目录
导数不等式证明 1
不等式证明之单变量及转换： 3
不等式证明之单变量构造 13
不等式证明之双变量同一函数 18
不等式证明之双变量不同函数 27
导数不等式证明
【入门测】
1.设函数，．
（Ⅰ）若，求在区间上的最大值；
2.已知函数.
(Ⅱ)求函数的零点和极值；
【知识结构】
知识要点
1.函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
2.不等式问题
(1)单变量不等式，可以分类参数或构造函数，再将问题转化为函数的最值问题．
(2)双变量不等式，需要先将不等式转化成两个函数的最值问题，然后每个函数的最值
不等式证明之单变量及转换：
关键字眼1.
2.
3.
1、已知函数在处的切线斜率为零．
（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求证：在定义域内恒成立；
2、已知函数.
（Ⅱ）当时，求证：
（Ⅱ）证明：设，则.
3.已知函数，是常数，R．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线的方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）证明:函数的图象在直线的下方．
4.设为曲线C：在点(1，0)处的切线.
(I)求的方程；
(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线的下方
【巩固练习】
1、已知函数．
（Ⅲ）当，且时，证明：
2.已知函数.
（Ⅰ）当时,求函数的单调区间;
（Ⅱ）设,且函数在点处的切线为,直线,且在轴上的截距为1,求证:无论取任何实数,函数的图像恒在直线的下方.
【课后练习】
1.已知函数在上是增函数，在上是减函数．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）当时，曲线总在直线上方，求的取值范围．
2.已知函数．
（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）证明：当时，；
（Ⅲ）当时，方程无解，求的取值范围．
3.设函数.
（Ⅰ）已知曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个，都有．
4.已知函数f(x)=lnx，，两函数图象的交点在x轴上，且在该点处切线相同．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求证：当x>1时，f(x)不等式证明之单变量构造
关键：直接求导得不出极值点，需要构造函数
1、已知函数，且.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若对于任意，都有，求的最小值；
（Ⅲ）证明：函数的图象在直线的下方.
【知识拓展】
1、已知函数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）判断曲线是否位于轴下方，并说明理由.
【课堂练习】
1. 已知函数
(2)证明：当时，
不等式证明之双变量同一函数
1.已知函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）证明：，，；
2.已知函数其中．
（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
（Ⅱ）如果对于任意，且，都有，求的取值范围．
【知识拓展】
1. 已知函数（，）.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，若对任意，有成立，求实数的最小值.
【课后作业】
1. 已知函数在处取得极值.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在上的最小值；
（Ⅲ）求证：对任意，都有.
2.已知函数（，）.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，若对任意，有成立，求实数的最小值.
3.已知函数.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；
(Ⅱ)求函数的零点和极值；
(Ⅲ)若对任意，都有成立，求实数的最小值.
不等式证明之双变量不同函数
1.已知函数．
（Ⅰ）求函数在区间上的最小值；
（Ⅱ）证明：对任意，都有成立．
【知识拓展】
1. 已知函数，（）.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求证：当时，对于任意，总有成立.
【课后练习】
1.已知，函数，．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求证：对于任意的，都有．目录
导数不等式证明 1
不等式证明之单变量及转换： 3
不等式证明之单变量构造 13
不等式证明之双变量同一函数 18
不等式证明之双变量不同函数 27
导数不等式证明
【入门测】
1.设函数，．
（Ⅰ）若，求在区间上的最大值；
解：（Ⅰ）当时，．
．
令，得或．
当，有，所以在区间上是增函数；
当时，有，所以在区间上是减函数；
所以在区间上的最大值为．……5分
2.已知函数.
(Ⅱ)求函数的零点和极值；
（Ⅱ）令，解得。当时，；时，，所以函数零点有且只有一个，为1.
令，即解得。当时，；当时，，所以函数在处取得极小值，无极大值。
【知识结构】
知识要点
1.函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
2.不等式问题
(1)单变量不等式，可以分类参数或构造函数，再将问题转化为函数的最值问题．
(2)双变量不等式，需要先将不等式转化成两个函数的最值问题，然后每个函数的最值
不等式证明之单变量及转换：
关键字眼1.
2.
3.
1、已知函数在处的切线斜率为零．
（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求证：在定义域内恒成立；
（Ⅰ）解：.…………2分
由题意有即，解得或（舍去）．…………4分
得即，解得．…………5分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
．
在区间上，有；在区间上，有．
故在单调递减，在单调递增，
于是函数在上的最小值是．…………9分
故当时，有恒成立
2、已知函数.
（Ⅱ）当时，求证：
（Ⅱ）证明：设，则.
令，解得.………………6分
在上变化时，的变化情况如下表
- +
↘ ↗
所以当时，取得最小值.………………8分
所以当时，，即.………………9分
3.已知函数，是常数，R．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线的方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）证明:函数的图象在直线的下方．
答案：（Ⅰ）……………2分
，，所以切线的方程为
，即．…………………4分
（Ⅱ）定义域为
（1）当时，，在为增函数
（2）当时，
令得，或
①当时，在为增函数
②当时，在上是增数，在是减函数…………………9分
（Ⅲ）令则
↗ 最大值 ↘
，所以且，，，
即函数的图像在直线的下方．……………13分
4.设为曲线C：在点(1，0)处的切线.
(I)求的方程；
(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线的下方
【巩固练习】
1、已知函数．
（Ⅲ）当，且时，证明：
（Ⅲ）当时，．
由于，要证，
故只需证明．
令，则．
因为，所以，故在上单调递增，
当时，，即成立．
故当时，有．即．……………………………………13分
2.已知函数.
（Ⅰ）当时,求函数的单调区间;
（Ⅱ）设,且函数在点处的切线为,直线,且在轴上的截距为1,求证:无论取任何实数,函数的图像恒在直线的下方.
答案.(I)解:,
,
..........................................................2分
所以,时,与的变化情况如下:
- 0 +
↘ ↗
因此,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
..........................................................4分
(II)证明:,
,
所以,
所以的斜率.
因为,且在轴上的截距为1,
所以直线的方程为...........................................................6分
令,
则无论取任何实数,函数的图像恒在直线的下方,等价于,..........................................................7分
而.
当时,,当时,,
所以函数的上单调递增,在上单调递减,
从而当时,取得极大值,
即在上,取得最大值,.....................................................8分
所以,
因此,无论取任何实数,函数的图像恒在直线的下方.
..........................................................9分
【课后练习】
1.已知函数在上是增函数，在上是减函数．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）当时，曲线总在直线上方，求的取值范围．
答案：（Ⅰ）∵，
∴．…………2分
∵在上是增函数，在上是减函数，
∴当时，有极大值，即，…………4分
∴．………6分
（Ⅱ），
∵在上是增函数，在上是减函数，
∴，即．…………8分
∵曲线在直线的上方，
设，………9分
∴在时，恒成立．
∵，
令，两个根为，，且，……………………10分
－ ＋
极小值
∴当时，有最小值．…………12分
令，
∴，由，
∴.…………14分
2.已知函数．
（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）证明：当时，；
（Ⅲ）当时，方程无解，求的取值范围．
答案：（Ⅰ），
令解得，
易知在上单调递减，在上单调递增，
故当时，有极小值...……………4分
（Ⅱ）令，则，...……………5分
由（Ⅰ）知，
所以在上单调递增，
所以，
所以...……………8分
3.设函数.
（Ⅰ）已知曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个，都有．
（Ⅰ）.
（Ⅱ）当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（Ⅲ）.
是在上的唯一极值点，且是极小值点，
从而也是的最小值点.可见，
所以，即，
4.已知函数f(x)=lnx，，两函数图象的交点在x轴上，且在该点处切线相同．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求证：当x>1时，f(x)解：（Ⅰ）因为与的图象在轴上有公共点(1，0)，
所以，即．
又因为，，
由题意，
所以，．……………………4分
（Ⅱ）设，
则．
所以在时单调递减．
由可得当时，即．……………………9分
不等式证明之单变量构造
关键：直接求导得不出极值点，需要构造函数
1、已知函数，且.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若对于任意，都有，求的最小值；
（Ⅲ）证明：函数的图象在直线的下方.
（Ⅰ）解：对求导，得，…………………1分
所以，解得，
所以.…………………3分
（Ⅱ）解：由，得，
因为，
所以对于任意，都有.…………………4分
设，则.
令，解得.…………………5分
当x变化时，与的变化情况如下表：
极大值
所以当时，.…………………7分
因为对于任意，都有成立，
所以.
所以的最小值为.…………………8分
（Ⅲ）证明：“函数的图象在直线的下方”等价于“”，
即要证，
所以只要证.
由（Ⅱ），得，即（当且仅当时等号成立）.
所以只要证明当时，即可.…………………10分
设，
所以，
令，解得.
由，得，所以在上为增函数.
所以，即.
所以.
故函数的图象在直线的下方.…………
【知识拓展】
1、已知函数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）判断曲线是否位于轴下方，并说明理由.
解：函数的定义域为，
（Ⅰ），又，
曲线在处的切线方程为
.
即.┈┈4分
（Ⅱ）“要证明”等价于“”.
设函数.
令，解得.
因此，函数的最小值为.故.
即.┈┈9分
（Ⅲ）曲线位于轴下方.理由如下：
由（Ⅱ）可知，所以.(放缩)
设，则.
令得；令得.
所以在上为增函数，上为减函数.
所以当时，恒成立,当且仅当时，.
又因为，所以恒成立.
故曲线位于轴下方.┈┈14分
【课堂练习】
1. 已知函数
(2)证明：当时，
不等式证明之双变量同一函数
1.已知函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）证明：，，；
答案：（Ⅰ）．
令，则，．
+ - +
↗ 极大 ↘ 极小 ↗
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为,．
…………4分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以当时，．
因为当时，，，
所以当时，．
所以-．
所以对，，都有-．
……………10分
2.已知函数其中．
（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
（Ⅱ）如果对于任意，且，都有，求的取值范围．
（Ⅰ）解：由题意，得，其中， ……………… 2分
所以 ，
又因为，
所以函数的图象在点处的切线方程为. ……………… 4分
（Ⅱ）解：先考察函数，的图象，
配方得， ……………… 5分
所以函数在上单调递增，在单调递减，且.
……………… 6分
因为对于任意，且，都有成立，
所以 . ……………… 8分
以下考察函数，的图象，
则 ，
令，解得. ……………… 9分
随着变化时，和的变化情况如下：
↘ ↗
即函数在上单调递减，在上单调递增，且. ……………… 11分
因为对于任意，且，都有成立，
所以 . ……………… 12分
因为 （即），
所以的取值范围为. ……………… 13分
【知识拓展】
1. 已知函数（，）.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，若对任意，有成立，求实数的最小值.
答案：.令，解得或.………2分
（Ⅰ）当时，，随着的变化如下表
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，.………4分
当时，，随着的变化如下表
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，.…………6分
（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）得是上的增函数，是上的减函数.
又当时，.…………8分
所以在上的最小值为，最大值为.……10分
所以对任意，.
所以对任意，使恒成立的实数的最小值为.…………13分
【课后作业】
1. 已知函数在处取得极值.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在上的最小值；
（Ⅲ）求证：对任意，都有.
答案：（Ⅰ）……………1分
由已知得即……………2分
解得：…………………………3分
当时，在处函数取得极小值，所以
（Ⅱ），.
- 0 +
减 增
所以函数在递减，在递增.……………………4分
当时，在单调递增，.
………………………5分
当时，
在单调递减，在单调递增，.
…………………………6分
当时，，
在单调递减，
…………………………7分
综上在上的最小值
………………………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，.
令得
因为
所以……………11分
所以，对任意，都有
………………………………………13分
2.已知函数（，）.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，若对任意，有成立，求实数的最小值.
答案：.令，解得或.………2分
（Ⅰ）当时，，随着的变化如下表
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，.………4分
当时，，随着的变化如下表
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，.…………6分
（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）得是上的增函数，是上的减函数.
又当时，.…………8分
所以在上的最小值为，最大值为.……10分
所以对任意，.
所以对任意，使恒成立的实数的最小值为.…………13分
3.已知函数.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；
(Ⅱ)求函数的零点和极值；
(Ⅲ)若对任意，都有成立，求实数的最小值.
答案：
（Ⅰ）设切线斜率为，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即。
（Ⅱ）令，解得。当时，；时，，所以函数零点有且只有一个，为1.
令，即解得。当时，；当时，，所以函数在处取得极小值，无极大值。
（Ⅲ）由（II）知，当时，；时，，且在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值。且。
，，所以只需。所以。所以的最小值为1。
不等式证明之双变量不同函数
1.已知函数．
（Ⅰ）求函数在区间上的最小值；
（Ⅱ）证明：对任意，都有成立．
（Ⅰ）解：由，可得．
当单调递减，
当单调递增.
所以函数在区间上单调递增，
又，
所以函数在区间上的最小值为．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知在时取得最小值，
又，
可知．
由，可得．
所以当单调递增，
当单调递减.
所以函数在时取得最大值，
又，
可知，
所以对任意，都有成立．
【知识拓展】
1. 已知函数，（）.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求证：当时，对于任意，总有成立.
解：（Ⅰ）函数的定义域为，
.
当时，
当变化时，，的变化情况如下表：
0 0
↘ ↗ ↘
当时，
当变化时，，的变化情况如下表：
0 0
↗ ↘ ↗
综上所述，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.
……………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，
在上单调递增，；在上单调递减，且.
所以时，.
因为，所以，
令，得.
①当时，由，得；由，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
所以.
因为，
所以对于任意，总有.
②当时，在上恒成立，
所以函数在上单调递增，.
所以对于任意，仍有.
综上所述，对于任意，总有. …………………13分
【课后练习】
1.已知，函数，．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求证：对于任意的，都有．
解：（Ⅰ）函数的定义域为,，
因为，
所以，当，或时，；
当时，．
所以，的单调递增区间为,单调递减区间为,．
……6分
（Ⅱ）因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，，
所以，当时，．
由，可得．
所以当时，函数在区间上是增函数，
所以，当时，．
所以，当时，
对于任意的，都有，，所以．
当时，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，
所以，当时，．
所以，当时，
对于任意的，都有，，所以．
综上，对于任意的，都有． ……………13分
