以且，所以，且中的元素不能出现在中，因此，即B是真命题；
对于C，时，，，C是真命题；
对于D，因为，所以且，所以，即D是假命题．
故选ABC．
13． ，．
14．0 由集合知，即，而，全集，
因此，解得，经验证满足条件，所以实数的值为0．
15．（ 由于“，”为假命题，
所以“，”为真命题，所以在区间上恒成立，在区间上，
当时，取得最小值为，所以．
16．29 根据题意画出Venn图，如图所示：
设表示只去第一天的人，表示只去第二天的人，表示只去第三天的人，表示只去第一天与第二天的人，表示只去第一天与第三天的人，表示只去第二天与第三天的人，表示三天都去的人，
要使总人数最少，则令最大，其次，，也尽量大，，，
，，，，
，，，，，
则这三天参加活动的最少有人．
17．解：（1）当时，，．
（2），．．
，或，故的取值范围为．
18．解：（1）当时，因为，，即，
所以同时满足条件，的实数构成的集合即为公共部分的实数构成的集合，即为．
（2）因为是的充分条件，且，，
所以，所以，解得，故实数的取值范围是．
19．证明：（1）因为，，均为正数，所以，当且仅当时等号成立，
同理（当且仅当时等号成立），当且仅当时等号成立，
所以三式相加得，
所以，当且仅当“”时等号成立．
（2）充分性：，，，，即．
必要性：，，，即．
综上，的充要条件为．
20．解：（1）因为不等式的解集为或，
所以1和是方程的两个实数根且，
所以解得
（2）由（1）知，且，，所以，
当且仅当，即时等号成立，依题意有，即，
所以，解得，所以的取值范围为．
21．解：（1）设每件定价为元，依题意得，
整理得，解得．所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
（2）依题意知：当时，不等式有解，
等价于时，有解．
由于，当且仅当，即时等号成立，所以．
故当该商品改革后的销售量至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，
此时该商品的每件定价为30元．
22．解：（1）由，得，解得或，
．
（2），，有，而，可得．①
当时，①式化为：，解得，不满足，舍去；
当时，若，则①式解得：；若，则①式解得；
若，则①式解得．以上都不满足，舍去；
当时，①式解得或．
，解得，，
，的取值范围是，．