第21讲：空间几何垂直证明解析版
【基础知识回顾】
空间直线证明
异面垂直：线面垂直的定义应用，空间向量
共面垂直：勾股定理，三线合一，特殊图形（矩形、正方形、菱形，圆内直径所对的圆周角）
直线与平面垂直
直线与平面垂直判定定理：直线与平面内两条相交直线分别垂直，那么直线与该平面垂直
面面垂直的性质
空间向量
面面垂直的证明方法
面面垂直的判定定理：一个平面内一条直线与另一个平面垂直，那么两个平面垂直
空间向量
【典型题型讲解】
考点一：线面垂直证明
例1.某商品的包装纸如图1，其中菱形的边长为3，且，，，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N汇聚为一点P，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．
(1)证明底面；
【方法总结】
线面垂直的判定定理及性质的灵活应用
【练一练】
1.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为正三角形，为的中点，求证：平面
2.如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.
(1)证明：平面DEF；
3.如图所示，四棱锥中，，，，平面，求证:平面
4.如图，四棱锥中，四边形是边长为的正方形，为等边三角形，分别为和的中点，且，证明:平面
考点二：面面垂直的判定
例1、如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点．
求证：平面ASB⊥平面CSB；
【方法总结】
熟练掌握面面垂直判定定理
【练一练】
1.如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，平面点为线段的中点，求证:平面平面
2.如图，在五面体ABCDE中，平面ABC，，，.
求证：平面平面ACD；
3.如图，在四棱锥中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是等腰梯形，，，，M，N分别是AB，AD的中点．
(1)证明：平面PMN⊥平面PAD；
4.如图，在直角梯形中，，，，，.将矩形沿翻折，使得平面平面，若，证明：平面平面
考点三：线面垂直的性质
例1.如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，已知，E为的中点，求证
【方法总结】
空间垂直的性质的应用
【练一练】
1.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，E为CD的中点，.
证明： ；
2.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，.
(1)求证：；
3.如图，在四棱锥中，，，，为的中点，，求证：
4.如图，已知四棱锥中，底面为菱形，平面分别为的中点.
（1）求证:;
考点四：面与面垂直的性质
例1．如图1所示，梯形ABCD中，AB=BC=CD=2，AD=4，E为AD的中点，连结BE，AC交于F，将△ABE沿BE折叠，使得平面ABE⊥平面BCDE（如图2）.
(1)求证：AF⊥CD；
【方法总结】
面面垂直的性质的应用
【练一练】
1.在三棱锥中，平面平面ABC，，）证明：平面ABC
2.如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，是的中点，求证：平面
3.如图，在四棱锥中，底面为矩形，，平面平面，若E为的中点，求证：平面
【巩固练习】
1．在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
2．如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
3．已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，四面体中，，E为的中点．
证明：平面平面；
6．在四棱锥中，底面．
证明：；
7．如图，四面体中，，E为AC的中点．
证明：平面平面ACD；
8．如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
证明：；
9．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
证明：；
10．在四棱锥中，底面是正方形，若．
证明：平面平面；第21讲：空间几何垂直证明解析版
【基础知识回顾】
空间直线证明
异面垂直：线面垂直的定义应用，空间向量
共面垂直：勾股定理，三线合一，特殊图形（矩形、正方形、菱形，圆内直径所对的圆周角）
直线与平面垂直
直线与平面垂直判定定理：直线与平面内两条相交直线分别垂直，那么直线与该平面垂直
面面垂直的性质
空间向量
面面垂直的证明方法
面面垂直的判定定理：一个平面内一条直线与另一个平面垂直，那么两个平面垂直
空间向量
【典型题型讲解】
考点一：线面垂直证明
例1.某商品的包装纸如图1，其中菱形的边长为3，且，，，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N汇聚为一点P，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．
(1)证明底面；
(1)
由菱形的边长为3，，
可得：，即有
同理，即有
在翻折的过程中，垂直关系保持不变可得：，，．
可得底面
【方法总结】
线面垂直的判定定理及性质的灵活应用
【练一练】
1.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为正三角形，为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】∵为正三角形，为的中点，∴.
∵，，为的中点.∴四边形为平行四边形，∴.
又，∴，即.又，∴平面.
2.如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.
(1)证明：平面DEF；
（1）
证明：如右图，连接AE，由题意知AB为的直径，所以.
因为AD，EF是圆柱的母线，所以且,
所以四边形AEFD是平行四边形.
所以 ,
所以.
因为EF是圆柱的母线，所以平面ABE,
又因为平面ABE，
所以.
又因为，DF，平面DEF，
所以平面DEF.
3.如图所示，四棱锥中，，，，平面，求证:平面
【答案】证明见解析
【解析】证明:，，
又，，故，
又平面平面，，
又，平面.
4.如图，四棱锥中，四边形是边长为的正方形，为等边三角形，分别为和的中点，且，证明:平面
【答案】证明见解析
【解析】如图所示，连接，由是边长为的正方形，
因为是的中点，可得的中点，
在中，因为分别是的中点，可得，
又因为，所以，
又由，且，所以平面.
考点二：面面垂直的判定
例1、如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点．
求证：平面ASB⊥平面CSB；
证明：∵△SAD是等边三角形，E是AD的中点，∴SE⊥AD，
∵四边形ABCD是菱形，，∴△ACD是等边三角形，又E是AD的中点，∴AD⊥CE，
又平面SEC，∴AD⊥平面SEC，又平面SEC，∴AD⊥EG，
又四边形AFGE是平行四边形，∴四边形AFGE是矩形，∴AF⊥FG，又SA＝AB，F是SB的中点，∴AF⊥SB，
又平面SBC，∴AF⊥平面SBC，又平面ASB，
∴平面ASB⊥平面CSB；
【方法总结】
熟练掌握面面垂直判定定理
【练一练】
1.如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，平面点为线段的中点，求证:平面平面
【答案】证明见解析
【解析】因为四边形是菱形，所以
因为平面平面所以
又因为所以平面
因为平面所以平面平面.
2.如图，在五面体ABCDE中，平面ABC，，，.
求证：平面平面ACD；
(1)
若是中点，连接，作，由知：，
因为面ABC，则面ABC，又面ABC，
所以，，
综上，两两垂直，故可构建如下图示的空间直角坐标系，
令，，，则，，，
所以，，
若是面的一个法向量，即，令，则，
又是面的一个法向量，则，
所以面面.
3.如图，在四棱锥中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是等腰梯形，，，，M，N分别是AB，AD的中点．
(1)证明：平面PMN⊥平面PAD；
(1)
连接DM，显然且，
∴四边形BCDM为平行四边形，故且，
∴△是正三角形，故，
又平面ABCD，平面ABCD，则，又，
∴平面PAD，又平面PMN，
∴平面平面PAD．
4.如图，在直角梯形中，，，，，.将矩形沿翻折，使得平面平面，若，证明：平面平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接，因所以
因为平面平面，平面平面，所以平面
因为平面，所以
因为，所以平面
因为平面，所以平面平面
考点三：线面垂直的性质
例1.如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，已知，E为的中点，求证
【答案】证明见解析
【解析】交点为，连接，
是边长为2的菱形，是的中点，
，
又平面，平面，，平面，
平面，
【方法总结】
空间垂直的性质的应用
【练一练】
1.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，E为CD的中点，.
证明： ；
(1)
由平面，平面
又 ，E为CD的中点
又
，.
又，平面
平面. 又
.
2.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，.
(1)求证：；
(1)
取中点，连结.
因为，则，
由余弦定理可得，
，故，
分别为的中点，则，故.
又为等腰直角三角形，为的中点，则.
又平面，
又面.
3.如图，在四棱锥中，，，，为的中点，，求证：
【答案】证明见解析
【解析】取AC中点M，连接FM，DM，
分别为AB，AC中点，，
，
四边形DEFM是平行四边形，，
，
平面ACD，，
平面CDM，平面CDM，；
4.如图，已知四棱锥中，底面为菱形，平面分别为的中点.
（1）求证:;
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
证明：（1）连，
，底面为菱形，
是等边三角形，
，
，
又，
，
又面面，
，
，
面面，
.
考点四：面与面垂直的性质
例1．如图1所示，梯形ABCD中，AB=BC=CD=2，AD=4，E为AD的中点，连结BE，AC交于F，将△ABE沿BE折叠，使得平面ABE⊥平面BCDE（如图2）.
(1)求证：AF⊥CD；
（1）
连接EC，则△ABE △BCE △CDE都是正三角形，四边形ABCE是菱形，
所以，，
又因为面面BCDE，面面，面ABE，
所以面BCDE，
又因为面BCDE，所以；
【方法总结】
面面垂直的性质的应用
【练一练】
1.在三棱锥中，平面平面ABC，，）证明：平面ABC
【答案】证明见解析；
【解析】证明：取AB中点D，连接PD，DC
∵，，则，，
而，∴平面PDC，
因为平面，故．
在中，，故，∴．
又∵平面平面，且交线为AC，平面，
∴平面，因为平面，故．
因为，∴平面．
2.如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，是的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】平面平面，平面平面=AC，平面，，
∴平面，
∵平面，
∴，
∵，是的中点，
∴，
∵，平面，
∴平面．
3.如图，在四棱锥中，底面为矩形，，平面平面，若E为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】因为平面平面，且平面平面，底面为矩形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；
因为，所以为等腰三角形，E为的中点，所以，因为，面，所以面
【巩固练习】
1．在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线，
在内，作于点，在内，作，交于点，连结，
则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，
由勾股定理可知：，，
底面正方形中，为中点，则，
由勾股定理可得，
从而有：，
据此可得，即，
据此可得平面平面不成立，选项B错误；
对于选项C，取的中点，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误；
对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误；
故选：A.
2．如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
【详解】
连，在正方体中，
M是的中点，所以为中点，
又N是的中点，所以，
平面平面，
所以平面.
因为不垂直，所以不垂直
则不垂直平面，所以选项B,D不正确；
在正方体中，，
平面，所以，
，所以平面，
平面，所以，
且直线是异面直线，
所以选项C错误，选项A正确.
故选：A.
3．已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】A.，与相交，所以与异面，故A错误；
B.与平面相交，且，所以与异面，故B错误；
C.四边形是矩形，不是菱形，所以对角线与不垂直，故C错误；
D.连结，，，，所以平面，所以，故D正确.
故选：D
4．（多选）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】设正方体的棱长为，
对于A，如图（1）所示，连接，则，
故（或其补角）为异面直线所成的角，
在直角三角形，，，故，
故不成立，故A错误.
对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，，
由正方体可得平面，而平面，
故，而，故平面，
又平面，，而，
所以平面，而平面，故，故B正确.
对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，
故，故C正确.
对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，
则，
因为，故，故，
所以或其补角为异面直线所成的角，
因为正方体的棱长为2，故，，
，，故不是直角，
故不垂直，故D错误.
故选：BC.
5．如图，四面体中，，E为的中点．
证明：平面平面；
（1）
因为，E为的中点，所以；
在和中，因为，
所以，所以，又因为E为的中点，所以；
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
6．在四棱锥中，底面．
证明：；
证明：在四边形中，作于，于，
因为，
所以四边形为等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，
所以平面，
又因为平面，
所以；
7．如图，四面体中，，E为AC的中点．
证明：平面平面ACD；
【详解】（1）由于，是的中点，所以.
由于，所以，
所以，故，
由于，平面，
所以平面，
由于平面，所以平面平面.
8．如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
证明：；
【详解】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、．
∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，，
∵，且，
∴平面是二面角的平面角，则，
∴是正三角形，由平面，得平面平面，
∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．
9．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
证明：；
【详解】
因为，所以．
又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示，
过E作的平行线分别与交于其中点，连接，
因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，
易证，则．
又因为，所以．
又因为，所以平面．
又因为平面，所以．
10．在四棱锥中，底面是正方形，若．
证明：平面平面；
【详解】
（1）取的中点为，连接.
因为，，则，
而，故.
在正方形中，因为，故，故，
因为，故，故为直角三角形且，
因为，故平面，
因为平面，故平面平面.
