第22讲：空间向量在立体几何中的应用解析版
【基础知识回顾】
空间直角坐标系
笛卡尔直角坐标系
2、异面直线所成的角
（1）角的范围；（2）分别求出两条直线的方向向量，，然后求出夹角余弦值
3、求平面的法向量的步骤
（1）设平面的法向量，（2）在平面上找任意不共线三个点的坐标，（3）写出两个相交线的方向向量；（4）列出方程组,（5）化简然后令其中一个为1求出法向量。
4、直线与平面所成的角
（1）写出直线的方向向量，（2）求出平面的法向量，（3）直线与平面所成的角
（4）角的范围
5、二面角
（1）分别求出两个平面的法向量，（2）求出两个向量的夹角
（3）观察图像判断二面角的平面角是锐角（）或者钝角（）
【典型题型讲解】
考点一：异面直线所成的角
例1.如图，在三棱柱中，侧棱长为4，平面平面，是边长为4的等边三角形，且，已知是的中点．以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．
（1）求向量，的坐标；
（2）求异面直线与所成角的大小．
【答案】（1），；（2）．
【详解】
（1）由空间直角坐标系可得
，，，，
则，．
（2）
所以异面直线与所成角的大小为．
【方法总结】
代入异面直线所成的夹角公式
【练一练】
1、如图,三棱柱中,平面平面,且,,求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】
【详解】
以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
所以.
设所求的角为,
则,
即异面直线与所成角的余弦值为.
2、在正方体中，已知O为中点，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）求平面的法向量，并证明平面；
（2）求异面直线与夹角的余弦值.
【答案】（1），证明见解析；（2）.
【详解】
（1）证明：，，
故，，
设平面的一个法向量为，
由得，
令，则，，所以.
又，从而.
∵平面，
所以平面；
（2）解：设、分别为直线与OD的方向向量.
则由，，
得.
所以两异面直线与OD的夹角的余弦值为.
考点二：直线与平面所成的角
例1.在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
（1）求证：BE⊥DC；
（2）求直线PC与平面PDB所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见详解；（2）
【解析】（1）证明：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系如图：
可得，
，故，所以.
（2），
设为平面的一个法向量，
则 即，不妨令，可得．
设直线PC与平面PDB所成角为
于是有，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【方法总结】
直线与平面所成的角
【练一练】
1、如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】
（1）建立如图所示空间直角坐标系.
，
，
设平面的法向量为，
则，故可设.
由于，所以平面.
（2）直线与平面所成角为，
则.
2、如图，正四棱柱中，，为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】
（1）证明：连接A1C1与B1D1相交于O1，连接EO1，
由于E，O1分别是CC1，A1C1的中点，则EO1∥A1C，
因为EO1 平面B1D1E，A1C 平面B1D1E，所以A1C∥平面B1ED1．
（2）以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
设AB＝1，AA1＝2，则B1（1，1，2），D（0，0，0），E（0，1，1），D1（0，0，2），
∴，，∴，
设是面B1ED1的法向量 ，
令x＝1，则y＝﹣1，z＝﹣1，即，
设B1D与面B1ED1所成角为θ，
，
∴B1D与面B1ED1所成角的正弦值为
3．如图，四棱锥的底面为直角梯形，，且
为等边三角形，平面平面；点分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【详解】（1）设的中点为，连接，
为的中点，所以为的中位线，
则可得，且；
在梯形中，，且，
，
所以四边形是平行四边形，
，又平面，平面，
平面．
法二：设为的中点，连接，
为的中点，
所以是的中位线，所以，
又平面，平面，
平面，
又在梯形中，，且，
所以四边形是平行四边形，
，
又平面，平面，
平面，
又，
所以平面平面，
又平面，
平面．
（2）设的中点为，又．
因为平面平面，交线为，平面，
平面，
又由，，
．
即有两两垂直，如图，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系．
已知点，
设平面的法向量为：．
则有 ，可得平面的一个法向量为，
，
可得：，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
4．在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
证明：在四边形中，作于，于，
因为，
所以四边形为等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，
所以平面，
又因为平面，
所以；
（2）
解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
，
则，
则，
设平面的法向量，
则有，可取，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
考点三：二面角
例1、如图所示，平面，四边形为矩形，，，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【详解】
（1）∵四边形ABEF为矩形
又平面ADE，AE平面ADE
平面ADE
又，
同理可得：平面ADE
又，BF，BC 平面BCF
∴平面平面ADE
又CF平面BCF
平面ADE
（2）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则
，，
,,
设是平面CDF的一个法向量，则
即
令，解得
又是平面AEFB的一个法向量，
∴平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值为.
【方法总结】
二面角：分别求平面的法向量，求二面角的夹角
【练一练】
1、如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．
（）求与平面所成角的正弦．
（）求二面角的余弦值．
【答案】(1) .
(2) .
详解：
（）∵是矩形，
∴，
又∵平面，
∴，，即，，两两垂直，
∴以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，
由，，得，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
∴，
∴，
故与平面所成角的正弦值为．
（）由（）可得，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
∴，
∴，
故二面角的余弦值为．
2、如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成的角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】
解：（1）依题意，棱DA，DC，DP两两互相垂直.
以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，
如图，建立空间直角坐标系.
则，，，.
可得，.
所以，
所以
（2）由（1）得到，，
因此可得，.
设平面的一个法向量为，则由
得
令，解得.
同理，可求平面PDC的一个法向量.
所以，平面PAM与平面PDC所成的锐二面角满足：
.
即平面PAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为.
3、在三棱柱中，平面，，，是的中点.
（1）求证：ABCE；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）在三棱柱中，平面，则平面，
，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
设，则、、、，
，，则，
因此，；
（2）设平面的法向量为，，，
由，取，则，，可得，
易知平面的一个法向量为，.
由图形可知，二面角为锐角，
因此，二面角的余弦值为.
4．如图，在几何体中，底面，，，，，，，，，设点在棱上，已知平面.
（1）求线段的长度；
（2）求二面角的余弦值.
【详解】以为坐标原点，射线为轴的正半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由，，，，，易知.
则，，，，，，
（1）设，因为平面，所以，
，，，解得，
所以线段的长度为1.
（2）设是平面的一个法向量，，，
则，可取，
同理，设是平面的一个法向量，
则，可取.
则，显然二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
5．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，，，点E，F分别为CD，AP的中点．
(1)证明:PC//平面BEF；
(2)若PAPD，且PA=PD，面PAD面ABCD，求二面角C-BE-F的余弦值．
(1)
证明：连接，交于，连接，
点为的中点，，
，，，
，，即点为的中点，
又为的中点，，
面，面，
面．
(2)
（2）取的中点，连，，
，，
面面，面面，
面，，
，，．
以，，所在的直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，0，，，，0，，，
，，
面，面的一个法向量为，
设面的法向量为，则，即，
令，则，，，，，
，
由图可知，二面角为钝角，
故二面角的余弦值为．
【巩固练习】
1．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.
详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,
因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.
2．如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【详解】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、．
∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，，
∵，且，
∴平面是二面角的平面角，则，
∴是正三角形，由平面，得平面平面，
∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．
（2）因为平面，过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
设，则，
设平面的法向量为
由，得，取，
设直线与平面所成角为，
∴．
3．直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面所成二面角的余弦值．
【详解】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、、、，则，
易知平面的一个法向量为，则，故，
平面，故平面.
（2）解：，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，.
因此，直线与平面夹角的正弦值为.
（3）解：，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，则，
因此，平面与平面夹角的余弦值为.
4．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
【详解】（1）空间坐标系+空间向量法
平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、，
则，，
，则，解得，故；
（2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法
设平面的法向量为，则，，
由，取，可得，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
，
所以，，
因此，二面角的正弦值为.
5．在四棱锥中，底面是正方形，若．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
【详解】
（1）取的中点为，连接.
因为，，则，
而，故.
在正方形中，因为，故，故，
因为，故，故为直角三角形且，
因为，故平面，
因为平面，故平面平面.
（2）在平面内，过作，交于，则，
结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.
则，故.
设平面的法向量，
则即，取，则，
故.
而平面的法向量为，故.
二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.
6．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，
所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以．
（2）由，，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,
则,
又为中点，所以.
由（1）得平面，所以平面的一个法向量
从而直线与平面所成角的正弦值为．
7．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
（I）求证：平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值．
（III）求二面角的正弦值．
【详解】（I）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则,,,,,,，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，，
所以,,,
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
因为，所以，
因为平面，所以平面；
（II）由（1）得，，
设直线与平面所成角为，
则；
（III）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，
则，
所以二面角的正弦值为.
8．如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
【详解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
可得、、、、
、、、、.
（Ⅰ）依题意，，，
从而，所以；
（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，
，．
设为平面的法向量，
则，即，
不妨设，可得．
，
．
所以，二面角的正弦值为；
（Ⅲ）依题意，．
由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
9．如图，在正方体中， E为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【详解】（Ⅰ）[方法一]：几何法
如下图所示：
在正方体中，且，且，
且，所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面；
[方法二]:空间向量坐标法
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则、、、，，，
设平面的法向量为，由，得，
令，则，，则.
又∵向量,,
又平面，平面；
（Ⅱ）[方法一]：几何法
延长到，使得，连接，交于，
又∵，∴四边形为平行四边形，∴，
又∵,∴,所以平面即平面,
连接，作,垂足为,连接,
∵平面,平面,∴，
又∵,∴直线平面,
又∵直线平面,∴平面平面,
∴在平面中的射影在直线上,∴直线为直线在平面中的射影，∠为直线与平面所成的角，
根据直线直线，可知∠为直线与平面所成的角.
设正方体的棱长为2，则,,∴,
∴,
∴,
即直线与平面所成角的正弦值为.
10．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
【详解】（1）连接，
，分别为，中点 为的中位线
且
又为中点，且 且
四边形为平行四边形
，又平面，平面
平面
（2）设，
由直四棱柱性质可知：平面
四边形为菱形
则以为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：
则：，，，D（0，-1,0）
取中点，连接，则
四边形为菱形且 为等边三角形
又平面，平面
平面，即平面
为平面的一个法向量，且
设平面的法向量，又，
，令，则，
二面角的正弦值为：第22讲：空间向量在立体几何中的应用解析版
【基础知识回顾】
空间直角坐标系
笛卡尔直角坐标系
2、异面直线所成的角
（1）角的范围；（2）分别求出两条直线的方向向量，，然后求出夹角余弦值
3、求平面的法向量的步骤
（1）设平面的法向量，（2）在平面上找任意不共线三个点的坐标，（3）写出两个相交线的方向向量；（4）列出方程组,（5）化简然后令其中一个为1求出法向量。
4、直线与平面所成的角
（1）写出直线的方向向量，（2）求出平面的法向量，（3）直线与平面所成的角
（4）角的范围
5、二面角
（1）分别求出两个平面的法向量，（2）求出两个向量的夹角
（3）观察图像判断二面角的平面角是锐角（）或者钝角（）
【典型题型讲解】
考点一：异面直线所成的角
例1.如图，在三棱柱中，侧棱长为4，平面平面，是边长为4的等边三角形，且，已知是的中点．以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．
（1）求向量，的坐标；
（2）求异面直线与所成角的大小．
【方法总结】
代入异面直线所成的夹角公式
【练一练】
1、如图,三棱柱中,平面平面,且,,求异面直线与所成角的余弦值.
2、在正方体中，已知O为中点，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）求平面的法向量，并证明平面；
（2）求异面直线与夹角的余弦值.
考点二：直线与平面所成的角
例1.在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
（1）求证：BE⊥DC；
（2）求直线PC与平面PDB所成角的正弦值．
【方法总结】
直线与平面所成的角
【练一练】
1、如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
2、如图，正四棱柱中，，为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
3．如图，四棱锥的底面为直角梯形，，且
为等边三角形，平面平面；点分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
4．在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
考点三：二面角
例1、如图所示，平面，四边形为矩形，，，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【方法总结】
二面角：分别求平面的法向量，求二面角的夹角
【练一练】
1、如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．
（）求与平面所成角的正弦．
（）求二面角的余弦值．
2、如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成的角的余弦值．
3、在三棱柱中，平面，，，是的中点.
（1）求证：ABCE；
（2）求二面角的余弦值.
4．如图，在几何体中，底面，，，，，，，，，设点在棱上，已知平面.
（1）求线段的长度；
（2）求二面角的余弦值.
5．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，，，点E，F分别为CD，AP的中点．
(1)证明:PC//平面BEF；
(2)若PAPD，且PA=PD，面PAD面ABCD，求二面角C-BE-F的余弦值．
【巩固练习】
1．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
2．如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
3．直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面所成二面角的余弦值．
4．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
5．在四棱锥中，底面是正方形，若．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
6．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
7．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
（I）求证：平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值．
（III）求二面角的正弦值．
8．如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
9．如图，在正方体中， E为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
10．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
