第20讲：空间几何平行证明原卷版
【基础知识回顾】
一、两条直线平行证明方法
1、三角形中位线 2、平行四边形的性质
3、等比例线段 4、线面平行的性质
5、面面平行的性质 6、线面垂直的性质
二、线面平行证明方法
1、线面平行的判定定理
平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与平面平行
面面平行的性质
若两面平行，那么一个平面中任意一条直线都与另一个平面平行
面面平行证明方法
1、面面平行的判定定理
一个平面内两条相交直线分别与另一个平面平行，那么两个平面平行
【典型题型讲解】
考点一：线面平行
例1.如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，分别为棱的中点.
(1)证明：平面；
例2.已知正方体中， 分别为对角线 上的点，且．
（1）求证：平面；
【方法总结】
中位线、平行四边形的性质、等比例线段
【练一练】
1.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面.
2.如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE；
3.若图，三棱柱的侧面是平行四边形，，，且、分别是、的中点.
(1)求证：平面；
4.如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，点在棱上.证明：当时，直线平面
5．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，E为棱DD1的中点．求证：BD1∥平面ACE．
6．如图，在四棱锥中，平面，，，过的平面与，分别交于点，连接，，.
证明：.
7．已知四棱锥的底面为菱形，设平面与平面交线为．
(1)证明：平面；
考点二：面面平行的证明
例1.如图，在多面体中，面为正方形，面和面为全等的矩形，求证：平面平面
【方法总结】
线面平行
【练一练】
1.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：
（1）直线EG平面BDD1B1；
（2）平面EFG平面BDD1B1.
考点三：线面平行的性质
例1.如图，四边形中，，E，F分别在，上，，现将四边形沿折起，使．
(1)若，在折叠后的线段上是否存在一点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
例2.如图所示，在多面体中，，，，四边形为矩形，证明：平面
【方法总结】
线面平行得到线线平行
面面平行得到线面平行
【练一练】
1.如图，已知四边形为菱形，对角线与相交于O，，平面平面直线，求证：
2.在三棱锥中，，，、分别是棱、的中点.
(1)证明：；
(2)线段上是否存在点，使得平面 若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．
【巩固练习】
1．已知是不同的直线,是不同的平面,下列命题中真命题为（ ）
A．若,则 B．若,则
C．若,则 D．若,则
2．在如图所示的几何体中，正方形与梯形所在平面相交，，.
(1)证明：平面；
3．如图，在四棱锥中，底面是正方形.
(1)证明： 平面；
4．如图，在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点.求证：
(1)直线平面BDE；
5．在正方体中，分别是的中点．
证明：平面平面；
6．如图，正方形和直角梯形不在同一个平面内，，，，，，是的中点.
证明：平面平面；
7．如图，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且分别为的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连接证明：平面；
8．如图，在长方体中，，分别是线段，的中点，证明：平面第20讲：空间几何平行证明解析版
【基础知识回顾】
一、两条直线平行证明方法
1、三角形中位线 2、平行四边形的性质
3、等比例线段 4、线面平行的性质
5、面面平行的性质 6、线面垂直的性质
二、线面平行证明方法
1、线面平行的判定定理
平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与平面平行
面面平行的性质
若两面平行，那么一个平面中任意一条直线都与另一个平面平行
面面平行证明方法
1、面面平行的判定定理
一个平面内两条相交直线分别与另一个平面平行，那么两个平面平行
【典型题型讲解】
考点一：线面平行
例1.如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，分别为棱的中点.
(1)证明：平面；
证明：取的中点，连接.
中，分别为的中点，，
分别为的中点，，，
故四边形为平行四边形，，
平面平面，平面.
例2.已知正方体中， 分别为对角线 上的点，且．
（1）求证：平面；
（1）连结并延长与的延长线交于点，
因为四边形为正方形，所以，故，所以，
又因为，所以，所以．又平面，平面，
故平面．
【方法总结】
中位线、平行四边形的性质、等比例线段
【练一练】
1.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面.
【答案】证明见解析.
【节选】证明：连接，易知，.
又由，故.
又因为平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD.
2.如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE；
【答案】证明见解析
【解析】证明：连结B1C，ME．
因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME=B1C．
又因为N为A1D的中点，所以ND=A1D．由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，
因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．
3.若图，三棱柱的侧面是平行四边形，，，且、分别是、的中点.
(1)求证：平面；
(1)
证明：取中点，连接、.
因为、分别是、的中点，
所以且.
在平行四边形中，且，
因为是的中点，所以且.
所以且，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
4.如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，点在棱上.证明：当时，直线平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：连结与交于点，连结
，，，
，，
又面，面，平面.
5．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，E为棱DD1的中点．求证：BD1∥平面ACE．
【详解】连接BD交AC于点O，连接EO，
因为四边形ABCD为平行四边形，所以O为BD的中点，
又因为E为DD1的中点，所以EO为△BD1D的中位线，所以EO∥BD1，
又因为BD1 平面ACE，EO 平面ACE，所以BD1∥平面ACE．
6．如图，在四棱锥中，平面，，，过的平面与，分别交于点，连接，，.
证明：.
证明：因为，平面，平面，
所以，平面，
因为，过的平面与，分别交于点，即平面，平面平面，
所以，，
所以
7．已知四棱锥的底面为菱形，设平面与平面交线为．
(1)证明：平面；
因四棱锥的底面为菱形，则，而平面，平面，
则有平面，又平面平面，平面，于是得，
而平面，平面，
所以平面.
考点二：面面平行的证明
例1.如图，在多面体中，面为正方形，面和面为全等的矩形，求证：平面平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵四边形为正方形，四边形为矩形，∴，且.
∴四边形为平行四边形，∴.
又∵平面，平面，∴平面.
同理平面.
又∵，为平面内的两条相交直线，∴平面平面.
【方法总结】
线面平行
【练一练】
1.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：
（1）直线EG平面BDD1B1；
（2）平面EFG平面BDD1B1.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】证明：（1）如图，连接SB，因为E，G分别是BC，SC的中点，
所以EGSB.
又因为SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，
所以直线EG平面BDD1B1.
（2）连接SD，因为F，G分别是DC，SC的中点，
所以FGSD.
又因为SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，
所以FG平面BDD1B1，
由（1）有直线EG平面BDD1B1；
又EG平面EFG，FG平面EFG，EG∩FG=G，
所以平面EFG平面BDD1B1.
考点三：线面平行的性质
例1.如图，四边形中，，E，F分别在，上，，现将四边形沿折起，使．
(1)若，在折叠后的线段上是否存在一点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（1）
上存在一点P，使得平面，此时，
理由如下：当时，，
如图，过点P作交于点M，连接，
则，
∵，∴，∴，又，，∴，
故四边形为平行四边形，∴，
又平面，平面，∴平面.
综上，存在点P，使得平面，.
例2.如图所示，在多面体中，，，，四边形为矩形，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】取的中点为，连接，因为且，
四边形为平行四边形，所以且，
又因为四边形为矩形，所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
且平面，平面，
所以平面，同理可证平面，又
所以平面平面，因为平面
所以平面.
【方法总结】
线面平行得到线线平行
面面平行得到线面平行
【练一练】
1.如图，已知四边形为菱形，对角线与相交于O，，平面平面直线，求证：
【答案】证明见解析
【解析】因为四边形为菱形，所以，
平面，平面平面，
因为平面平面直线平面，所以；
2.在三棱锥中，，，、分别是棱、的中点.
(1)证明：；
(2)线段上是否存在点，使得平面 若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，当上的点满足.
【分析】（1）取的中点，利用线面垂直的判定、性质推理作答.
（2）上的点满足，连CE，借助三角形重心定理，利用线面平行的判定推理作答.
（1）
取的中点，连接，，如图，因，，则，，
而平面，平面，，于是得平面，又平面，
所以.
（2）
当上的点满足时，平面
连接交于，连接，、分别是、的中点，
则是△的重心，有，即有，因此，
而平面，平面，
所以平面．
【巩固练习】
1．已知是不同的直线,是不同的平面,下列命题中真命题为（ ）
A．若,则 B．若,则
C．若,则 D．若,则
C
【分析】可放在长方体中排除错误选项,选出正确选项.
【详解】解:由题知,不妨将, 放在长方体中可知,
关于选项A,如图所示可知A错误,
关于选项B,如图所示可知B错误,
关于选项D,如图所示可知D错误,
根据面面平行的性质定理可知,选项C正确.
故选:C
2．在如图所示的几何体中，正方形与梯形所在平面相交，，.
(1)证明：平面；
【详解】（1）四边形为正方形，，又平面，平面，
平面；
，平面，平面，平面；
又，平面，平面平面，
平面，平面.
3．如图，在四棱锥中，底面是正方形.
(1)证明： 平面；
【详解】（1）因为底面是正方形，所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
4．如图，在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点.求证：
(1)直线平面BDE；
【详解】（1）如图，连接OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC的中点.
又E为PC的中点，所以.
因为平面BDE，平面BDE，所以直线平面BDE.
5．在正方体中，分别是的中点．
证明：平面平面；
【详解】（1）连接，
∵分别是的中点，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又，
∴，
∵平面，平面，
∴平面，
∵分别是的中点，
∴，
∴，
又平面，平面，
∴平面，
又∵平面，
∴平面平面；
6．如图，正方形和直角梯形不在同一个平面内，，，，，，是的中点.
证明：平面平面；
【详解】（1）设，连接，
因为分别为，的中点，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
因为是的中点，，所以，.
因为，所以四边形是平行四边形.
所以，
因为平面，平面，所以平面.
因为平面，平面，
所以平面平面.
7．如图，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且分别为的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连接证明：平面；
【详解】如图，在四棱锥中，取的中点，连接．
因为分别为的中点，，
所以
又平面， 平面，
所以平面，
同理可得，平面，
又平面，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面．
8．如图，在长方体中，，分别是线段，的中点，证明：平面
【详解】取的中点，连接，，
则，，
又平面，平面，平面，
所以平面，平面，
又平面，
所以平面平面，又平面，
所以平面
