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重庆市2022-2023学年度下学期期中检测数学卷1
注意事项：
本试卷满分150分，试题共26题，其中选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在实数0，﹣3，3，中，最大的是（ ）
A．0 B．﹣3 C．3 D．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：∵＞3＞0＞﹣3，
∴在实数0，﹣3，3，中，最大的是．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．下列用乐高积木拼成的英文字母中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
3．若，则n的值所在的范围是（ ）
A．1＜n＜3 B．3＜n＜4 C．4＜n＜5 D．4＜n＜8
【分析】先估算出的取值范围，进而可得出结论．
【详解】解：∵49＜59＜64，
∴7＜＜8，
∴7﹣4＜﹣4＜8﹣4，即3＜n＜4．
故选：B．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意估算出的取值范围是解答此题的关键．
4.北京冬奥会开幕式上，以“二十四节气”为主题的倒计时短片，用“中国式浪漫”美学惊艳了世界．如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图，给出下列结论：①从立春到大寒，白昼时长先增大再减小；②夏至时白昼时长最大；③春分和秋分，昼夜时长大致相等，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．② D．③
【分析】根据图象辨别各语句的正误．
【详解】解：∵从立春到冬至，白昼时长先增大再减小，冬至后白昼时间又增长，
∴语句①不正确；
∵夏至时白昼时长最大，春分和秋分昼夜时长大致相等，
∴语句②，③正确，
故选：B．
【点睛】此题考查了从函数图象中获取信息的能力，关键是能准确理解相关知识，并具有函数图象的读图能力．
5. 如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠DCF的度数为（ ）
A．32° B．42° C．46° D．48°
【分析】根据等边三角形的性质得到AF＝BF＝AB，∠AFB＝∠ABF＝60°，由正五边形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝108°，等量代换得到BF＝BC，∠FBC＝48°，根据三角形的内角和即可得到结论．
【详解】解：∵△ABF是等边三角形，
∴AF＝BF＝AB，∠AFB＝∠ABF＝60°，
在正五边形ABCDE中，AB＝BC，∠DCB＝∠ABC＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴BF＝BC，∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝48°，
∴∠BFC＝∠BCF＝×（180°﹣48°）＝66°，
∴∠DCF＝108°﹣66°＝42°．
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形的内角和，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记正多边形的内角的求法是解题的关键．
6. 已知某公司一月份的收益为10万元，后引进先进设备，收益连续增长，到三月份统计共收益50万元，求二月、三月的平均增长率，设平均增长率为x，可得方程为（ ）
A．10（1+x）2＝50 B．10（1+x）2＝40
C．10（1+x）+10（1+x）2＝50 D．10（1+x）+10（1+x）2＝40
【分析】设平均增长率为x，则二月份的收益为10（1+x）万元，三月份的收益为10（1+x）2万元，根据前三个月的累计收益为50万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】设平均增长率为x，则二月份的收益为10（1+x）万元，三月份的收益为10（1+x）2万元，
根据题意得：10+10（1+x）+10（1+x）2＝50，即10（1+x）+10（1+x）2＝40．
故选：D．
7. 如图，已知在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A（0，3），B（3，0），∠ABC＝90°．函数y＝（x＞0）的图象经过点C，则AC的长为（ ）
A．3 B．2 C．2 D．
【分析】根据A、B的坐标分别是（0，3）、（3、0）可知OA＝OB＝3，进而可求出AB2，通过作垂线构造等腰直角三角形，求得BC2＝2CD2，设CD＝BD＝m，则C（3+m，m），代入y＝，求得m的值，即可求得BC2，根据勾股定理即可求出AC的长．
【详解】解：过点C作CD⊥x轴，垂足为D，
∵A、B的坐标分别是（0，3）、（3、0），
∴OA＝OB＝3，
在Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2＝18，
又∵∠ABC＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°＝∠BCD＝∠CBD，
∴CD＝BD，
设CD＝BD＝m，
∴C（3+m，m），
∵函数y＝（x＞0）的图象经过点C，
∴m（3+m）＝4，
解得m＝1或﹣4（负数舍去），
∴CD＝BD＝1，
∴BC2＝2，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴AC＝＝2
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及直角三角形的性质、勾股定理，等腰三角形性质，恰当的将线段的长与坐标互相转化，使问题得以解决是关键．
8. 在某学校庆祝建党“100周年”的活动上，一位同学用围棋棋子按照某种规律摆成如图所示的“100”字样．按照这种规律，第100个“100”字样的棋子个数是（ ）
A．506个 B．500个 C．511个 D．504个
【分析】根据图形排列方式，抽象概括出相应的数字规律，进行计算即可．
【详解】解：由图形可知：
第①个“100”字中的棋子个数是：3+4×2＝2+1+（2×2）×2＝11；
第②个“100”字中的棋子个数是：4+6×2＝2+2+（2×3）×2＝16；
第③个“100”字中的棋子个数是：5+8×2＝2+3+（2×4）×2＝21；
第④个“100”字中的棋子个数是：6+10×2＝2+4+（2×5）×2＝26；
……
∴第n个“100”字中的棋子个数是：2+n+2（n+1）×2＝2+n+4n+4＝5n+6；
∴第100个“100”字样的棋子个数是：5×100+6＝506；
故选：A．
【点睛】本题考查图形中的数字规律．通过图形，抽象概括出数字规律，是解题的关键．
9. 如图，PA、PB切圆O于A，B两点，CD切圆O于E，交PA，PB于C、D，若圆O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．利用切线求得CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB再得出PA＝PB＝r．利用Rt△BFP∽Rt△OAF得出AF＝FB，在Rt△FBP中，利用勾股定理求出BF，再求tan∠APB的值即可．
【详解】解：连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．
∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E
∴∠OAF＝∠PBF＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB，
∵△PCD的周长＝PC+CE+DE+PD＝PC+AC+PD+DB＝PA+PB＝3r，
∴PA＝PB＝r．
在Rt△PBF和Rt△OAF中，
∠FAO＝∠FBP，∠OFA＝∠PFB，
∴Rt△PBF∽Rt△OAF．
∴＝＝＝，
∴AF＝FB，
在Rt△FBP中，
∵PF2﹣PB2＝FB2
∴（PA+AF）2﹣PB2＝FB2
∴（r+BF）2﹣（r）2＝BF2，
解得BF＝r，
∴tan∠APB＝＝＝，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了切线长定理以及切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题的关键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系．
10. 正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A'B'C'O与正方形ABCD的边长相等．在正方形A'B'C'O绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是2，则AD的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】证明△OBM≌△OCN，从而可得△BOC的面积是2，即可得到答案．
【详解】解：设OA'交AB于M，OC'交BC于N，如图：
∵四边形ABCD和四边形OA'B'C'都是正方形，
∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，
∴∠A'OB＝∠COC'．
在△OBM与△OCN中，
，
∴△OBM≌△OCN（ASA），
∴△OBM与△OCN面积相等，
∴两个正方形重叠部分即四边形OMBN的面积等于△BOC的面积，
∵两个正方形重叠部分的面积是2，
∴△BOC的面积是2，
∴正方形ABCD的面积为2×4＝8，
∴AD＝＝2，
故选：D．
【点评】本题考查正方形的旋转变换，解题的关键是证明△OBM≌△OCN，利用全等三角形性质解决问题．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案填在的横线上.
11. 计算：+（π﹣3）0﹣|﹣6|＝ ﹣2 ．
【分析】原式利用算术平方根性质，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．
【详解】解：原式＝3+1﹣6
＝4﹣6
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂，算术平方根，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
12. 已知实数a2+b2＝7，a+b＝3，则（a﹣3）（b﹣3）＝ 1 ．
【分析】由完全平方公式先求出ab＝1，再将所求多项式展开并代入已知条件即可求解．
【解答】解：∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
又∵a2+b2＝7，a+b＝3，
∴ab＝1，
∴（a﹣3）（b﹣3）＝ab﹣3a﹣3b+9＝1﹣3（a+b）+9＝1﹣3×3+9＝1，
故答案为1．
13. 一枚质地均匀的正方体骰子六个面上分别标有﹣5，﹣1，0，1，2，4这六个数，若将第一次掷出骰子正面朝上的数记为m，第二次掷出骰子正面朝上的数记为n，则点（m、n）恰好落在一次函数y＝2x﹣4与坐标轴围成三角形区域内（含边界）的概率为 ．
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与（m、n）恰好落在一次函数y＝2x﹣4与坐标轴围成三角形区域内（含边界）的情况，再利用概率公式求得答案．
【解析】列表得：
第一次 第二次 ﹣5 ﹣1 0 1 2 4
﹣5 （﹣5，﹣5） （﹣1，﹣5） （0，﹣5） （1，﹣5） （2，﹣5） （4，﹣5）
﹣1 （﹣5，﹣1） （﹣1，﹣1） （0，﹣1） （1，﹣1） （2，﹣1） （4，﹣1）
0 （﹣5，0） （﹣1，0） （0，0） （1，0） （2，0） （4，0）
1 （﹣5，1） （﹣1，1） （0，1） （1，1） （2，1） （4，1）
2 （﹣5，2） （﹣1，2） （0，2） （1，2） （2，2） （4，2）
4 （﹣5，4） （﹣1，4） （0，4） （1，4） （2，4） （4，4）
∵共有36种等可能的结果，点（m、n）恰好落在一次函数y＝2x﹣4与坐标轴围成三角形区域内（含边界）的有：（0，﹣1），（0，0），（1，﹣1），（1，0），（2，0），
∴点（m、n）恰好落在一次函数y＝2x﹣4与坐标轴围成三角形区域内（含边界）的概率是．
故答案为：．
14. 如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为15，AB＝6，DE＝3，则AC的长是 4 ．
【分析】过点D作DF⊥AC于F，然后利用角平分线的性质和三角形的面积公式列式计算即可列式计算即可得解．
【详解】解：过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC,
∴DE＝DF＝3，
∴S△ABC＝×6×3+AC×3＝15，
解得AC＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
15. 已知一次函数y＝（k2+1）x﹣1和y＝﹣x+5相交于点A（2，a），则不等式﹣x+5＜（k2+1）x﹣1中x的取值范围为 x＞2 ．
【分析】结合图象，写出两函数图象在直线y＝﹣x+5在直线y＝（k2+1）x﹣1下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：由图象得：不等式﹣x+5＜（k2+1）x﹣1中x的取值范围为：x＞2．
故答案为：x＞2．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法．
16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，以格点为圆心的三段圆弧围成“叶状”阴影图形，则该阴影图形的面积等于 π﹣2 ．（结果保留π）
【分析】如图，连接AB，根据图形隐含条件可以知道阴影部分面积＝S扇形AOB﹣S△AOB，依此计算即可求解．
【详解】解：如图，连接AB，根据图形可知：
阴影部分面积＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣×2×2＝π﹣2．
故答案为：π﹣2．
【点睛】此题主要考查了扇形面积的计算，同时也利用了等积变换．
17. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，为的直径，弦于点，寸，尺，那么直径的长为多少寸？（注尺寸）根据题意，该圆的直径为 26 寸．
【分析】连接，由直径与弦垂直，根据垂径定理得到为的中点，由的长求出的长，设寸，则寸，寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径的长．
【解答】解：连接，
弦，为圆的直径，
为的中点，
又寸，
寸，
设寸，则寸，寸，
由勾股定理得：，
即，
解得，
寸，
即直径的长为26寸，
故答案为：26．
18. 如图，正方形ABCD的边长为8，E是CD边上的动点（E不与C，D重合），△AFE与△ADE关于直线AE对称，把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，连结FG，FC．现有以下结论：
①∠GAF＝∠DAF；
②CF的最小值为8﹣8；
③当DE＝2时，GF＝10；
④当E为CD中点时，CF所在直线垂直平分AG；
其中一定正确的是 ②③ ．（写出所有正确结论的序号）
【分析】如图，连接BE，根据轴对称的性质得到AF＝AD，∠EAD＝∠EAF，根据旋转的性质得到AG＝AE，∠GAB＝∠EAD．求得∠GAB＝∠EAF，根据全等三角形的性质得到FG＝BE，根据正方形的性质得到BC＝CD＝AB＝8，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图，连接BE，
∵△AFE与△ADE关于AE所在的直线对称，
∴AF＝AD，∠EAD＝∠EAF，
∵△ADE按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABG，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠EAD，
∴∠GAB＝∠EAF，
∴∠GAB+∠BAF＝∠BAF+∠EAF，
∴∠GAF＝∠EAB，
故①错误；
当CF⊥EF时，CF有最小值，此时∠CFE＝90°，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AFE+∠CFE＝180°，
∴A、F、C三点共线，
即CF有最小值时，点F在对角线AC上，
∴∠ACD＝45°，
∴EF＝CF，
∴，
∵CE+EF＝8，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
在△GAF和△EAB中，
，
∴△GAF≌△EAB（SAS），
∴FG＝BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝8．
∵DE＝2，
∴CE＝6，
在Rt△BCE中，，
∴GF＝10，
故③正确；
当E为CD中点时，BG＝DE＝4，
∴CG＝BC+BG＝12，
又，
∴CG≠CA，
∴点C不在AG的垂直平分线上，
∴CF所在直线不会垂直平分AG，
故④错误；
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，19、20题每小题8分，21-25题每小题10分，26题12分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中的相应位置.
19.（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【分析】（1）应用负整数指数幂，立方根，绝对值，零指数幂，最简二次根式的性质进行计算即可得出答案；
（2）应用分式化简求值的方法化为最简，再应用特殊角三角函数值求出的值代入计算即可得出答案．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
，
把代入上式，
原式．
20.如图，在中，已知，，是的角平分线，，垂足为．
（1）如果，的长；
（2）求证：
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质可知DE=CD=15cm，由于∠C=90°，可推出∠B=∠BDE=45°，则可得BE=DE=15cm，由勾股定理得可得BD，继而即可求得AC的值．
（2）根据已知条件易证得Rt△AED≌Rt△ACD ，并推出AC=AE，结合BE=DE=CD即可证得结论．
【详解】（1）∵平分，，，
∴DC＝DE＝15cm，
又∵，，
∴＝∠BAC，
∴∠BDE＝90°－∠B＝45°，
∴cm，
在Rt△BDE中，由勾股定理可得：
cm，
∴,
（2）∵，，
∴（HL），
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识，熟练掌握角平分线的性质及全等三角形的判定与性质等知识是解题的关键．
21.某学校为加强学生安全意识，莫校长组织全校学生参加安全知识竞赛．从中抽取部分学生成绩进行统计，绘制以下两幅不完整的统计图．请根据图中的信息，解决下列问题：
（1）填空：a＝ ，n＝ ；
（2）补全频数直方图；
（3）该学校共有4000名学生，若成绩在70分以下（含70分）的学生安全意识不强，则该校安全意识不强的学生约有多少人？
【答案】（1）75，54；（2）60，补图见解答；（3）1200人．
【分析】（1）先由A组人数及其所占百分比求出总人数，再用360°乘以E组人数所占比例即可得；
（2）用总人数乘以B组所占的百分比求出B组的人数，再补全统计图即可；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【详解】解：（1）∵被调查的总人数为30÷10%＝300（人），
∴a＝300×25%＝75，
则E组人数为300﹣（30＋60＋75＋90）＝45，
∴n＝360×＝54，
故答案为：75、54；
（2）B组人数为：300×20%＝60（人），
补全直方图如下：
（3）该校安全意识不强的学生约有4000×（10%＋20%）＝1200（人）．
【点睛】本题考查了频数（率）分布直方图，用样本估计总体，读懂题意，熟悉相关性质是解题的关键．
22. 如图，某小组为测量“金奥大厦”AB的高度，他们在地面C处测得另一幢大厦DE的顶部E处的仰角∠ECD＝32°．登上大厦DE的顶部E处后，测得“金奥大厦”AB的顶部A处的仰角为60°．已知C、D、B三点在同一水平直线上，且CD＝200米，DB＝100米．
（1）求大厦DE的高度；
（2）求“金奥大厦”AB的高度．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，≈1.41，≈1.73）
【分析】（1）在Rt△DCE中，根据正切函数的定义即可求出大厦DE的高度；
（2）过E作EF⊥AB于F．由题意得EF＝DB＝100米，BF＝DE，∠AEF＝60°．再由锐角三角函数的定义得出AF＝EF tan∠AEF，即可求得AB．
【详解】解：（1）在Rt△DCE中，∠CDE＝90°，∠ECD＝32°，CD＝200米，
∴DE＝CD tan∠ECD≈200×0.62＝124（米）．
答：大厦DE的高度约为124米；
（2）如图，过E作EF⊥AB于F．
由题意得：EF＝DB＝100米，BF＝DE＝124米，∠AEF＝60°．
在Rt△AFE中，∠AFE＝90°，
∴AF＝EF tan∠AEF≈100×1.73＝173（米），
∴AB＝BF+AF＝124+173＝297（米）．
答：“金奥大厦”AB的高度约为297米．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
23. 教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温和通电时间成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温和通电时间之间的关系如图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当和时，和之间的函数关系式；
（2）求出图中的值；
（3）李老师这天早上将饮水机电源打开，若他想在上课前喝到不低于的开水，则他需要在什么时间段内接水？
【分析】（1）直接利用反比例函数解析式和一次函数解析式求法得出答案；
（2）利用（1）中所求解析式，当时，得出答案；
（3）当时，代入反比例函数解析式，结合水温的变化得出答案．
【解答】解：（1）当时，设，
将，的坐标分别代入得，
解得，．
当时，．
当时，设，
将的坐标代入，
得
当时，．
综上，当时，；当时，；
（2）将代入，
解得，
即；
（3）当时，．
要想喝到不低于的开水，需满足，
即李老师要在到之间接水．
24. 某地区为打造乡村振兴示范区，实行大面积机械化种植，今年共计种植某作物700亩，预计租用10台作物收割机在一天之内完成该作物的收割．已知可租用A，B两种型号的作物收割机，2台A型号收割机与3台B型号收割机一起工作1天共收割该作物310亩，1台A型号收割机和1台B型号收割机一起工作1天共收割该作物130亩，租用A型号收割机的租金为每天3000元，租用B型号收割机的租金为每天2000元．
（1）两种型号收割机每台每天平均收割多少亩该作物？
（2）设租用x台A型号的收割机，完成该作物的收割需要的总租金为y元，一共有多少种租赁方案，并求出最少的总租金．
【分析】（1）设A型号收割机每台每天平均收割m亩该作物，B型号收割机每台每天平均收割n亩该作物，根据“2台A型号收割机与3台B型号收割机一起工作1天共收割该作物310亩，1台A型号收割机和1台B型号收割机一起工作1天共收割该作物130亩”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用x台A型号的收割机，则租用（10﹣x）台B型号的收割机，根据租用的10台收割机一天收割的该作物不少于700亩，即可得出关于x的一元一次不等式，结合x为整数，即可得出共有4种租赁方案，利用总租金＝每台收割机每天的租金×租用数量，即可得出y关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】解：（1）设A型号收割机每台每天平均收割m亩该作物，B型号收割机每台每天平均收割n亩该作物，
依题意得：，
解得：．
答：A型号收割机每台每天平均收割80亩该作物，B型号收割机每台每天平均收割50亩该作物．
（2）设租用x台A型号的收割机，则租用（10﹣x）台B型号的收割机，
依题意得：80x+50（10﹣x）≥700，
解得：x≥，
又∵x为整数，
∴x可以为7，8，9，10，
∴共有4种租赁方案．
∵完成该作物的收割需要的总租金为y元，且租用A型号收割机的租金为每天3000元，租用B型号收割机的租金为每天2000元，
∴y＝3000x+2000（10﹣x）＝1000x+20000．
∵1000＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝7时，y取得最小值，最小值＝1000×7+20000＝27000．
答：一共有4种租赁方案，最少的总租金为27000元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式．
25. 将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（2，0），点B在第一象限，∠OAB＝90°，∠B＝30°，点P在边OB上（点P不与点O，B重合）．
（Ⅰ）如图①，当OP＝1时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，折叠该纸片，使折痕PH所在的直线经过点P，并与x轴垂直，点O的对应点为O'，设OH＝t．△PHO'与△OAB重叠部分的面积为S．
①若折叠后△PHO'与△OAB重叠部分的面积为四边形时，PO'与AB相交于点C，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当≤t≤时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
【分析】（Ⅰ）作PD⊥OA于点D，解直角三角形求出OD和PD即可；
（Ⅱ）①解直角三角形求出PH，AC，AH，利用梯形面积公式求出S和t的关系式，再根据折叠后△PHO'与△OAB重叠部分的面积为四边形得出t的取值范围即可；
②根据t的取值，分段求出S的取值范围即可．
【详解】解：（Ⅰ）作PD⊥OA于点D，
∵∠OAB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°，
∴∠OPD＝90°﹣60°＝30°，
∵OP＝1，
∴OD＝OP＝，PH＝OP cos30°＝，
∴P（，）；
（Ⅱ）①∵OH＝t，
∴PH＝OH cos60°＝t，
∵折叠后△PHO'与△OAB重叠部分的面积为四边形，A（2，0），
∴OA＞t＞OA，
即1＜t＜2，
根据折叠知，HO'＝HO＝t，∠PO'O＝∠POO'＝60°，
∴AO'＝2OH﹣OA＝2t﹣2，AH＝2﹣t，
∴AC＝AO' tan60°＝（2t﹣2）＝2t﹣2，
∴S＝（AC+PH） AH＝（2t﹣2+t）（2﹣t），
即S＝﹣t2+4t﹣2（1＜t＜2）；
②由①知，当≤t≤1时，折叠后△PHO'与△OAB重叠部分为三角形，
此时S＝OH PH＝×t×t＝t2，
∴此时≤S≤；
当1＜t≤时，S＝﹣t2+4t﹣2，
∴此时当t＝﹣＝时，S有最大值为，
综上所述，S的取值范围为≤S≤．
【点评】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握特殊角三角函数，二次函数的性质，梯形面积公式，三角形面积公式等知识是解题的关键．
26. 已知抛物线y＝mx2﹣（1﹣4m）x+c过点（1，a），（﹣1，a），（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）已知过原点的直线与该抛物线交于A，B两点（点A在点B右侧），该抛物线的顶点为C，连接AC，BC，点D在点A，C之间的抛物线上运动（不与点A，C重合）．当点A的横坐标是4时，若△ABC的面积与△ABD的面积相等，求点D的坐标；
（3）若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切．已知点F的坐标是（0，1），过该抛物线上的任意一点（除顶点外）作该抛物线的切线l，分别交直线y＝1和y＝﹣3直线于点P，Q，求FP2﹣FQ2的值．
【分析】（1）由所给的点可知抛物线的对称轴为直线x＝0，由此可求m的值，再将点（0，﹣1）代入即可求解析式；
（2）求出A（4，3）和直线OA的解析式y＝x，解法一：联立方程组求出B（﹣1，﹣），过点D作DM⊥x轴交直线AB于点M，设D（t，t2﹣1），再由三角形的面积关系求出t的值即可求D点坐标；解法二：分别过点C，D作AB的垂线，垂足为S，T，可得∠CSB＝∠DTB＝90°，所以CS∥DT．根据△ABC的面积与△ABD的面积相等，可得CS＝DT．所以四边形CSTD是平行四边形，进而可求D点坐标；
（3）根据切线l不过该抛物线的顶点，可以设切线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），然后将y＝kx+b代入，得，根据题意得Δ＝0，整理得b＝﹣k2﹣1，可得切线l的解析式是y＝kx﹣k2﹣1，将y＝1代入y＝kx﹣k2﹣1，表示出P，Q两点坐标，进而可以解决问题．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣（1﹣4m）x+c过点（0，﹣1），
∴c＝﹣1，
∵抛物线y＝mx2﹣（1﹣4m）x+c过点（1，a），（﹣1，a），
∴抛物线的对称轴是y轴，
即，
∴，
∴该抛物线的解析式是；
（2）将x＝0代入，得y＝﹣1，
∴顶点C的坐标是（0，﹣1），
∴OC＝1．
将x＝4代入，得y＝3，
∴点A的坐标是（4，3），
∴直线OA的解析式是，
解法一：将代入，
得，
解得x1＝4，x2＝﹣1，
∴点B的横坐标为﹣1，
∴，
连接AD，BD，过点D作DQ垂直x轴交AB于点Q，
分别过点A，B作DQ的垂线，垂足为M，N，
设，
∴
∴S△ABD＝S△ADQ+S△BDQ＝DQ AM+DQ BN＝，
∵S△ABD＝S△ABC，
∴．
∵点D是点A，C之间的抛物线上的点（不与点A，C重合），
∴点Q在点D上方，
∴，
即，
解得t1＝0（舍去），t2＝3，
∴点D的坐标是；
解法二：∵点D是点A，C之间的抛物线上的点（不与点A，C重合），
∴点C，D在AB的同侧．
分别过点C，D作AB的垂线，垂足为S，T，
∴∠CSB＝∠DTB＝90°，
∴CS∥DT．
∵△ABC的面积与△ABD的面积相等，
∴CS＝DT．
∴四边形CSTD是平行四边形，
∴直线CD可由直线AB向下平移1个单位得到，
∴直线CD的解析式是，
将代入，
得，
解得x1＝0（舍去），x2＝3，
∴点D的坐标是；
（3）∵切线l不过该抛物线的顶点，
∴设切线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将y＝kx+b代入，得，
整理得x2﹣4kx﹣4b﹣4＝0，
依题意得Δ＝0，
即（﹣4k）2﹣4×1×（﹣4b﹣4）＝16k2+16b+16＝0，
∴b＝﹣k2﹣1，
∴切线l的解析式是y＝kx﹣k2﹣1，
将y＝1代入y＝kx﹣k2﹣1，得，
∴，
将y＝﹣3代入y＝kx﹣k2﹣1，得，
∴，
∵F（0，1），
∴，
由勾股定理得，
∴＝＝ ﹣16＝8﹣16＝﹣8．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查二次函数图象的性质、解一元二次方程，三角形面积求法，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
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重庆市2022-2023学年度下学期期中检测数学卷1
注意事项：
本试卷满分150分，试题共26题，其中选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在实数0，﹣3，3，中，最大的是（ ）
A．0 B．﹣3 C．3 D．
2．下列用乐高积木拼成的英文字母中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则n的值所在的范围是（ ）
A．1＜n＜3 B．3＜n＜4 C．4＜n＜5 D．4＜n＜8
4.北京冬奥会开幕式上，以“二十四节气”为主题的倒计时短片，用“中国式浪漫”美学惊艳了世界．如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图，给出下列结论：①从立春到大寒，白昼时长先增大再减小；②夏至时白昼时长最大；③春分和秋分，昼夜时长大致相等，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．② D．③
5. 如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠DCF的度数为（ ）
A．32° B．42° C．46° D．48°
6. 已知某公司一月份的收益为10万元，后引进先进设备，收益连续增长，到三月份统计共收益50万元，求二月、三月的平均增长率，设平均增长率为x，可得方程为（ ）
A．10（1+x）2＝50 B．10（1+x）2＝40
C．10（1+x）+10（1+x）2＝50 D．10（1+x）+10（1+x）2＝40
7. 如图，已知在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A（0，3），B（3，0），∠ABC＝90°．函数y＝（x＞0）的图象经过点C，则AC的长为（ ）
A．3 B．2 C．2 D．
8. 在某学校庆祝建党“100周年”的活动上，一位同学用围棋棋子按照某种规律摆成如图所示的“100”字样．按照这种规律，第100个“100”字样的棋子个数是（ ）
A．506个 B．500个 C．511个 D．504个
9. 如图，PA、PB切圆O于A，B两点，CD切圆O于E，交PA，PB于C、D，若圆O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（ ）
A． B． C． D．
10. 正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A'B'C'O与正方形ABCD的边长相等．在正方形A'B'C'O绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是2，则AD的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案填在的横线上.
11. 计算：+（π﹣3）0﹣|﹣6|＝ ．
12. 已知实数a2+b2＝7，a+b＝3，则（a﹣3）（b﹣3）＝ ．
13. 一枚质地均匀的正方体骰子六个面上分别标有﹣5，﹣1，0，1，2，4这六个数，若将第一次掷出骰子正面朝上的数记为m，第二次掷出骰子正面朝上的数记为n，则点（m、n）恰好落在一次函数y＝2x﹣4与坐标轴围成三角形区域内（含边界）的概率为 ．
14. 如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为15，AB＝6，DE＝3，则AC的长是 ．
15. 已知一次函数y＝（k2+1）x﹣1和y＝﹣x+5相交于点A（2，a），则不等式﹣x+5＜（k2+1）x﹣1中x的取值范围为 ．
16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，以格点为圆心的三段圆弧围成“叶状”阴影图形，则该阴影图形的面积等于 ．（结果保留π）
17. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，为的直径，弦于点，寸，尺，那么直径的长为多少寸？（注尺寸）根据题意，该圆的直径为 寸．
18. 如图，正方形ABCD的边长为8，E是CD边上的动点（E不与C，D重合），△AFE与△ADE关于直线AE对称，把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，连结FG，FC．现有以下结论：
①∠GAF＝∠DAF；
②CF的最小值为8﹣8；
③当DE＝2时，GF＝10；
④当E为CD中点时，CF所在直线垂直平分AG；
其中一定正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共8小题，19、20题每小题8分，21-25题每小题10分，26题12分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中的相应位置.
19.（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
20.如图，在中，已知，，是的角平分线，，垂足为．
（1）如果，的长；
（2）求证：
21.某学校为加强学生安全意识，莫校长组织全校学生参加安全知识竞赛．从中抽取部分学生成绩进行统计，绘制以下两幅不完整的统计图．请根据图中的信息，解决下列问题：
（1）填空：a＝ ，n＝ ；
（2）补全频数直方图；
（3）该学校共有4000名学生，若成绩在70分以下（含70分）的学生安全意识不强，则该校安全意识不强的学生约有多少人？
22. 如图，某小组为测量“金奥大厦”AB的高度，他们在地面C处测得另一幢大厦DE的顶部E处的仰角∠ECD＝32°．登上大厦DE的顶部E处后，测得“金奥大厦”AB的顶部A处的仰角为60°．已知C、D、B三点在同一水平直线上，且CD＝200米，DB＝100米．
（1）求大厦DE的高度；
（2）求“金奥大厦”AB的高度．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，≈1.41，≈1.73）
23. 教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温和通电时间成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温和通电时间之间的关系如图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当和时，和之间的函数关系式；
（2）求出图中的值；
（3）李老师这天早上将饮水机电源打开，若他想在上课前喝到不低于的开水，则他需要在什么时间段内接水？
24. 某地区为打造乡村振兴示范区，实行大面积机械化种植，今年共计种植某作物700亩，预计租用10台作物收割机在一天之内完成该作物的收割．已知可租用A，B两种型号的作物收割机，2台A型号收割机与3台B型号收割机一起工作1天共收割该作物310亩，1台A型号收割机和1台B型号收割机一起工作1天共收割该作物130亩，租用A型号收割机的租金为每天3000元，租用B型号收割机的租金为每天2000元．
（1）两种型号收割机每台每天平均收割多少亩该作物？
（2）设租用x台A型号的收割机，完成该作物的收割需要的总租金为y元，一共有多少种租赁方案，并求出最少的总租金．
25. 将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（2，0），点B在第一象限，∠OAB＝90°，∠B＝30°，点P在边OB上（点P不与点O，B重合）．
（Ⅰ）如图①，当OP＝1时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，折叠该纸片，使折痕PH所在的直线经过点P，并与x轴垂直，点O的对应点为O'，设OH＝t．△PHO'与△OAB重叠部分的面积为S．
①若折叠后△PHO'与△OAB重叠部分的面积为四边形时，PO'与AB相交于点C，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当≤t≤时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
26. 已知抛物线y＝mx2﹣（1﹣4m）x+c过点（1，a），（﹣1，a），（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）已知过原点的直线与该抛物线交于A，B两点（点A在点B右侧），该抛物线的顶点为C，连接AC，BC，点D在点A，C之间的抛物线上运动（不与点A，C重合）．当点A的横坐标是4时，若△ABC的面积与△ABD的面积相等，求点D的坐标；
（3）若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切．已知点F的坐标是（0，1），过该抛物线上的任意一点（除顶点外）作该抛物线的切线l，分别交直线y＝1和y＝﹣3直线于点P，Q，求FP2﹣FQ2的值．
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