2023届高考数学复习专题★★ 函数方程 稳妥实用 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
2023届高考数学复习专题★★
函数方程 稳妥实用
应用1 借助函数关系解决问题
在方程、不等式、三角函数、平面向量、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解.
例1 已知球 的半径为1，四棱锥的顶点为 ，底面的四个顶点均在球
的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )
A. B. C. D.
√
解析：如图，圆内接四棱锥底面是正方形时体积最大.设底面
边长为 ,过球心 作 底面 ,
设 ,底面 所在圆的半径为 ,则 ,
,则 ,所以四棱锥的体积 , ,将体积视为自变量 的函数，求导得 ,令 ,解得 ,则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故 时 取得最大值.即四棱锥体积最大时，其高为 .
本题求体积（面积）的最值时，由于函数式较复杂，采用了换元法进行化简，进而利用导数法求最值，计算较为简便，换元时要注意写出新元的取值范围.此题有意识地凸显其函数关系，进而用函数思想或函数方法研究、解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平.
1.已知四边形 是边长为2的菱形， ， ， 分别是
， 上的点（不含端点），且 ，则 的取值范围是
( )
A. B. C. D.
√
解析：选A.因为 ,所以 ,所以 , .设 ,则 ,所以 ,因为 ，所以 ,故选A.
2.已知等差数列 满足 , , 是数列 的前 项和，
则 取得最大值时 ___.
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解析：设等差数列 的公差为 ，因为 ,所以
,所以 .因为 ,所以 , ,所以 时， 取得最大值.
应用2 转换函数关系解决问题
在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难解题时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解.
例2 已知函数 与函数 的图象在区间 上有
两个不同的交点，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
解析：令 ，得 ，即 .令函数 ,若方程 在区间 上有两个不等实根，则函数 与 的图象在区间 上有两个不相同的交点， ,令 可得 ，当 时， ,函数 是减函数；当
时， ，函数 是增函数，函数 的极小值，也是最小值是 ,而 , ,又 ,所以函数的最大值为 .所以关于 的方程 在区间 上有两个不等实根，则实数 的取值范围是 .故选B.
挖掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数 的单调性巧妙地求出实数 的取值范围.此法也叫主元法.
1.对任意 ，函数 的值恒大于零，
则 的取值范围为_________________.

解析： ，
令 .
由题意知，在 上， 的值恒大于零，
所以
解得 或 .
2.关于 的不等式 在 上恒成立,则 的
取值范围为_______.

解析：关于 的不等式 在 上恒成立
函数 在 上恒成立.
因为函数 在 上为增函数,
所以 ,
即 在 上的值域为 .
所以 ,解得 ，
所以 的取值范围为 .
应用3 构造函数关系解决问题
在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现.特别要注意的是，构造时，要深入审题，充分挖掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移.
例3 （2020·高考全国卷Ⅱ）若 ，则( )
A. B.
C. D.
解析：由 ,得 ，即 .设 ，则 .因为函数 在 上为增函数， 在 上为增函数，所以 在 上为增函数，则由 ，得 ,所以 ，所以 ,所以 ，故选A.
√
解答本题的关键点：（1）对于结构相同（相似）的不等式，通常考虑变形，构造函数；（2）利用指数函数与对数函数的单调性得到 , 的大小关系及 的符号.
1.（2022·河南洛阳第一次统考）若 ， , ，则
( )
A. B. C. D.
解析：选A.易知 , .构造函数
,可知 在定义域 上为增函数，且 , ,
则 ,所以 .易知函数 在定义域 内为增函数，所以 .所以 .故选A.
√
2.（2022·陕西西安4月模考）若不等式 对任意的
恒成立（ 为自然对数的底数），则实数 的最大值为( )
A. B. C. D.
解析：选A.由题设得, 在 上恒成立，所以 即 .
原不等式可化为
,
√
所以 ,
即 ，
即 .
令 ，则 ，
故 在 上单调递增.
由上知 ,
则 ,
即 在 上恒成立.
令 ,
则 ,又 , ,
所以 , ，即 ,
故 在 上单调递减，
所以 ,故 ,即
,可得 .
综上， ，故 的最大值为 .故选A.
应用4 建立方程（组）形式解决问题
分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知数的方程（组），使原问题得到解决，这就是构造方程法，是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面.
例4 （2022·江苏南京高三学情调研）在平面直角坐标系 中，双曲线
的左、右焦点分别为 , ，过 且垂直于
轴的直线与 交于 , 两点， 与 轴的交点为 , ,则 的离
心率为( )
A. B. C. D.
√
解析：方法一：由题意得 , ,设 , , ,因为 ,所以 为 的中点，所以 ,即 .又 ,所以 ，即 ,即 .因为 ,所以 ,方程两边同时除以 得， ，解得 或 （舍），所以 ,故选B.
方法二：由题意得 , ,不妨设 , , ,因为 ，所以 为 的中点，连接 （图略），又 ,所以 .由对称性得 ,所以 ，即 为等边三角形,
所以 ，即 ，即 .又 ,所以 ,方程两边同时除以 得， , 解得 或 （舍）,所以 ,故选B.
此题是一道典型的求离心率的题目，一般需要通过 , , 之间的关系，得出关于 , 的方程，经过恒等变形就可以求出离心率.
1.在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , .已知 的面积为
， , ，则 ___.
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解析：在 中，由 ，可得 ，所以 解得
2.设 ， 为椭圆 的两个焦点， 为 上一点且在第一象
限.若 为等腰三角形，则 的坐标为_________.

解析：不妨令 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，根据题意可知 .因为 为等腰三角形， 为 上一点且在第一象限，所以易知 ，所以 .设 （ ， ），
则 解得
所以 的坐标为 .
应用5 转换方程形式解决问题
把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸显其隐含条件，充分发挥其方程性质，运用有关方程的解的定理（如根与系数的关系、判别式、实根分布的充要条件）使原问题获解，这是方程思想应用的又一个方面.
例5 已知 , ,求 的值.
【解】 方法一：由已知条件及正弦的和（差）角公式，得

所以 , .
从而 .
方法二：令 .因为 ,
且
.
所以得到方程 ，
解方程得 .
本例方法二运用方程的思想，把已知条件通过变形看作关于 的方程来求解，从而获得欲求的三角函数表达式的值.
1.（2022·云南省第一次统一检测）已知 , ,则
( )
A. B. C. D.
√
解析：选A. ,解得 ,又 ,所以 .因为 ,所以 ,又 ,所以 ,又 ,所以 ,所以 ,故选A.
2.设非零向量 , , 满足 ， , ，则
的最大值为_ ___.

解析：因为 ,所以 ,
所以 ,
即 ,
所以 ,
解得 ,即 的最大值为 .